（新课标Ⅰ）2016年高考数学第二次大联考模拟试卷 理（含解析）.doc

2016年全国第二次大联考高考数学模拟试卷（新课标）（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设集合a=x|x2x60，xr，b=y|y=|x|3，xa，则ab等于（）ax|0x3bx|1x0cx|2x0dx|3x32命题p：x0r，不等式成立，则p的否定为（）ax0r，不等式成立bxr，不等式cosx+ex10成立cxr，不等式cosx+ex10成立dxr，不等式cosx+ex10成立3在复平面内复数的模为，则复数zbi在复平面上对应的点在（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限4我国数学史上有一部堪与欧几里得几何原本媲美的书，这就是历来被尊为算经之首的九章算术，其中卷第五商功有一道关于圆柱体的体积试题：今有圆堡，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？其意思是：含有圆柱形的土筑小城堡，底面周长是4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少？若取3，估算小城堡的体积为（）a1998立方尺b2012立方尺c2112立方尺d2324立方尺5cos54+cos66cos6=（）a0bcd16已知双曲线=1（ab0）与两条平行直线l1：y=x+a与l2：y=xa相交所得的平行四边形的面积为6b2则双曲线的离心率是（）abcd27如图，已知在等腰梯形abcd中，ab=4，abcd，bad=45，e，f，g分别是ab，bc，cd的中点，若在方向上的投影为，则=（）a1b2c3d48如图所示，函数离y轴最近的零点与最大值均在抛物线上，则f（x）=（）abcd9某程序框图如图所示，若输出s=，则判断框中m为（）ak7？bk6？ck8？dk8？10已知（abx）5的展开式中第4项的系数与含x4的系数分别为80与80，则（abx）5展开式所有项系数之和为（）a1b1c32d6411如图所示是沿圆锥的两条母线将圆锥削去一部分后所得几何体的三视图，其体积为，则圆锥的母线长为（）abc4d12已知关于x的方程x22alnx2ax=0有唯一解，则实数a的值为（）a1bcd二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13已知函数为偶函数，则实数a=14已知f是抛物线y2=4x的焦点，过该抛物线上一点m作准线的垂线，垂足为n，若，则nmf=15已知实数x、y满足，则的取值范围是16如图，已知点d在abc的bc边上，且dac=90，cosc=，ab=6，bd=，则adsinbad=三、解答题（本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17设sn是数列an的前n项和，an0，且（1）求数列an的通项公式；（2）设，tn=b1+b2+bn，求证：18如图，在直三棱柱abca1b1c1（侧棱垂直于底面的棱柱为直棱柱）中，bc=cc1=1，ac=2，abc=90（1）求证：平面abc1平面a1b1c；（2）设d为ac的中点，求平面abc1与平面c1bd所成锐角的余弦值19广场舞是现代城市群众文化、娱乐发展的产物，其兼具文化性和社会性，是精神文明建设成果的一个重要指标和象征.2015年某高校社会实践小组对某小区跳广场舞的人的年龄进行了凋查，随机抽取了40名广场舞者进行调查，将他们年龄分成6段：20，30），30，40），40，50），50，60），60，70），70，80后得到如图所示的频率分布直方图（1）估计在40名广场舞者中年龄分布在40，70）的人数；（2）求40名广场舞者年龄的中位数和平均数的估计值；（3）若从年龄在20，40）中的广场舞者中任取2名，求这两名广场舞者年龄在30，40）中的人数x的分布列及数学期望20已知椭圆c： +=1（b0）的右焦点到直线xy+3=0的距离为5，且椭圆的一个长轴端点与一个短轴端点间的距离为（1）求椭圆c的方程；（2）在x轴上是否存在点q，使得过q的直线与椭圆c交于a、b两点，且满足+为定值？