（浙江专版）2018年高考数学 第1部分 重点强化专题 专题4 立体几何 专题限时集训9 空间中的平行与垂直关系.doc

专题限时集训(九)空间中的平行与垂直关系 (对应学生用书第133页) 建议a、b组各用时：45分钟a组高考达标一、选择题1设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是()a若lm，m，则lb若l，lm，则mc若l，m，则lmd若l，m，则lmba中，根据线面垂直的判定定理，只有垂直平面内两条相交直线才行，故a不正确；b中，由线面垂直的性质可知，平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直这个平面，故b正确；c中，l，m可能平行也可能异面，故c不正确；d中，平行于同一平面的两直线可能平行，异面，相交，故d不正确，故选b.2设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列四个命题：若mn，m，则n；若m，m，则；若mn，m，则n；若m，m，则.其中真命题的个数为() 【导学号：68334110】a1b2c3d4a对于，由直线与平面垂直的判定定理易知其正确；对于，平面与可能平行或相交，故错误；对于，直线n可能平行于平面，也可能在平面内，故错误；对于，由两平面平行的判定定理易得平面与平行，故错误综上所述，正确命题的个数为1，故选a.3如图912所示，直线pa垂直于o所在的平面，abc内接于o，且ab为o的直径，点m为线段pb的中点现有结论：bcpc；om平面apc；点b到平面pac的距离等于线段bc的长其中正确的是()图912abcdb对于，pa平面abc，pabc.ab为o的直径，bcac.又paaca，bc平面pac，又pc平面pac，bcpc.对于，点m为线段pb的中点，ompa.pa平面pac，om平面pac，om平面pac.对于，由知bc平面pac，线段bc的长即是点b到平面pac的距离，故都正确4已知，是两个不同的平面，有下列三个条件：存在一个平面，；存在一条直线a，a，a；存在两条垂直的直线a，b，a，b.其中，所有能成为“”的充要条件的序号是()abcdd对于，存在一个平面，则，反之也成立，即“存在一个平面，”是“”的充要条件，所以对，可排除b，c.对于，存在两条垂直的直线a，b，则直线a，b所成的角为90，因为a，b，所以，所成的角为90， 即，反之也成立，即“存在两条垂直的直线a，b，a，b”是“”的充要条件，所以对，可排除a，选d.5在三棱锥pabc中，已知pa底面abc，abbc，e，f分别是线段pb，pc上的动点，则下列说法错误的是()图913a当aepb时，aef一定为直角三角形b当afpc时，aef一定为直角三角形c当ef平面abc时，aef一定为直角三角形d当pc平面aef时，aef一定为直角三角形b因为ap平面abc，所以apbc，又abbc，且pa和ab是平面pab上两条相交直线，则bc平面pab，bcae.当aepb时，ae平面pbc，则aeef，aef一定是直角三角形，a正确；当ef平面abc时，ef在平面pbc上，平面pbc与平面abc相交于bc，则efbc，则efae，aef一定是直角三角形，c正确；当pc平面aef时，aepc，又aebc，则ae平面pbc，aeef，aef一定是直角三角形，d正确；b中结论无法证明，故选b.二、填空题6已知p为abc所在平面外一点，且pa，pb，pc两两垂直，则下列命题：pabc；pbac；pcab；abbc.其中正确命题的个数是_. 【导学号：68334111】3如图所示，papc，papb，pcpbp，pa平面pbc.又bc平面pbc，pabc.同理pbac，pcab，但ab不一定垂直于bc.7在三棱锥cabd中(如图914)，abd与cbd是全等的等腰直角三角形，o是斜边bd的中点，ab4，二面角abdc的大小为60，并给出下面结论：acbd；adco；aoc为正三角形；cos adc；四面体abcd的外接球表面积为32.其中真命题是_(填序号)图914由题意知bdco，bdao，则bd平面aoc，从而bdac，故正确；根据二面角abdc的大小为60，可得aoc60，又直线ad在平面aoc的射影为ao，从而ad与co不垂直，故错误；根据aoc60，aoco可得aoc为正三角形，故正确；在adc中 ，adcd4，acco2，由余弦定理得cos adc，故错误；由题意知，四面体abcd的外接球的球心为o，半径为2，则外接球的表面积为s4(2)232，故正确8正方体abcda1b1c1d1中，e为线段b1d1上的一个动点，则下列结论中正确的是_(填序号)acbe；b1e平面abcd；三棱锥eabc的体积为定值；直线b1e直线bc1.