（浙江专版）2018年高考数学二轮专题复习 专题验收评估（四）立体几何与空间向量.doc

专题验收评估(四) 立体几何与空间向量 (时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是()a球 b三棱锥c正方体 d圆柱解析：选d球的三视图都是圆；三棱锥的三视图可以都是全等的三角形；正方体的三视图都是正方形；圆柱的底面放置在水平面上，则其俯视图是圆，正视图是矩形2(2016浙江高考)已知互相垂直的平面，交于直线l，若直线m，n满足m，n，则()aml bmncnl dmn解析：选cl，l.n，nl，故选c.3设直线m与平面相交但不垂直，则下列说法中正确的是()a在平面内有且只有一条直线与直线m垂直b过直线m有且只有一个平面与平面垂直c与直线m垂直的直线不可能与平面平行d与直线m平行的平面不可能与平面垂直解析：选b可以通过观察正方体abcda1b1c1d1进行判断，取bc1为直线m，平面abcd为平面，由ab，cd均与m垂直知，选项a错；由d1c1与m垂直且与平行知，选项c错；由平面add1a1与m平行且与垂直知，选项d错4(2018届高三浙江名校联考)一个简单几何体的正视图、俯视图如图所示，则其侧视图不可能为()a正方形 b圆c等腰三角形 d直角梯形解析：选d当几何体是一个长方体，其中一个侧面为正方形时，a可能；当几何体是横放的一个圆柱时，b可能；当几何体是横放的三棱柱时，c可能于是只有d不可能5设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，有以下四个命题mm其中正确的命题是()a b c d解析：选c对于，直线m与平面可能平行或相交；对于，直线m可能也在平面内而都是正确的命题6(2016山东高考)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为()a. b.c. d1解析：选c由三视图知，四棱锥是底面边长为1，高为1的正四棱锥，结合三视图可得半球半径为，从而该几何体的体积为1213.故选c.7已知四棱柱abcda1b1c1d1的三视图如图所示，则异面直线d1c与ac1所成的角为()a30 b45c60 d90解析：选d由三视图可知该几何体为直四棱柱，底面为直角梯形且两边长分别为1,2，高为1，四棱柱abcda1b1c1d1的高为2.add1c，dc1d1c，addc1d，d1c平面adc1，d1cac1，异面直线d1c与ac1所成的角为90.8已知三棱柱abca1b1c1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形若p为底面a1b1c1的中心，则pa与平面abc所成角的大小为()a. b. c. d.解析：选b设三棱柱的高为h，则()2h，解得h.设三棱柱的底面abc的中心为q，则pq，aq1.在rtapq中，paq即为直线pa与平面abc所成的角，且tanpaq，所以paq.9在直三棱柱abca1b1c1中，平面与棱ab，ac，a1c1，a1b1分别交于点e，f，g，h，且直线aa1平面.有下列三个命题：四边形efgh为平行四边形；平面平面bcc1b1；平面平面bcfe.其中正确的命题有()a b c d解析：选c如图，因为在直三棱柱abca1b1c1中，平面与棱ab，ac，a1c1，a1b1分别交于点e，f，g，h，且直线aa1平面，所以aa1ehgf，aa1ehgf，所以四边形efgh为平行四边形，故正确；因为ef与bc不一定平行，所以平面与平面bcc1b1平行或相交，故不正确；因为aa1ehgf，aa1ehgf，且aa1平面bcfe，所以eh平面bcfe，因为eh平面，所以平面平面bcef，故正确10已知正四面体sabc的棱长为1，如果一个高为的长方体能在该正四面体内任意转动，则该长方体的长和宽形成的长方形的面积的最大值为()a. b. c. d.解析：选d易知正四面体sabc的内切球的球心o必在高线sh上，延长ah交bc于点d，则d为bc的中点，连接sd，设内切球切sd于点e，连接ao.因为h是正三角形abc的中心，所以ahhd21，因为rtoahrtdsh，所以3，可得oa3ohso，因此sh4oh，可得内切球的半径rohsh.因为正四面体sabc的棱长为1，所以在rtdsh中，ds，解得r2.要满足一个高为的长方体能在该正四面体内任意转动，则长方体的体对角线长不能超过正四面体内切球的直径，设该长方体的长和宽分别为x，y，该长方体的长和宽形成的长方形的面积为s，所以4r22x2y2，所以x2y2，所以sxy，当且仅当xy时等号成立，即该长方体的长和宽形成的长方形的面积的最大值为.