（浙江专版）2018高考数学一轮复习 第5章 数列 第2节 等差数列及其前n项和教师用书.doc

第二节等差数列及其前n项和1等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列用符号表示为an1and(nn*，d为常数)(2)等差中项：数列a，a，b成等差数列的充要条件是a，其中a叫做a，b的等差中项2等差数列的有关公式(1)通项公式：ana1(n1)d，anam(nm)d.(2)前n项和公式：snna1.3等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mn*)(2)若an为等差数列，且klmn(k，l，m，nn*)，则akalaman.(3)若an是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，公差为2d.(4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列(5)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mn*)是公差为md的等差数列1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()(2)数列an为等差数列的充要条件是对任意nn*，都有2an1anan2.()(3)等差数列an的单调性是由公差d决定的()(4)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数()答案(1)(2)(3)(4)2等差数列an的前n项和为sn，且s36，a30，则公差d等于()a1b1c2d2d依题意得s33a26，即a22，故da3a22，故选d.3设sn是等差数列an的前n项和，若a1a3a53，则s5()a5b7c9d11aa1a3a53a33a31，s55a35.4已知等差数列an前9项的和为27，a108，则a100()a100b99c98d97c法一：an是等差数列，设其公差为d，s9(a1a9)9a527，a53.又a108，a100a199d199198.故选c.法二：an是等差数列，s9(a1a9)9a527，a53.在等差数列an中，a5，a10，a15，a100成等差数列，且公差da10a5835.故a100a5(201)598.故选c.5(教材改编)在100以内的正整数中有_个能被6整除的数. 【导学号：51062163】16由题意知，能被6整除的数构成一个等差数列an，则a16，d6，得an6(n1)66n.由an6n100，即n1616，则在100以内有16个能被6整除的数等差数列的基本运算(1)已知an是公差为1的等差数列，sn为an的前n项和，若s84s4，则a10()a.b.c10d12(2)(2017诸暨二次统一检测)设等差数列an的前n项和为sn，s1122，a412，若am30，则m()a9b10c11d15(1)b(2)b(1)公差为1，s88a118a128，s44a16.s84s4，8a1284(4a16)，解得a1，a10a19d9.(2)设等差数列an的公差为d，依题意解得ama1(m1)d7m4030，m10.规律方法1.等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，sn，知三求二，体现了方程思想的应用2数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法，称为基本量法变式训练1(1)已知等差数列an的前n项和为sn，且满足1，则数列an的公差是()a.b1c2d3(2)设sn为等差数列an的前n项和，a128，s99，则s16_. 【导学号：51062164】(1)c(2)72(1)sn，又1，得1，即a3a22，数列an的公差为2.(2)设等差数列an的首项为a1，公差为d，由已知，得解得s16163(1)72.等差数列的判定与证明已知数列an中，a1，an2(n2，nn*)，数列bn满足bn(nn*)(1)求证：数列bn是等差数列(2)求数列an中的通项公式an.解(1)证明：因为an2(n2，nn*)，bn.所以n2时，bnbn11.5分又b1，所以数列bn是以为首项，1为公差的等差数列.7分(2)由(1)知，bnn，10分则an11.14分规律方法1.判断等差数列的解答题，常用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断2用定义证明等差数列时，常采用两个式子an1and和anan1d，但它们的意义不同，后者必须加上“n2”，否则n1时，a0无定义变式训练2(1)若an是公差为1的等差数列，则a2n12a2n是()a公差为3的等差数列b公差为4的等差数列c公差为6的等差数列d公差为9的等差数列(2)在数列an中，若a11，a2，(nn*)，则该数列的通项为()aanbancandan(1)c(2)a(1)a2n12a2n(a2n32a2n2)(a2n1a2n3)2(a2na2n2)2226，a2n12a2n是公差为6的等差数列(2)由已知式可得，知是首项为1，公差为211的等差数列，所以n，即an.等差数列的性质与最值(1)(2017浙江金华十校一联)如图521所示的数阵中，每行、每列的三个数均成等差数列，如果数阵中所有数之和等于63，那么a52()图521a2b8c7d4(2)等差数列an中，设sn为其前n项和，且a10，s3s11，则当n为多少时，sn取得最大值(1)c法一：第一行三数成等差数列，由等差中项的性质有a41a42a433a42，同理第二行也有a51a52a533a52，第三行也有a61a62a633a62，又每列也成等差数列，所以对于第二列，有a42a52a623a52，所以a41a42a43a51a52a53a61a62a633a423a523a6233a5263，所以a527，故选c.法二：由于每行每列都成等差数列，不妨取特殊情况，即这9个数均相同，显然满足题意，所以有6397，即a527，故选c.(2)法一：由s3s11，可得3a1d11a1d，4分即da1.8分从而snn2n(n7)2a1，因为a10，所以0，s3s11可知d0，a80，d0时，满足的项数m使得sn取得最大值为sm；当a10时，满足的项数m使得sn取得最小值为sm.变式训练3(1)在等差数列an中，a3a927a6，sn表示数列an的前n项和，则s11()a18b99c198d297(2)设等差数列an的前n项和为sn，且s510，s1030，则s15()a60b70c90d40(1)b(2)a(1)因为a3a927a6,2a6a3a9，所以3a627，所以a69，所以s11(a1a11)11a699.