（浙江专版）2018高考数学一轮复习 第7章 立体几何 热点探究训练4 立体几何中的高考热点问题.doc

热点探究训练(四) 立体几何中的高考热点问题1如图9所示，已知直三棱柱abca1b1c1中，abc为等腰直角三角形，bac90，且abaa1，d，e，f分别为b1a，c1c，bc的中点求证：图9(1)de平面abc；(2)b1f平面aef. 【导学号：51062255】证明(1)如图，建立空间直角坐标系axyz，令abaa14，则a(0,0,0)，e(0,4,2)，f(2,2,0)，b(4,0,0)，b1(4,0,4)取ab中点为n，连接cn，则n(2,0,0)，c(0,4,0)，d(2,0,2)，3分(2,4,0)，(2,4,0)，denc.又nc平面abc，de平面abc.故de平面abc.6分(2)(2,2，4)，(2，2，2)，(2,2,0)(2)22(2)(4)(2)0，(2)222(4)00.12分，即b1fef，b1faf.又affef，b1f平面aef.15分2(2017绍兴模拟)如图10，六面体abcdhefg中，四边形abcd为菱形，ae，bf，cg，dh都垂直于平面abcd.若dadhdb4，aecg3.图10(1)求证：egdf；(2)求be与平面efgh所成角的正弦值解(1)证明：连接ac，由ae綊cg可得四边形aegc为平行四边形，所以egac，而acbd，acbf，所以egbd，egbf，3分因为bdbfb，所以eg平面bdhf，又df平面bdhf，所以egdf.6分(2)设acbdo，eghfp，由已知可得，平面adhe平面bcgf，所以ehfg，同理可得efhg，所以四边形efgh为平行四边形，所以p为eg的中点，o为ac的中点，所以op綊ae，从而op平面abcd.9分又oaob，所以oa，ob，op两两垂直由平面几何知识得bf2.如图，建立空间直角坐标系oxyz，则b(0,2,0)，e(2，0,3)，f(0,2,2)，p(0,0,3)，所以(2，2,3)，(2，0,0)，(0,2，1).12分设平面efgh的法向量为n(x，y，z)，由可得令y1，则z2，所以n(0,1,2)设be与平面efgh所成角为，则sin .故直线be与平面efgh所成角的正弦值为.15分3如图11，直角三角形abc中，a60，abc90，ab2，e为线段bc上一点，且bebc，沿ac边上的中线bd将abd折起到pbd的位置图11(1)求证：bdpe；(2)当平面pbd平面bcd时，求二面角cpbd的余弦值解由已知得dcpdpbbd2，bc2.1分(1)证明：取bd的中点o，连接oe，po.ob1，be且obe30，oe，oebd.3分pbpd，o为bd的中点，pobd，又pooeo，bd平面poe，bdpe.6分(2)平面pbd平面bcd，po平面bcd，oe，ob，op两两垂直，如图以o为坐标原点，以oe，ob，op所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则b(0,1,0)，p(0,0，)，c(，2,0)，(0，1，)，(，3,0).9分设平面pbc的法向量为n(x，y，z)，则不妨令y，得n(3，1).12分又平面pbd的一个法向量为m(1,0,0)，cosm，n，故二面角cpbd的余弦值为.15分4在如图12所示的圆台中，ac是下底面圆o的直径，ef是上底面圆o的直径，fb是圆台的条母线. 图12(1)已知g，h分别为ec，fb的中点，求证：gh平面abc；(2)已知effbac2，abbc，求二面角 fbca的余弦值. 【导学号：51062256】解(1)证明：设cf的中点为i，连接gi，hi.在cef中，因为点g，i分别是ce，cf的中点，所以gief.2分又efob，所以giob.在cfb中，因为h，i分别是fb，cf的中点，所以hibc.又higii，所以平面ghi平面abc.因为gh平面ghi，所以gh平面abc.6分(2)法一：连接oo，则oo平面abc.又abbc，且ac是圆o的直径，所以boac.以o为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系oxyz.由题意得b(0,2，0)，c(2，0,0)过点f作fmob于点m，所以fm3，可得f(0，3).9分故(2，2，0)，(0，3)设m(x，y，z)是平面bcf的法向量由可得12分可得平面bcf的一个法向量m.因为平面abc的一个法向量n(0,0,1)，所以cos m，n，所以二面角fbca的余弦值为.15分法二：如图，连接oo，过点f作fmob于点m，则有fmoo.又oo平面abc，所以fm平面abc，可得fm3.9分过点m作mnbc于点n，连接fn，可得fnbc，从而fnm为二面角fbca的平面角又abbc，ac是圆o的直径，所以mnbmsin 45.12分从而fn，可得cosfnm.所以二面角fbca的余弦值为.15分5已知四棱锥pabcd的底面abcd是矩形，pa平面abcd，ad2，ab1，e，f分别是线段ab，bc的中点图13(1)求证：pffd；(2)判断并说明pa上是否存在点g，使得eg平面pfd；(3)若pb与平面abcd所成的角为45，求二面角apdf的余弦值解(1)证明：pa平面abcd，bad90，ab1，ad2.建立如图所示的空间直角坐标系axyz，则a(0,0,0)，b(1,0,0)，f(1,1,0)，d(0,2,0)，不妨令p(0,0，t)，t0.2分(1,1，t)，(1，1,0)，111(1)(t)00，pffd.4分(2)设平面pfd的法向量为n(x，y，z)，由得则取z1，则n.设g(0,0，m)(0mt).8分e，由题意n0，m0，mt，当g是线段pa的靠近于a的一个四等分点时，使得eg平面pfd.10分(3)pa平面abcd，pba就是pb与平面abcd所成的角，即pba45，paab1，p(0,0,1)，由(2)知平面pfd的一个法向量为n.12分易知平面pad的一个法向量为(1,0,0)，cos，n.由图知，二面角apdf的平面角为锐角，二面角apdf的余弦值为.15分6如图14，四边形abcd为菱形，abc120，e，f是平面abcd同一侧的两点，be平面abcd，df平面abcd，be2df，aeec.图14(1)证明：平面aec平面afc；(2)求直线ae与直线cf所成角的余弦值解(1)证明：如图，连接bd，设bdacg，连接eg，fg，ef.在菱形abcd中，不妨设gb1.由abc120，可得aggc.1分由be平面abcd，abbc，可知aeec.又aeec，所以eg，且egac.在rtebg中，可得be，故df.在rtfdg中，可得fg.在直角梯形bdfe中，由bd2，be，df，可得ef.4分从而eg2fg2ef2，所以egfg.又acfgg，所以eg平面afc.因为e