因为ac平面bdd1b1，故，正确；记正方体的体积为v，则veabcv为定值，故正确；b1e与bc1不垂直，故错误三、解答题9如图915，在四棱锥pabcd中，pc平面abcd，abdc，dcac.图915(1)求证：dc平面pac.(2)求证：平面pab平面pac.(3)设点e为ab的中点，在棱pb上是否存在点f，使得pa平面cef？说明理由解(1)证明：因为pc平面abcd，所以pcdc. 2分又因为dcac，且pcacc，所以dc平面pac.4分(2)证明：因为abdc，dcac，所以abac.因为pc平面abcd，所以pcab.又因为pcacc，所以ab平面pac.8分又ab平面pab，所以平面pab平面pac.9分(3)棱pb上存在点f，使得pa平面cef.12分理由如下：取pb的中点f，连接ef，ce，cf.又因为e为ab的中点，所以efpa.又因为pa平面cef，且ef平面cef，所以pa平面cef.15分10(2017绍兴稽阳联谊学校高三4月联考)如图916，四边形abcd为梯形，abcd，c60，点e在cd上，abce，bfbd，bdbc.现将ade沿ae折成如图2ape位置，使得二面角paec的大小为.图916(1)求pb的长度；(2)求证：pb平面abce；(3)求直线ce与平面ape所成角的正弦值 【导学号：68334112】解(1)因为ab平行且等于ec，所以四边形abce是平行四边形，所以bcae，又因为bdbc，所以bdae，所以aefb，aefp，即pfb为二面角paec的平面角.3分又bf，pf2，由余弦定理得bp2bf2pf22bfpfcosbfp9，所以bp3.5分(2)证明：bf，pf2，bp3，满足勾股定理，所以bfpb.又因为bfae，pfae，bfpff，所以ae平面pfb，所以aepb.7分又bfaef，则pb平面abce.9分(3)法一：作bnpf于点n，连接an，由(2)可知，ae平面bfp，所以平面bfp平面ape，又平面bfp平面apepf，所以bn平面ape，12分所以ban是直线ab与平面ape所成的角在rtfbp中，bnbfsin，sinnab.13分所以直线ab与平面ape所成角的正弦值为，即直线ce与平面ape所成角的正弦值为.15分法二：由于bf，bp，bc两两互相垂直，如图，建立空间直角坐标系，则b(0,0,0)，c(3,0,0)，a(1，0)，e(2，0)，p(0,0,3)，则(3,0,0)，(1，3)，12分设平面ape的法向量为n(x，y，z)，则即取z1，则n(0，1)，13分设直线ce与平面ape所成的角为，(1，0)，则sin |cosn，|，即直线ec与平面ape所成角的正弦值为.15分 b组名校冲刺一、选择题1已知三棱柱abca1b1c1的所有棱长相等，若aa1b1aa1c160，则异面直线a1c与ab1所成角的余弦值是() 【导学号：68334113】图917a.b.c.d.a将三棱柱补上一个相同的三棱柱构成一个四棱柱，如图所示，易知图中a1cd1为所求角因为三棱柱的所有棱长均相等，不妨设为1，则根据此三棱柱的性质有a1d1a1c，cd11，则由余弦定理得cosa1cd1，故选a.2如图918，四边形abcd中，adbc，adab，bcd45，bad90，将adb沿bd折起，使平面abd平面bcd，构成三棱锥abcd.则在三棱锥abcd中，下列命题正确的是()图918a平面abd平面abcb平面adc平面bdcc平面abc平面bdcd平面adc平面abcd在四边形abcd中，adbc，adab，bcd45，bad90，bdcd.又平面abd平面bcd，且平面abd平面bcdbd，cd平面abd，则cdab.