(2)因为数列an为等差数列，所以s5，s10s5，s15s10也成等差数列，设s15x，则10,20，x30成等差数列，所以22010(x30)，所以x60，即s1560.思想与方法1等差数列的通项公式，前n项和公式涉及“五个量”，“知三求二”，需运用方程思想求解，特别是求a1和d.(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为，a2d，ad，a，ad，a2d，.(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为，a3d，ad，ad，a3d，.2等差数列an中，ananb(a，b为常数)，snan2bn(a，b为常数)，均是关于“n”的函数，充分运用函数思想，借助函数的图象、性质简化解题过程3等差数列的四种判断方法：(1)定义法：an1and(d是常数)an是等差数列(2)等差中项法：2an1anan2(nn*)an是等差数列(3)通项公式：anpnq(p，q为常数)an是等差数列(4)前n项和公式：snan2bn(a，b为常数)an是等差数列易错与防范1要注意概念中的“从第2项起”如果一个数列不是从第2项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列2注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别3求等差数列的前n项和sn的最值时，需要注意“自变量n为正整数”这一隐含条件课时分层训练(二十七)等差数列及其前n项和a组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1在等差数列an中，a10，公差d0，若ama1a2a9，则m的值为()a37b36c20d19aama1a2a99a1d36da37.2(2017台州二次调研)在等差数列an中，若前10项的和s1060，且a77，则a4()a4b4c5d5c法一：由题意得解得a4a13d5，故选c.法二：由等差数列的性质有a1a10a7a4，s1060，a1a1012.又a77，a45，故选c.3(2017温州质检)已知数列an是等差数列，且a72a46，a32，则公差d()a2b4c8d16b法一：由题意得a32，a72a4a34d2(a3d)6，解得d4，故选b.法二：由题意得解得故选b.4等差数列an中，已知a50，a4a70，则an的前n项和sn的最大值为()as7bs6cs5ds4csn的最大值为s5.5(2017湖北七市4月联考)在我国古代著名的数学专著九章算术里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相逢？() 【导学号：51062165】a9日b8日c16日d12日a根据题意，显然良马每日行程构成一个首项a1103，公差d113的等差数列，前n天共跑的里程为sna1d1103nn(n1)6.5n296.5n；驽马每日行程也构成一个首项b197，公差d20.5的等差数列，前n天共跑的里程为snb1d297nn(n1)0.25n297.25n.两马相逢时，共跑了一个来回设其第n天相逢，则有6.5n296.5n0.25n297.25n1 1252，解得n9，即它们第9天相遇，故选a.二、填空题6(2017浙江名校(绍兴一中)交流卷五)等差数列an中，a1a510，a47，则an_，a1a3a99_.2n14 950由题意得解得an2n1，a1a3a9950144 950.7已知an为等差数列，sn为其前n项和若a16，a3a50，则s6_.6a3a52a4，a40.a16，a4a13d，d2.s66a1d6.8已知an是等差数列，sn是其前n项和若a1a3，s510，则a9的值是_. 【导学号：51062166】20法一：设等差数列an的公差为d，由s510，知s55a1d10，得a12d2，即a122d，所以a2a1d2d，代入a1a3，化简得d26d90，所以d3，a14.故a9a18d42420.法二：设等差数列an的公差为d，由s510，知5a310，所以a32.由a1a32a2，得a12a22，代入a1a3，化简得a2a210，所以a21.公差da3a2213，故a9a36d21820.三、解答题9已知等差数列的前三项依次为a,4,3a，前n项和为sn，且sk110.(1)求a及k的值；(2)设数列bn的通项bn，证明：数列bn是等差数列，并求其前n项和tn.解(1)设该等差数列为an，则a1a，a24，a33a，由已知有a3a8，得a1a2，公差d422，所以skka1d2k2k2k.3分由sk110，得k2k1100，解得k10或k11(舍去)，故a2，k10.6分(2)证明：由(1)得snn(n1)，则bnn1，故bn1bn(n2)(n1)1，12分即数列bn是首项为2，公差为1的等差数列，所以tn.14分10(2017温州市三次质检)等差数列an的首项a11，公差d0，且a3a4a12.(1)求数列an的通项公式；(2)设bnan2n，求数列bn的前n项和tn. 【导学号：51062167】解(1)由a3a4a12得(12d)(13d)111dd1或d0(不合题意舍去)，数列an的通项公式为ann.6分(2)依题意bnan2nn2n，tn121222323n2n，2tn122223(n1)2nn2n1，10分两式相减得tn2122232nn2n1 n2n1 (1n)2n12，tn(n1)2n12.15分b组能力提升(建议用时：15分钟)1设数列an的前n项和为sn，若为常数，则称数列an为“吉祥数列”已知等差数列bn的首项为1，公差不为0，若数列bn为“吉祥数列”，则数列bn的通项公式为()abnn1bbn2n1cbnn1dbn2n1b设等差数列bn的公差为d(d0)，k，因为b11，则nn(n1)dk，即2(n1)d4k2k(2n1)d，整理得(4k1)dn(2k1)(2d)0.因为对任意的正整数n上式均成立，所以(4k1)d0，(2k1)(2d)0，解得d2，k，所以数列bn的通项公式为bn2n1.2(2017浙江镇海中学测试卷二)设等差数列an的前n项和为sn(其中nn*)，且满足：a6a7a8a92，则a6_；s4s18的最大值是_. 【导学号：51062168】172设公差为d.由题意得a6a6da62d(a63d)2a62，所以a61.s4s182(a1a4)9(a1a18)18(2a67d)(2a67d)18272a72，当且仅当d0时，取到等号3已知数列an的前n项和为s