若存在，请求出定值，并求出点q的坐标；若不存在，请说明理由21已知函数f（x）=2ax2+bx+1（e为自然对数的底数）（1）若，求函数f（x）=f（x）ex的单调区间；（2）若b=e12a，方程f（x）=ex在（0，1）内有解，求实数a的取值范围选讲4-1：几何证明选讲22如图，过圆o外一点p作圆的切线pc，切点为c，割线pab、割线pef分别交圆o于a与b、e与f已知pb的垂直平分线de与圆o相切（1）求证：debf；（2）若，de=1，求pb的长选修4-4：极坐标系与参数方程23已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的非负半轴重合，若曲线c的极坐标方程为=6cos+2sin，直线l的参数方程为（t为参数）（1）求曲线c的直角坐标方程与直线l的普通方程；（2）设点q（1，2），直线l与曲线c交于a，b两点，求|qa|qb|的值选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|a3x|2+x|（1）若a=2，解不等式f（x）3；（2）若存在实数a，使得不等式f（x）1a+2|2+x|成立，求实数a的取值范围2016年全国第二次大联考高考数学模拟试卷（新课标）（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设集合a=x|x2x60，xr，b=y|y=|x|3，xa，则ab等于（）ax|0x3bx|1x0cx|2x0dx|3x3【考点】交集及其运算【分析】分别求出关于集合a、b的范围，取交集即可【解答】解：a=x|x2x60，xr=x|2x3=（2，3），b=y|y=|x|3，xa=3，0），则ab=（2，0），故选：c2命题p：x0r，不等式成立，则p的否定为（）ax0r，不等式成立bxr，不等式cosx+ex10成立cxr，不等式cosx+ex10成立dxr，不等式cosx+ex10成立【考点】全称命题；特称命题【分析】利用命题的否定定义即可得出【解答】解：命题p：x0r，不等式成立，则p的否定为：xr，不等式cosx+ex10成立故选：c3在复平面内复数的模为，则复数zbi在复平面上对应的点在（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限【考点】复数代数形式的混合运算；复数求模【分析】求出b的值，从而求出zbi对应的点所在的象限即可【解答】解： =+i，故|z|=，解得：b=6，z=1+5i，zbi=1+5i6i=1i，故复数zbi在复平面上对应的点在第三象限，故选：c4我国数学史上有一部堪与欧几里得几何原本媲美的书，这就是历来被尊为算经之首的九章算术，其中卷第五商功有一道关于圆柱体的体积试题：今有圆堡，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？其意思是：含有圆柱形的土筑小城堡，底面周长是4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少？若取3，估算小城堡的体积为（）a1998立方尺b2012立方尺c2112立方尺d2324立方尺【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【分析】根据周长求出城堡的底面半径，代入圆柱的体积公式计算【解答】解：设圆柱形城堡的底面半径为r，则由题意得2r=48，r=8尺又城堡的高h=11尺，城堡的体积v=r2h=64112112立方尺故选：c5cos54+cos66cos6=（）a0bcd1【考点】三角函数的化简求值【分析】利用和差化积公式，诱导公式化简已知即可计算求值【解答】解：cos54+cos66cos6=2coscoscos6=2cos60cos（6）cos6=cos6cos6=0故选：a6已知双曲线=1（ab0）与两条平行直线l1：y=x+a与l2：y=xa相交所得的平行四边形的面积为6b2则双曲线的离心率是（）abcd2【考点】双曲线的简单性质【分析】将直线y=x+a代入双曲线的方程，运用韦达定理和弦长公式，再由两平行直线的距离公式