又adab，adcdd，ab平面adc，又ab平面abc，平面abc平面adc，故选d.3如图919，在正方形abcd中，e，f分别是bc，cd的中点，沿ae，af，ef把正方形折成一个四面体，使b，c，d三点重合，重合后的点记为p，p点在aef内的射影为o，则下列说法正确的是()图919ao是aef的垂心bo是aef的内心co是aef的外心do是aef的重心a由题意可知pa，pe，pf两两垂直，pa平面pef，从而paef，而po平面aef，则poef.popap，ef平面pao，efao，同理可知aefo，afeo，o为aef的垂心故选a.4如图920，小于90的二面角l中，ol，a，b，且aob为钝角，aob是aob在内的射影，则下列结论错误的是()图920aaob为钝角baobaobcaobaoad考虑将图形特殊化，即可将此图形置于正方体中，正方体的一个对角面与底面分别为条件中的平面，如图所示，o为所在棱的中点，a，b为所在面对角线上的一个三等分点，a，b分别为a，b在平面上的射影设正方体棱长为3，则oaob，oaob，aabb1，则由余弦定理得cosaob，cosaobaob，所以a，b正确；又cosaoacosbob，所以aoabob知aob，所以aobaoa，bobaobaoa，所以c正确，d错误，故选d.二、填空题5如图921，正方形bcde的边长为a，已知abbc，将abe沿边be折起，折起后a点在平面bcde上的射影为d点，关于翻折后的几何体有如下描述：图921ab与de所成角的正切值是；abce；vbacea3；平面abc平面acd.其中正确的有_(填序号)作出折叠后的几何体直观图如图所示：abbca，bea，aea.ada，aca.在abc中，cosabc.sinabc.tan abc.bcde，abc是异面直线ab，de所成的角，故正确连接bd，ce，则cebd，又ad平面bcde，ce平面bcde，cead.又bdadd，bd平面abd，ad平面abd，ce平面abd.又ab平面abd，ceab，故错误vbacevabcesbceada2a，故正确ad平面bcde，bc平面bcde，bcad.又bccd，cdadd，cd，ad平面acd，bc平面acd.bc平面abc，平面abc平面acd，故正确故答案为.6(2017金丽衢十二校高三第二次联考)已知abc中，c90，tan a，m为ab的中点现将acm沿cm折成三棱锥pcbm.当二面角pcmb大小为60时，_.图922作pecm于点e，bfcm交cm的延长线于点f，连接ae，则aecf，且pe与bf所成锐角等于二面角pcmb的大小，即为60.不妨设ac1，则由tanbac，acb90，得bc，ab，则由m是ab的中点，知mbmc，则sinbcfsinabc，|sinbcf，|2|22，则由，得|2()2|2|2|22|cos 602cos 601，pb1，故.三、解答题7端午节即将到来，为了做好端午节商场促销活动，某商场打算将进行促销活动的礼品盒重新设计方案如下：将一块边长为10的正方形纸片abcd剪去四个全等的等腰三角形：see，sff，sgg，shh，再将剩下的阴影部分折成一个四棱锥形状的包装盒sefgh，其中a，b，c，d重合于点o，e与e重合，f与f重合，g与g重合，h与h重合(如图923所示)图923(1)求证：平面seg平面sfh；(2)当ae时，求二面角eshf的余弦值解(1)证明：折后a，b，c，d重合于一点o，拼接成底面efgh的四个直角三角形必为全等的等腰直角三角形，底面dfgh是正方形，egfh，eoog.2分连接so，由题意知sesg，egso.4分又so，fh平面sfh，sofho，eg平面sfh.又eg平面seg，平面seg平面sfh.6分(2)过o作omsh交sh于m点，连接em，eo平面sfh，sh平面sfh，eosh，sh平面emo，emo为二面角eshf的平面角.8分当ae时，在原平面图形中，可求得se.在rtsoe中，可求得so5.10分rtsho中，oh，so5，sh，om，12分rtemo中，em，cosemo.14分所求二面角的余弦值为.15分8(2017萧山中学高三5月仿真考试)如图924，已知矩形abcd中，ab4，ad3，现将dac沿着对角线ac向上翻折到pac位置，此时papb.图924(1)求证：平面pab平面abc；(2)求直线ab与平面pac所成角的正弦值 【导学号：68334114】解(1)证明：因为papb，papc，pbpcp，所以pa平面pbc，3分所以pabc，又bcab，abapa，所以bc平面pab，5分又bc平面abc，所以平面pab平面abc.7分(2)法一：如图，作bdpc于点d，连接ad，由(1)知pa平面pbc，所以pabd，而bdpc，papcp，所以bd平面pac，所以bad为直线ab与平面pac所成的角，10分在rtp