（浙江专版）2019版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形学案.doc

第四章 三角函数、解三角形第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数1角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形(2)分类(3)终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合s|k360，kz2弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式：角的弧度数公式|(l表示弧长)角度与弧度的换算1 rad；1 rad弧长公式l|r扇形面积公式slr|r23.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点p(x，y)，那么y叫做的正弦，记作sin x叫做的余弦，记作cos 叫做的正切，记作tan 各象限符号一二三四三角函数线有向线段mp为正弦线有向线段om为余弦线有向线段at为正切线小题体验1若满足sin 0，则的终边在第_象限答案：四2已知角的终边经过点(4，3)，则cos _.答案：3为第一象限角，则sin cos _1.(填“”“1注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90的角是概念不同的三类角第一类是象限角，第二、第三类是区间角2角度制与弧度制可利用180 rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用3已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况4三角函数的定义中，当p(x，y)是单位圆上的点时有sin y，cos x，tan ，但若不是单位圆时，如圆的半径为r，则sin ，cos ，tan .小题纠偏11 000是第_象限角， 3是第_象限角，72_rad.答案：一二2如图所示，在直角坐标系xoy中，射线op交单位圆o于点p，若aop，则点p的坐标是_ 答案：(cos ，sin ) 题组练透1. 下列命题中，真命题是()a第一象限角是锐角b直角不是任何象限角c第二象限角比第一象限角大d三角形的内角一定是第一或第二象限角解析：选b390是第一象限角，但不是锐角，a错；135是第二象限角，390135，c错；直角不是任何象限角，d错，b对2若是第二象限的角，则下列结论一定成立的是()asin0bcos0ctan0 dsincos0解析：选c2k2k，kz，k0一定成立，故选c.3设集合m，nx18045，kz，那么m_n(填“”“”“”)解析：法一：由于m，45，45，135，225，nx18045，kz，45，0，45，90，135，180，225，显然有mn.法二：由于m中，x18045k9045(2k1)45，2k1是奇数；而n中，x18045k4545(k1)45，k1是整数，因此必有mn.答案：4终边在直线yx上的角的集合为_解析：在坐标系中画出直线yx，可以发现它与x轴正半轴的夹角是，终边在直线yx上的角的集合为.答案：5若角是第二象限角，则是第_象限角解析：是第二象限角，2k2k，kz，k0时，cos ；当t0时，cos .因此cos 22cos211.答案：角度二：三角函数值的符号判定3若sin tan 0，且0，则角是()a第一象限角b第二象限角c第三象限角 d第四象限角解析：选c由sin tan 0可知sin ，tan 异号，则为第二或第三象限角由0可知cos ，tan 异号，则为第三或第四象限角综上可知，为第三象限角4已知点p(sin cos ，2cos )位于第三象限，则角是第_象限角解析：因为点p(sin cos ，2cos )位于第三象限，所以sin cos 0,2cos 0，即所以为第二象限角答案：二通法在握定义法求三角函数的3种情况(1)已知角终边上一点p的坐标，可求角的三角函数值先求p到原点的距离，再用三角函数的定义求解(2)已知角的某三角函数值，可求角终边上一点p的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值(3)已知角的终边所在的直线方程或角的大小，根据三角函数的定义可求角终边上某特定点的坐标演练冲关1.如图，在平面直角坐标系xoy中，角的终边与单位圆交于点a，点a的纵坐标为，则cos 的值为()a. bc. d解析：选d因为点a的纵坐标ya，且点a在第二象限，又因为圆o为单位圆，所以a点横坐标xa，由三角函数的定义可得cos .2已知角的终边经过点a，角的终边经过点b，且点b与点a关于y轴对称，则cosaob()a. b.c. d解析：选a角的终边与角的终边关于y轴对称，而由a可得点b，所以cos ，sin ，cos ，sin ，所以cosaobcos()cos cos sin sin .