，结合平行四边形的面积公式，化简整理，运用双曲线的离心率公式，计算即可得到所求值【解答】解：由y=x+a代入双曲线的方程，可得（b2a2）x22a3xa4a2b2=0，设交点a（x1，y1），b（x2，y2），x1+x2=，x1x2=，由弦长公式可得|ab|=2，由两平行直线的距离公式可得d=，由题意可得6b2=2，化为a2=3b2，又b2=c2a2，可得c2=a2，即e=故选：b7如图，已知在等腰梯形abcd中，ab=4，abcd，bad=45，e，f，g分别是ab，bc，cd的中点，若在方向上的投影为，则=（）a1b2c3d4【考点】平面向量数量积的运算【分析】由题意建立平面直角坐标系，从而利用平面向量的坐标表示化简即可【解答】解：建立如右图所示的平面直角坐标系，bad=45，设d（x，x），（x0），则c（4x，x），g（2，x），e（2，0），f（，），故=（2，），所以在方向上的投影为=，即=，解得，x=1；故cd=42=2，故=2，故选：b8如图所示，函数离y轴最近的零点与最大值均在抛物线上，则f（x）=（）abcd【考点】正弦函数的图象【分析】根据题意，令y=0，求出点（，0）在函数f（x）的图象上，再令y=1，求出点（，1）在函数f（x）的图象上，从而求出与的值，即可得出f（x）的解析式【解答】解：根据题意，函数f（x）离y轴最近的零点与最大值均在抛物线上，令y=0，得x2+x+1=0，解得x=或x=1；点（，0）在函数f（x）的图象上，+=0，即=；又令x+=，得x=；把代人得，x=；令y=1，得x2+x+1=1，解得x=0或x=；即=，解得=，=，f（x）=sin（x+）故选：c9某程序框图如图所示，若输出s=，则判断框中m为（）ak7？bk6？ck8？dk8？【考点】程序框图【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：第一次执行循环体，s=，不满足结束循环的条件，故k=2；第二次执行循环体，s=，不满足结束循环的条件，故k=3；第三次执行循环体，s=，不满足结束循环的条件，故k=4；第四次执行循环体，s=，不满足结束循环的条件，故k=5；第五次执行循环体，s=1，不满足结束循环的条件，故k=6；第六次执行循环体，s=，不满足结束循环的条件，故k=7；第七次执行循环体，s=，不满足结束循环的条件，故k=8；第八次执行循环体，s=，满足结束循环的条件，故退出的循环的条件，应为：k8？，故选：d10已知（abx）5的展开式中第4项的系数与含x4的系数分别为80与80，则（abx）5展开式所有项系数之和为（）a1b1c32d64【考点】二项式定理的应用【分析】由题意可得ab的方程，解得ab令x=1计算可得【解答】解：（abx）5的展开式中第4项的系数与含x4的系数分别为80与80，a2（b）3=80， a（b）4=80，解得a=1，b=2（abx）5=（12x）5，令x=1可得（12x）5=1，展开式所有项系数之和为1，故选：a11如图所示是沿圆锥的两条母线将圆锥削去一部分后所得几何体的三视图，其体积为，则圆锥的母线长为（）abc4d【考点】简单空间图形的三视图【分析】由三视图求出圆锥母线，高，底面半径进而求出锥体的底面积，代入锥体体积公式，可得答案【解答】解：由已知中的三视图，圆锥母线l，圆锥的高h=2，圆锥底面半径为r=，截去的底面弧的圆心角为120，底面剩余部分为s=r2+r2sin120=（l24）+（l24），因为几何体的体积为v=sh=，所以s=+，所以（l24）+（l24）=+，解得l=2故选：a12已知关于x的方程x22alnx2ax=0有唯一解，则实数a的值为（）a1bcd【考点】利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】构造函数g（x）=x22alnx2ax，将方程有唯一解，转化为g（x）=0有唯一解，即可求得a的值【解答】解：由选项知a0，设g（x）=x22alnx2ax，（x0），若方程x22alnx2ax=0有唯一解，即g（x）=0有唯一解，则g（x）=2x2a=，令g（x）=0，可得x2axa=0，a0，x0，x1=（另一根舍去），当x（0，x1）时，g（x）0，g