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分，把答案填在题中横线上)11已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_，表面积为_解析：由空间几何体的三视图，得其直观图为底面半径为1，高为的圆锥的一半，所以该几何体的体积v12，表面积为s1122.答案：12.如图，在四棱锥pabcd中，pd平面abcd，abcd，adcd，pdaddc2ab，则异面直线pc与ab所成角的大小为_；直线pb与平面pdc所成角的正弦值为_解析：由于abcd，所以pcd为异面直线pc与ab所成的角因为pd平面abcd，所以pdc，又因为pddc，所以pcd.过点b作be垂直cd于点e，连接pe，易证be平面pcd，所以bpe为直线pb与平面pdc所成的角，因为 pdaddc2ab，设ad1，则pb ，bead1，所以sinbpe.答案：13某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体侧视图的面积为_ cm2，此几何体的体积为_ cm3.解析：由三视图性质可知，俯视图为等边三角形，该三角形的高为2，故侧视图中直角三角形的一边长为4，另一边长为2，故侧视图面积s424.作出该几何体的直观图如图所示，可知该几何体的体积vabcde28.答案：4814把边长为1的正方形abcd沿对角线bd折起，形成的三棱锥abcd的正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为_，二面角bacd的余弦值为_解析：由三视图还原出原几何体如图所示，其侧视图面积为.取ac的中点e，连接be，de，则acbe，acde，所以bed就是二面角bacd的平面角因为ac1，所以bede，所以cosbed.答案：15如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且abcd，则直线ef与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为_解析：在正四面体中取cd的中点为g，连接fg，eg，作fh平面cde于点h.因为正四面体的高fh在平面efg内，且fh平行于正方体的高，所以可证得平面efg平行于正方体的左、右两个侧面，故直线ef仅与正方体的六个面中的上、下两个平面及前、后两个平面相交，共有4个答案：416(2017温州模拟)如图，已知六棱锥pabcdef的底面是正六边形，pa平面abc，pa2ab，则下列结论中：pbae；平面abc平面pbc；直线bc平面pae；pda45.其中正确的结论有_(把所有正确的序号都填上)解析：由pa平面abc，ae平面abc，得paae.又由正六边形的性质得aeab，paaba，得ae平面pab.又pb平面pab，aepb，正确；又平面pad平面abc，平面abc平面pbc不成立，错；由正六边形的性质得bcad.又ad平面pad，bc平面pad，直线bc平面pae也不成立，错；在rtpad中，paad2ab，pda45，正确答案：17(2017全国卷)a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形abc的直角边ac所在直线与a，b都垂直，斜边ab以直线ac为旋转轴旋转，有下列结论：当直线ab与a成60角时，ab与b成30角；当直线ab与a成60角时，ab与b成60角；直线ab与a所成角的最小值为45；直线ab与a所成角的最大值为60.其中正确的是_(填写所有正确结论的编号)解析：法一：依题意建立如图所示的空间直角坐标系设等腰直角三角形abc的直角边长为1.由题意知点b在平面xoy中形成的轨迹是以c为圆心，1为半径的圆设直线a的方向向量为a(0,1,0)，直线b的方向向量为b(1,0,0)，以ox轴为始边沿逆时针方向旋转的旋转角为，0,2)，则b(cos ，sin ，0)，又a(0,0,1)，(cos ，sin ，1)，|.设直线ab与a所成夹角为，则cos |sin |，4590，正确，错误设直线ab与b所成夹角为，则cos |cos |.当直线ab与a的夹角为60，即60时，则|sin |cos cos 60，|cos |.cos |cos |.090，60，即直线ab与b的夹角为60.正确，错误法二：由题意，ab是以ac为轴，bc为底面半径的圆锥的母线，又aca，acb，ac圆锥底面，在底面内可以过点b，作bda，交底面圆c于点d，如图所示，连接de，则debd，deb，连接ad，设bc1，在等腰abd中，abad，当直线ab与a成60角时，abd60，故bd，又在rtbde中，be2，de，过点b作bfde，交圆c于点f，连接af，ef，bfde，abf为等边三角形，abf60，即ab与b成60角，故正确，错误由最小角定理可知正确；很明显，可以满足平面abc直线a，直线ab与a所成角的最大值为90，错误正确的说法为.