一抓基础，多练小题做到眼疾手快1已知点p(tan ，sin )在第三象限，则角的终边在()a第一象限b第二象限c第三象限 d第四象限解析：选d因为点p在第三象限，所以所以的终边在第四象限，故选d.2设角终边上一点p(4a,3a)(a0)，则sin 的值为()a. b.c. d解析：选b设点p与原点间的距离为r，p(4a,3a)，a0，r|5a|5a.sin .3若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角(0)的弧度数为()a. b.c. d2解析：选c设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为r，所以rr，所以.4在直角坐标系中，o是原点，a(，1)，将点a绕o逆时针旋转90到b点，则b点坐标为_解析：依题意知oaob2，aox30，box120，设点b坐标为(x，y)，所以x2cos 1201，y2sin 120，即b(1，)答案：(1，)5角的终边与直线y3x重合，且sin 0，又p(m，n)是角终边上一点，且|op|，则mn_.解析：角的终边与直线y3x重合，且sin 0，角的终边在第三象限又p(m，n)是角终边上一点，故m0，n0.又|op|，解得m1，n3，故mn2.答案：2二保高考，全练题型做到高考达标1将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是()a. b.c d解析：选c将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角故a、b不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的，即为2.2(2018福州一模)设是第二象限角，p(x,4)为其终边上的一点，且cos x，则tan ()a. b.c d解析：选d因为是第二象限角，所以cos x0，即x0.又cos x.解得x3，所以tan .3已知角终边上一点p的坐标是(2sin 2，2cos 2)，则sin 等于()asin 2 b.sin 2ccos 2 dcos 2解析：选d因为r2，由任意三角函数的定义，得sin cos 2.4设是第三象限角，且cos ，则是()a第一象限角 b.第二象限角c第三象限角 d第四象限角解析：选b由是第三象限角，知为第二或第四象限角，cos ，cos 0，综上知为第二象限角5点a(sin 2 018，cos 2 018)在直角坐标平面上位于()a第一象限 b.第二象限c第三象限 d第四象限解析：选c由2 0183605(18038)可知，2 018角的终边在第三象限，所以sin 2 0180，cos 2 0180，即点a位于第三象限6已知角的终边经过点(3a9，a2)，且cos 0，sin 0，则实数a的取值范围是_解析：cos 0，sin 0，角的终边落在第二象限或y轴的正半轴上2a3.答案：(2,37已知是第二象限的角，则180是第_象限的角解析：由是第二象限的角可得90k360180k360(kz)，则180(180k360)180180(90k360)(kz)，即k36018090k360(kz)，所以180是第一象限的角答案：一8(2017北京高考)在平面直角坐标系xoy中，角与角均以ox为始边，它们的终边关于y轴对称若sin ，则sin _.解析：当角的终边在第一象限时，取角终边上一点p1(2，1)，其关于y轴的对称点(2，1)在角的终边上，此时sin ；当角的终边在第二象限时，取角终边上一点p2(2，1)，其关于y轴的对称点(2，1)在角的终边上，此时sin .综上可得sin .答案：9已知角的终边上有一点(a，a)，ar且a0，则sin 的值是_解析：由已知得r|a|，sin 所以sin 的值是或.答案：或10已知扇形aob的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长ab.解：设扇形aob的半径为r，弧长为l，圆心角为，(1)由题意可得解得或或6.(2)法一：2rl8，s扇lrl2r224，当且仅当2rl，即2时，扇形面积取得最大值4.圆心角2，弦长ab2sin 124sin 1.法二：2rl8，s扇lrr(82r)r(4r)(r2)244，当且仅当r2，即2时，扇形面积取得最大值4.弦长ab2sin 124sin 1.11角终边上的点p与a(a,2a)关于x轴对称(a0)，角终边上的点q与a关于直线yx对称，求sin cos sin cos tan tan 的值解：由题意得，点p的坐标为(a，2a)，点q的坐标为(2a，a)所以sin ，cos ，tan 2，sin ，cos ，tan ，故sin cos sin cos tan tan (2)1.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1若是第三象限角，则y的值为( )a0 b.2c2 d2或2解析：选a由于是第三象限角，所以是第二或第四象限角，当是第二象限角时，y110；当是第四象限角时，y110.2已知sin 0，tan 0.