（x）在（0，x1）上是单调递减函数；当x（x1，+）时，g（x）0，g（x）在（x1，+）上是单调递增函数，当x=x2时，g（x1）=0，g（x）min=g（x1），g（x）=0有唯一解，g（x1）=0，2alnx1+ax1a=0a0，2lnx1+x11=0，设函数h（x）=2lnx+x1，x0时，h（x）是增函数，h（x）=0至多有一解，h（1）=0，方程2lnx1+x11=0的解为x1=1，即x1=1，当a0，方程f（x）=2ax有唯一解时a的值为故选：b二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13已知函数为偶函数，则实数a=1【考点】函数奇偶性的性质【分析】根据函数奇偶性的定义，结合奇函数f（0）=0进行求解即可【解答】解：函数的定义域为r，若函数f（x）是偶函数，则g（x）=ex+是奇函数，则f（0）=0，即f（0）=1+a=0，则a=1，故答案为：114已知f是抛物线y2=4x的焦点，过该抛物线上一点m作准线的垂线，垂足为n，若，则nmf=【考点】抛物线的简单性质【分析】由，利用抛物线的定义可得：xm+1=，解得xm，代入抛物线方程可得：ym可得：kmf=tanmfx，进而得出【解答】解：，xm+1=，解得xm=代入抛物线方程可得： =4，解得ym=取ym=kmf=tanmfx，mfx=则nmf=故答案为：15已知实数x、y满足，则的取值范围是（1，1【考点】简单线性规划【分析】易知y=log2x在其定义域上是增函数，从而化为利用线性规划求+的取值范围【解答】解：由题意作平面区域如下，的几何意义是点（x，y）与点a（1，1）确定的直线的斜率，易知b（1，0），故=， =1，故1，故+2，故1log2（+）1，故答案为：（1，116如图，已知点d在abc的bc边上，且dac=90，cosc=，ab=6，bd=，则adsinbad=【考点】正弦定理【分析】由已知及，可得ac=cd，由余弦定理可解得cd，进而可求ac，即可得解sinb，由正弦定理即可计算adsinbad=bdsinb的值【解答】解：dac=90，=，可得：ac=cd，又ab=6，在abc中，由余弦定理可得：36=（cd）2+（+cd）22cd（+cd），整理可得：cd2+2cd90=0，解得：cd=3，ac=6，ab=ac=6，sinb=sinc=，在abd中，由正弦定理可得：adsinbad=bdsinb=故答案为：三、解答题（本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17设sn是数列an的前n项和，an0，且（1）求数列an的通项公式；（2）设，tn=b1+b2+bn，求证：【考点】数列的求和【分析】（1）通过与sn1=an1（an1+3）作差，进而可知数列an是首项、公差均为3的等差数列，计算即得结论；（2）通过（1）裂项可知bn=（），进而并项相加即得结论【解答】（1）解：，sn1=an1（an1+3），an= +3an（+3an1），整理得：=3（an+an1），又an0，anan1=3，又a1=a1（a1+3），即a1=3或a1=0（舍），数列an是首项、公差均为3的等差数列，其通项公式an=3n；（2）证明：由（1）可知=（），tn=b1+b2+bn=（+）=（）18如图，在直三棱柱abca1b1c1（侧棱垂直于底面的棱柱为直棱柱）中，bc=cc1=1，ac=2，abc=90（1）求证：平面abc1平面a1b1c；（2）设d为ac的中点，求平面abc1与平面c1bd所成锐角的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定【分析】（1）由四边形bcc1b1是正方形得bc1b1c，由a1b1平面bcc1b1得出a1b1bc1，故bc1平面a1b1c，从而平面abc1平面a1b1c；（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可平面abc1与平面c1bd所成锐角的余弦值【解答】证明：（1）直三棱柱abca1b1c1，bc=cc1，四边形bcc1b1是正方形，bc1b1c，abbc，abbb1，bc，bb