最小二乘法在中学物理实验中的应用.pdf

物理竞赛 巧用运动的分解 速解竞赛压轴题 孔兴隆 温州市龙湾区教师发展中心 浙江 温州 325011 题目 2010 年第27届全国中学生物理竞赛预赛第18 题 超声波流量计是利用液体流速对超声波传播速度的影响 来测量液体流速 再通过流速来确定流量的仪器 一种超声 波流量计的原理示意如图 1 所示 在充满流动液体 管道横 截面上各点流速相同 管道两侧外表面上 P1和 P2处 与管 道轴线在同一平面内 各置一超声波脉冲发射器 T1 T2和 接收器 R1 R2 位于P1处的超声波脉冲发射器 T1向被测液 体发射超声脉冲 当位于 P2处的接收器 R2接收到超声脉冲 时 发射器 T2立即向被测液体发射超声脉冲 如果知道了超 声脉冲从 P1传播到 P2所经历的时间 t1和超声脉冲从 P2传 播到 P1所经历的时间 t2 又知道了 P1 P2两点的距离 l 以 及l 沿管道轴线的投影 b 管道中液体的流速 u 便可求得 试 求 u 解 如图 2 3所示 设超声脉冲相对液体的速度为 c 从 P1传播到 P2时超声脉冲相对液体的速度 c与管道的夹角为 从 P2传播到 P1时超声脉冲相对液体的速度 c 与管道的 夹角为 则由运动的分解可得 ccos u t1 b 则cos b ut1 ct1 csin t1 l2 b2 则sin l2 b2 ct1 ccos u t2 b 则cos b ut2 ct2 csin t2 l 2 b2 则sin l 2 b2 ct2 由 sin2 cos2 sin2 cos2 得 l2 b2 ct1 2 b ut1 ct1 2 l 2 b2 ct2 2 b ut2 ct2 2 化简得2ubt1t2 l 2 t 1 t2 即u l 2 t 1 t2 2bt1t2 评析 参考答案解法一用速度叠加并结合余弦定理 求根公式求解 计算量很大 解法二采用近似法 但不容易想 到 笔者提供的解法从常见的运动的分解出发 并充分利用 角度间的数学关系 也能较快地求出结果 最小二乘法在中学物理实验中的应用 袁 媛 李文娜 高永昌 河北师范大学物理科学与信息工程学院 河北 石家庄 050016 1 问题的提出 某省 27 届物理竞赛复赛实验题是一道研究音叉频率及 振动波长与受力关系的问题 提供的实验器材有音叉 细绳 线密度 已知 5个质量已知的砝码 1个质量已知的钩码 1 个定滑轮 1 个卷尺 一般学生通过实验器材都会联想到用 驻波的方法进行解答 将细绳一端固定在音叉上 另一端通 过定滑轮与钩码相连 音叉振动时通过调节音叉与定滑轮之 间的距离形成 2个以上的稳定驻波 测量驻波的个数 n 和长 度 L 可计算得知振动波长 2L n 进而 利用关系式 v T 波的相位传播速度或能量传播速度决定于介质 若介 50 2011年 4月 Vol 29 No 07 中学物理 质是绳则 v 和T 满足该关系式 可得到音叉的频率 f f v 与 T 的关系式f 1 T 测量多组数据 即可求得 f 接着 题目要求在上述工作的基础上 利用作图法和最小二 乘法线性拟合研究振动波长与受力的关系 并求得回归拟合 线的斜率 b1 纵轴截距 b2及相关系数 r 通过作图法寻找 与T 的关系 参赛者一般都能顺利完成 由关系式 1 f T 两边求对数可得关系式 lg 1 2 lgT 1 2 lg lgf lg lgT 分别相当于 y x 多次改变 T 值 可测得相应的 值 在坐标纸上描点作lg lgT 图 绘制出图线的走向 可知 b1 b2 但由于中学物理实验较少使用最小二乘法进行数据 处理 所以大多参赛者在此遇到困难 其实 最小二乘法是物 理实验中常用的数据处理方法 当实验数据一般是离散数据 点 任何实验都不可能覆盖所有可能的数据点 且数据呈现 线性特征时 用最小二乘法进行线性回归是最好的选择 2 最小二乘法线性回归 其实最小二乘法高中生并不陌生 高中数学新课标对此 有明确的内容标准 在必修3的 统计 主题下的第3个二级 主题 变量的相关性 明确要求学生 经历用不同估算方法描 述两个变量线性相关的过程 知道最小二乘法的思想 能根 据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程 如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附 近 我们就称这两个变量之间具有线性相关关系 这条直线 叫做回归直线 描述这条回归直线的方程叫回归方程 求回 归方程的关键是如何用数学的方法来刻画 从整体上看 各 点与此直线的距离最小 人们经过长期的实践与研究 得出 了计算回归方程的斜率与截距的公式 1 2 使得样本数 据点到回归直线的距离的平方和最小 这一方法叫做最小二 乘法 通常将作图法与最小二乘法配合使用 作图法简便直 观 但对坐标纸及坐标系的标度值都有要求 应根据实验数 据选择正确的坐标纸及合适的标度 最小二乘法不如作图法 直观 但用计算器进行线性回归计算方便 两全的办法是先 作图 如有个别数据是坏值 用作图法可以看得很清楚并可 剔除它 再拟合直线 然后用最小二乘法解参数并计算误差 统计中用相关系数 来衡量两个变量之间线性关系的强弱 其计算公式为 3 b1 n i 1 xiyi n x