(1)求角的集合；(2)求终边所在的象限；(3)试判断 tansin cos的符号解：(1)由sin 0，知在第三、四象限或y轴的负半轴上；由tan 0, 知在第一、三象限，故角在第三象限，其集合为.(2)由2k2k，kz，得kk，kz，故终边在第二、四象限(3)当在第二象限时，tan 0，sin 0, cos 0，所以tan sin cos取正号；当在第四象限时， tan0，sin0, cos0，所以 tansincos也取正号因此，tansin cos 取正号第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式_1同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2cos21；(2)商数关系：tan .2诱导公式组序一二三四五六角2k(kz)正弦sin sin sin sin cos cos_余弦cos cos cos cos_sin sin 正切tan tan tan tan_口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限记忆规律奇变偶不变，符号看象限小题体验1已知sin，则sin()_.答案：2若sin cos ，则tan 的值为_答案：23化简sin(1 071)sin 99sin(171)sin(261)的结果为_解析：原式(sin 1 071)sin 99sin 171sin 261sin(33609)sin(909)sin(1809)sin(2709)sin 9cos 9sin 9cos 90.答案：01利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负脱周化锐特别注意函数名称和符号的确定2在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号3注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化小题纠偏1已知是第二象限角，sin ，则cos _.答案：2(1)sin_，(2)tan_.答案：(1)(2)题组练透1(2018宁波模拟)sin 210cos 120的值为()a.bc d.解析：选asin 210cos 120sin 30(cos 60).2已知a(kz)，则a的值构成的集合是()a1，1,2，2 b.1,1c2，2 d1，1,0,2，2解析：选c当k为偶数时，a2；当k为奇数时，a2.3已知tan，则tan_.解析：tantantantan.答案：4(易错题)设f()，求f的值解：f()，f.5已知2，cos(7)，求sin(3)tan的值解：cos(7)cos(7)cos()cos ，cos .sin(3)tansin()sin tansin sin cos .谨记通法1利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了”2利用诱导公式化简三角函数的要求(1)化简过程是恒等变形；(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值，如“题组练透”第4题典例引领1已知5，则sin2sin cos 的值为()abc. d.解析：选d依题意得：5，tan 2.sin2sin cos .2已知，tan 2，则cos _.解析：依题意得由此解得cos2，又，因此cos .答案：3已知sin cos ，则sin cos 的值为_解析：因为(sin cos )2sin2cos22sin cos 12sin cos ，所以2sin cos ，则(sin cos )2sin2cos22sin cos 12sin cos .又因为，所以sin cos ，即sin cos 0，所以sin cos .答案：由题悟法同角三角函数基本关系式的应用技巧技巧解读适合题型切弦互化主要利用公式tan 化成正弦、余弦，或者利用公式tan 化成正切表达式中含有sin ，cos 与tan “1”的变换1sin2cos2cos2(1tan2)tan(sin cos )22sin cos 表达式中需要利用“1”转化和积转换利用(sin cos )212sin cos 的关系进行变形、转化表达式中含有sin cos 或sin cos 即时应用1若sin ，且为第四象限角，则tan 的值等于()a.bc. d解析：选d法一：因为为第四象限的角，故cos ，所以tan .法二：因为是第四象限角，且sin ，所以可在的终边上取一点p(12，5)，则tan .故选d.2已知是三角形的内角，且sin cos .求tan 的值是()a b.c d解析：选d联立方程组由得cos sin ，将其代入，整理得25sin25sin 120.是三角形的内角，tan .3已知sin cos ，且，则cos sin 的值为()ab.cd.解析：选b，cos 0，sin 0且|cos |sin |，cos sin 0，又(cos sin )212sin cos 12，cos sin .4已知sin()cos()，则sin cos _.解析：由sin()cos()，得sin cos ，将两边平方得12sin cos ，故2sin cos .