1平面bcc1b1，bcbb1=b，ab平面bcc1b1，bc1平面bcc1b1，abbc1，又aba1b1，a1b1bc1，又a1b1平面平面a1b1c，b1c平面a1b1c，a1b1b1c=b1，bc1平面a1b1c，又bc1平面abc1，平面abc1平面a1b1c（2）bc=cc1=1，ac=2，abc=90ab=，建立以b为坐标原点，bc，ba，bb1分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：则b（0，0，0），c（1，0，0），b1（0，0，1），a（0，0），c1（1，0，1），d（，0），设平面abc1的法向量为=（x，y，z），则=（1，0，1），=（0，0），则=x+z=0， =y=0，令x=1，则z=1，y=0，即平面abc1的法向量为， =（1，0，1），设平面c1bd的法向量为=（x，y，z），则=（1，0，1），=（，0），则=x+z=0， =x+y=0，令y=1，则x=，z=，即平面c1bd的法向量为， =（，1，），则=则平面abc1与平面c1bd所成锐角的余弦值是19广场舞是现代城市群众文化、娱乐发展的产物，其兼具文化性和社会性，是精神文明建设成果的一个重要指标和象征.2015年某高校社会实践小组对某小区跳广场舞的人的年龄进行了凋查，随机抽取了40名广场舞者进行调查，将他们年龄分成6段：20，30），30，40），40，50），50，60），60，70），70，80后得到如图所示的频率分布直方图（1）估计在40名广场舞者中年龄分布在40，70）的人数；（2）求40名广场舞者年龄的中位数和平均数的估计值；（3）若从年龄在20，40）中的广场舞者中任取2名，求这两名广场舞者年龄在30，40）中的人数x的分布列及数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列【分析】（1）由频率分布直方图先求出年龄分布在40，70）的频率，由此能求出在40名广场舞者中年龄分布在40，70）的人数（2）利用频率分布图能求出40名广场舞者年龄的中位数和平均数的估计值（3）从年龄在20，40）中的广场舞者有6人，其中年龄在20，30）中的广场舞者有2人，年龄在30，40）中的广场舞者有4人，x的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出x的分布列和ex【解答】解：（1）由频率分布直方图得年龄分布在40，70）的频率为（0.020+0.030+0.025）10=0.75，在40名广场舞者中年龄分布在40，70）的人数为：400.75=30（人）（2）年龄分布在20，50）的频率为（0.005+0.010+0.020）10=0.35，年龄分布在50，60）的频率为0.3，中位数为：50+=55平均数的估计值为：250.05+350.1+450.2+550.3+650.25+750.1=54（3）从年龄在20，40）中的广场舞者有（0.005+0.010）1040=6人，其中年龄在20，30）中的广场舞者有2人，年龄在30，40）中的广场舞者有4人，x的可能取值为0，1，2，p（x=0）=，p（x=1）=，p（x=2）=，x的分布列为： x 0 1 2 pex=20已知椭圆c： +=1（b0）的右焦点到直线xy+3=0的距离为5，且椭圆的一个长轴端点与一个短轴端点间的距离为（1）求椭圆c的方程；（2）在x轴上是否存在点q，使得过q的直线与椭圆c交于a、b两点，且满足+为定值？若存在，请求出定值，并求出点q的坐标；若不存在，请说明理由【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）运用点到直线的距离公式，以及两点的距离公式和a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）假设在x轴上存在点q（m，0），使得过q的直线与椭圆c交于a、b两点，且满足+为定值设过q的直线的参数方程为（t为参数），代入椭圆方程，运用判别式大于0和韦达定理，化简整理，再由同角的平方关系，解方程可得m，即可判断存在q【解答】解：（1）右焦点f（c，0）到