答案：三、解答题(本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)18(本小题满分14分)如图，直三棱柱abcabc的侧棱长为3，abbc，且abbc3，点e，f分别是棱ab，bc上的动点，且aebf.(1)求证：无论e在何处，总有bcce；(2)当三棱锥bebf的体积取得最大值时，求异面直线af与ac所成角的余弦值解：(1)证明：由题意知，四边形bbcc是正方形，连接ac，bc，则bcbc.又abbc，bbab，bcbbb，ab平面bbcc.bcab，又abbcb，bc平面abc.ce平面abc，bcce.(2)连接ef，be，bf，ae，af，设aebfm，则三棱锥bebf的体积为vm(3m)， 当且仅当m时取等号故当m，即点e，f分别是棱ab，bc的中点时，三棱锥bebf的体积最大，则|cosafe|为所求ef，afae，af，|cosafe|，即异面直线af与ac所成角的余弦值为.19(本小题满分15分)(2017绍兴模拟)如图，四棱锥pabcd中，底面abcd为菱形，pa底面abcd，ac2，pa2，e是pc上的一点，pe2ec.(1)证明：pc平面bed；(2)设二面角apbc为90，求pd与平面pbc所成角的大小解：(1)证明：因为底面abcd为菱形，所以bdac，又pa底面abcd，所以pabd.因为acpaa，所以bd平面pac，所以bdpc.如图，设acbdf，连接ef.因为ac2，pa2，pe2ec，故pc2，ec，fc，从而，.所以，又fcepca，所以fcepca，fecpac90，由此知pcef.又bdeff，所以pc平面bed.(2)在平面pab内过点a作agpb，g为垂足因为二面角apbc为90，所以平面pab平面pbc.又平面pab平面pbcpb，故ag平面pbc，agbc.因为bc与平面pab内两条相交直线pa，ag都垂直，故bc平面pab，于是bcab，所以底面abcd是正方形，ad2，pd2.设d到平面pbc的距离为d.因为adbc，且ad平面pbc，bc平面pbc，故ad平面pbc，a，d两点到平面pbc的距离相等，即dag.设pd与平面pbc所成的角为，则sin .所以pd与平面pbc所成的角为30.20(本小题满分15分)已知四棱锥pabcd中，底面abcd是梯形，bcad，abad，且abbc1，ad2，顶点p在平面abcd内的射影h在ad上，papd.(1)求证：平面pab平面pad；(2)若直线ac与pd所成角为60，求二面角apcd的余弦值解：(1)证明：ph平面abcd，ab平面abcd，phab.abad，adphh，ad平面pad，ph平面pad，ab平面pad.又ab平面pab，平面pab平面pad.(2)以a为原点，建立空间直角坐标系axyz，如图所示，ph平面abcd，z轴ph.则a(0,0,0)，c(1,1,0)，d(0,2,0)，则(1,1,0)，(1，1,0)设aha，ph h(0a0)则p(0，a，h)(0，a，h)，(0，a2，h)，(1,1,0)papd，a(a2)h20.ac与pd所成角为60，|cos，|，(a2)2h2，(a2)(a1)0，0a0，h1，p(0,1,1)(0,1,1)，(1,0，1)设平面apc的法向量为n(x1，y1，z1)，由得取x11，得平面apc的一个法向量为n(1，1,1)设平面dpc的法向量为m(x2，y2，z2)，由得取x21，得平面dpc的一个法向量为m(1,1,1)cosm，n.由图可知二面角apcd的平面角为钝角，二面角apcd的余弦值为.21(本小题满分15分)(2017绍兴调研)如图1，四面体pabc中，bcbp1，acap，ab2.将pab沿直线ab翻折至p1ab，使点a，p1，b，c在同一平面内(如图2)，点m为pc的中点(1)求证：直线pp1平面mab；(2)求证：pcab；(3)求直线pa与平面p1pc所成角的大小解：(1)证明：连接cp1交直线ab于点e，连接me.acap1，bcbp1，abcabp1，ceep1，点e为cp1的中点又点m为pc的中点，mepp1.又me平面mab，pp1平面mab，pp1平面mab.(2)证明：bcbp，acap，m为pc的中点，bmpc，ampc.又bmamm，pc平面abm，pcab.(3)bcbp11，acap1，p1cab.又pcab，ab平面pcp1，ape为直线pa与平面pcp1所成的角ab2，ae，sinape，故ape60.直线pa与平面p1pc所成的角为60.22.(本小题满分15分)(201