(sin cos )212sin cos 1.又，sin 0，cos 0.sin cos .答案：一抓基础，多练小题做到眼疾手快1若，sin ，则cos()()ab.c. d解析：选b因为，sin ，所以cos ，即cos().2已知sin()cos(2)，|，则等于()a b.c. d.解析：选dsin()cos(2)，sin cos ，tan .|，.3已知tan 2，则sin21()a0 b.c. d.解析：选bsin21.4.()asin 2cos 2 b.cos 2sin 2c(sin 2cos 2) dsin 2cos 2解析：选a|sin 2cos 2|.又2，sin 20，cos 20.|sin 2cos 2|sin 2cos 2.5如果sin(a)，那么cos的值是_解析：sin(a)，sin a.cossin a.答案：二保高考，全练题型做到高考达标1已知tan()，且，则sin()a. b.c. d解析：选b因为tan()，所以tan .又因为，所以为第三象限的角，sincos .2已知f(x)asin(x)bcos(x)4，若f(2 018)5，则f(2 019)的值是()a2 b.3c4 d5解析：选bf(2 018)5，asin(2 018)bcos(2 018)45，即asin bcos 1.f(2 019)asin(2 019)bcos(2 019)4asin bcos 4143.3(2018宁波五校联考)已知倾斜角为的直线l与直线x2y30垂直，则cos的值为()a b.c2 d解析：选b由题意可得tan 2，所以coscos 2.4当为第二象限角，且sin时，的值是()a1 b.1c1 d0解析：选bsin，cos，在第一象限，且cos 0时的情况3三角函数存在多个单调区间时易错用“”联结小题纠偏1函数y4sin(x)，x，的单调性是()a在，0上是增函数，在0，上是减函数b在上是增函数，在和上是减函数c在0，上是增函数，在，0上是减函数d在和上是增函数，在上是减函数答案：d2函数f(x)sin在区间上的最小值为_解析：由已知x，得2x，所以sin，故函数f(x)sin在区间上的最小值为.答案：题组练透1函数y的定义域为_解析：由2sin x10，得sin x，所以2kx2k(kz)答案：(kz)2函数ylg(sin 2x)的定义域为_解析：由得3x或0x0，|0，当k0时，min，故选d.3函数y 的定义域为()a.b.(kz)c.(kz)dr解析：选ccos x0，得cos x，2kx2k，kz.4(2018浙江六校联考)函数y3sin xcos xx的单调递增区间是_解析：化简可得y2sin，由2kx2k(kz)，得2kx2k(kz)，又x，函数的单调递增区间是.答案：5函数f(x)sin在上的值域是_解析：x，2x，当2x，即x时，f(x)max1.当2x，即x时，f(x)min，f(x).答案：二保高考，全练题型做到高考达标1y|cos x|的一个单调增区间是()a. b.0，c. d.解析：选d将ycos x的图象位于x轴下方的图象关于x轴对称，x轴上方(或x轴上)的图象不变，即得y|cos x|的图象(如图)故选d.2如果函数y3cos(2x)的图象关于点对称，那么|的最小值为()a. b.c. d.解析：选a由题意得3cos3cos23cos0，k，kz，k，kz，取k0，得|的最小值为.3函数f(x)2sin(x)(0)对任意x都有ff，则f的值为()a2或0 b.2或2c0 d2或0解析：选b因为函数f(x)2sin(x)对任意x都有ff，所以该函数图象关于直线x对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，所以选b.4已知函数f(x)2sin(x)，xr，其中0，.若f(x)的最小正周期为6，且当x时，f(x)取得最大值，则( )af(x)在区间2，0上是增函数bf(x)在区间3，上是增函数cf(x)在区间3，5上是减函数df(x)在区间4，6上是减函数解析：选af(x)的最小正周期为6，.当x时，f(x)有最大值，2k(kz)，2k(kz)，.f(x)2sin，令2k2k，kz，得6kx6k，kz，故f(x)的单调增区间为，kz，令k0，得x，2，0，故a正确5已知0，函数f(x)sin在上单调递减，则的取值范围是()a. b.c. d(0,2解析：选a由x得x0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且该函数图象关于点(x0,0)成中心对称，x0，则x0_.解析：由题意得，t，2.又2x0k(kz)，x0(kz)，而x0，所以x0.答案：9已知函数f(x)(sin xcos x)22cos2x2.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)当x时，求函数f(x)的最大值，最小值解：(1)f(x)sin 2xcos 2xsin，令2k2x2k，kz，得kxk，kz.故f(x)的单调递增区间为，kz.(2)x，2x，1sin，f(x)1，当x时，函数f(x)的最大值为1，