直线xy+3=0的距离为5，可得=5，解得c=2，由题意可得a2+b2=10，又a2b2=8，解得a=3，b=1，即有椭圆方程为+y2=1；（2）假设在x轴上存在点q（m，0），使得过q的直线与椭圆c交于a、b两点，且满足+为定值设过q的直线的参数方程为（t为参数），代入椭圆方程x2+9y2=9，可得t2（cos2+9sin2）+2mcost+m29=0，可得=（2mcos）24（cos2+9sin2）（m29）0，t1t2=，t1+t2=，则+=+=，=为定值，即有2（m2+9）=18（9m2），解得m=，代入判别式显然成立故在x轴上存在点q（，0），使得过q的直线与椭圆c交于a、b两点，且满足+为定值1021已知函数f（x）=2ax2+bx+1（e为自然对数的底数）（1）若，求函数f（x）=f（x）ex的单调区间；（2）若b=e12a，方程f（x）=ex在（0，1）内有解，求实数a的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系【分析】（1）若a=，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系即可求函数f（x）的单调区间；（2）根据函数与方程之间的关系转化为函数存在零点问题，构造函数，求函数的导数，利用函数极值和函数零点之间的关系进行转化求解即可【解答】解：（1）若a=，f（x）=（x2+bx+1）ex，则f（x）=（2x+b）ex+（x2+bx+1）ex=x2+（b+2）x+b+1ex=（x+1）x+（b+1）ex，由f（x）=0得（x+1）x+（b+1）=0，即x=1或x=（b+1），若b+1=1，即b=0时，f（x）=（x+1）2ex0，此时函数单调递增，单调递增区间为（，+），若（b+1）1，即b0时，由f（x）0得（x+1）x+（b+1）0，即x1或x（b+1），此时函数单调递增，单调递增区间为（，（b+1），（1，+），由f（x）0得（x+1）x+（b+1）0，即（b+1）x1，此时函数单调递减，单调递减区间为（b+1），1），若（b+1）1，即b0时，由f（x）0得（x+1）x+（b+1）0，解得：x（b+1）或x1，此时函数单调递增，单调递增区间为（，1），（b+1），+），由f（x）0得（x+1）x+（b+1）0，解得：1x（b+1），此时函数单调递减，单调递减区间为（1，（b+1）；（2）方程f（x）=ex在（0，1）内有解，即2ax2+bx+1=ex在（0，1）内有解，即ex2ax2bx1=0，设g（x）=ex2ax2bx1，则g（x）在（0，1）内有零点，设x0是g（x）在（0，1）内的一个零点，则g（0）=0，g（1）=0，知函数g（x）在（0，x0）和（x0，1）上不可能单调递增，也不可能单调递减，设h（x）=g（x），则h（x）在（0，x0）和（x0，1）上存在零点，即h（x）在（0，1）上至少有两个零点，g（x）=ex4axb，h（x）=ex4a，当a时，h（x）0，h（x）在（0，1）上递增，h（x）不可能有两个及以上零点，当a时，h（x）0，h（x）在（0，1）上递减，h（x）不可能有两个及以上零点，当a时，令h（x）=0，得x=ln（4a）（0，1），则h（x）在（0，ln（4a）上递减，在（ln（4a），1）上递增，h（x）在（0，1）上存在最小值h（ln（4a）若h（x）有两个零点，则有h（ln（4a）0，h（0）0，h（1）0，h（ln（4a）=4a4aln（4a）b=6a4aln（4a）+1e，a，设（x）=xxlnx+1x，（1xe），则（x）=lnx，令（x）=lnx=0，得x=，当1x时，（x）0，此时函数（x）递增，当xe时，（x）0，此时函数（x）递减，则（x）max=（）=+1e0，则h（ln（4a）0恒成立，由h（0）=1b=2ae+20，h（1）=e4ab0，得a，当a时，设h（x）的两个零点为x1，x2，则g（x）在（0，x1）递增，在（x1，x2）上递减，在（x2，1）递增，则g（x1）g（0）=0，g（x2）g（1）=0，则g（x）在（x1，x2）内有零点，综上，实数a的取值范围是（，）选讲4-1：几何证明选讲22如图，过圆o外一点p作圆的切线