y n i 1 x 2 i n x 2 xy x y x 2 x 2 1 b2 y b1 x 2 r n i 1 xi x yi y n i 1 xi x 2 n i 1 yi y 2 xy x y x 2 x 2 y2 y 2 3 其中 x 1 n n i 1 xi 4 y 1 n n i 1 yi 5 3 案例分析 在物理实验中 如果已知两个量的关系 即满足 y b1x b2 却不知系数 b1和 b2时 可以通过实验测量多组 x y 根据最小二乘法求出 b1 b2 由此可以确定直线方程 y b1x b2 案例一 光电效应法测普朗克常数 高中物理选修 3 5 从 1907 年起 美国物理学家密立根通过实验测量金属 的遏止电压 Uc与入射光的频率 想由此计算出普朗克常量 h 以检验爱因斯坦光电效应方程的正确性 按照爱因斯坦的 光电效应理论 金属中的电子吸收一个光子获得的能量是 h 这些能量的一部分用来克服金属的逸出功 W0 剩下的表 现为逸出后电子的初动能 Ek 即可表述为公式 6 电子逸 出后的初动能 Ek与使电流减小到零的反向遏止电压 Uc之 间存在关系式 7 由 6 7 式可得 8 式 Ek h W0 6 Ek eUc 7 Uc h e W0 e 8 8 式中 逸出功 W0 电子电荷 e 和普朗克常量h 都是常数 公式表明遏止电压 Uc与光的频率 之间满足线性关系 y b1x b2 h e Wc e 分别相当于b1 b2 Uc v 分别相当于y x 测量多组数值 如表 1 表 1 实验测得某金属的 Uc和入射光 的数据 Uc V0 5410 6370 7140 8090 878 1014Hz5 6445 8886 0986 3036 501 利用最小二乘法计算得 b1 n i 1 xiyi n x y n i 1 x 2 i n x 2 xy x y x 2 x2 3 96 10 15V s 即 h b1e 3 96 10 15 1 60 10 19 6 34 10 34J s 则W0 b2e e y b1 x 2 716 J 实验数据经最小二乘法处理后 结果比教科书中提供的 作图法求 h h 6 30 10 34J s 的值更接近真实值 表明 了在物理实验数据处理中使用最小二乘法的优越性 案例二 测定电池的电动势和内阻 高中物理选修 3 1 测定电源电动势和内阻的基本原理是闭合电路欧姆 51 中学物理 Vol 29 No 07 2011 年 4 月 中学生 一个磁通现象的解释 高运旭 王彦明 山西临县一中 山西 临县 033200 问题 条形磁铁周围的磁感线分布如图 1 所示 在磁场中有两个小圆面 S1和 S2 小圆 面垂直磁体的轴线 中心位于轴线上 则通过 两个小圆面的磁通量 那个大 对磁通计算法的讨论 如图 2 所示 在 匀强磁场B 中 有一圆形区域 面积 S 则通过 S 面的磁通 BS 如图 2所示 当磁场所在区域有两个匀强 磁场 B1 B2 且 B1 B2方向相反时 其合磁场强度 B B1 B2 方向指向纸里 则由磁通量计算式 BS 可得磁通 量 B1 B2 S 或 B1S B2S 由此可知 1 磁通计算式中的 为合磁场强度 2 当穿 过面积 的磁场有两个或两个以上时 其计算方法 可采用 B1 B2 S 或 B1S B2S 进行计算 问题答案 由上可知 S1中的磁通量 1大于 S2中的 磁通量 2 即 1 2 定律 电源电动势 E 内电阻 r 与路端电压 U 电流 I 的关 系可以写成 E U Ir 变形为 U E Ir 其中电源电动 势 E 内电阻 r 是常数 路端电压 U 与电流I 之间满足关系式 y b1x b2 E r 分别相当于系数b1 b2 I U 分别相当 于 x y 测量多组数值 如表 2 表 2 实验测得某闭合电路 U 和I 的数据 U V0 7210 6050 5150 4100 3070 199 I A0 0150 0290 0390 0500 0610 072 利用最小二乘法计算得 b1 n i 1 x1y1 n x y n i 1 x 2 i n x 2 xy x y x 2 x 2 9 193 V A r b1 9 193 V A b2 y b1 x 0 867 V E 0 867 V 在选修 3 1 中 介绍了解方程组和作图两种求 E r 的 方法 解方程组法会因实验仪器 环境 人的自身等因素会造 成系统误差 作图法虽然在处理数据时更加简便 直观 但学 生采用的标度单位以及对点的处理技术都会带来较大的误 差 利用最小二乘法线性回归可以更精确地获得 E r 的数 值 4 运用 Excel 进行计算 最小二乘法以误差理论为依据 在诸多数据处理方法 中 误差最小 精确性最好 然而在实际教学过程中 因其计 算繁琐 学生很少采用这一方法 影响了学生运用最小二乘 法数据处理能力的提高 Excel是学生比较熟悉的软件 用它 处理数据非常简便 Excel 函数库中可以找到线性回归拟合 线方程的斜率函数SLOPE 线性回归拟合线方程的截距函数 INT ERCEPT 以及相关系数函数 CORREL 可用以确定线性 方程 y b1x b2的 b1 b2两个系数和 y x 之间的线性相 关度 r 以案例一为例 在空白单元格内定位光标 单击 插入 菜单中的 fx 函数