（重点班）高三数学一轮复习 阶段检测试题（四）理.doc

阶段检测试题(四)(时间:120分钟满分:150分) 【选题明细表】知识点、方法题号空间几何体的结构特征1几何体的三视图和直观图4,7几何体的表面积和体积8,9,19点、线、面的位置关系3,5,13平行或垂直的判定与证明2,6,10,14,17,18空间角和距离11,12,15,16,20综合问题21,22一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.关于空间几何体的结构特征,下列说法不正确的是(b)(a)棱柱的侧棱长都相等(b)棱锥的侧棱长都相等(c)三棱台的上、下底面是相似三角形(d)有的棱台的侧棱长都相等解析:根据棱锥的结构特征知,棱锥的侧棱长不一定都相等.2.已知a=(+1,0,2),b=(6,2-1,2),若ab,则与的值可以是(a)(a)2, (b)-,(c)-3,2(d)2,2解析:由题意知,+16=22,2-1=0,解得=2,=12或=-3,=12.3.(2016嘉兴月考)对于空间的两条直线m,n和一个平面,下列命题中的真命题是(d)(a)若m,n,则mn(b)若m,n,则mn(c)若m,n,则mn(d)若m,n,则mn解析:对a,直线m,n可能平行、异面或相交,故选项a错误;对b,直线m与n可能平行,也可能异面,故选项b错误;对c,m与n垂直而非平行,故选项c错误;对d,垂直于同一平面的两直线平行,故选项d正确.4.已知一个正三棱柱的所有棱长均为2,它的俯视图是一个边长为2的正三角形,那么它的侧视图的面积的最小值是(c)(a)3 (b)2(c)23 (d)4解析:如图,正三棱柱abca1b1c1中,d,d1分别是bc,b1c1的中点,则当侧视图为aa1d1d时面积最小,且面积s=23=23.5.(2015深圳二模)已知两个不同的平面,和直线m,给出下列条件:m;m;m;.由这五个条件中的两个能推出m的是(d)(a)(b)(c)(d)解析:由面面平行的性质定理可知,若m,则m,故能推出m.6.(2016铜川质检)如图,直线pa垂直于圆o所在的平面,abc内接于圆o,且ab为圆o的直径,点m为线段pb的中点.现有以下命题: bcpc;om平面apc;点b到平面pac的距离等于线段bc的长.其中真命题的个数为(d)(a)0(b)1(c)2(d)3解析:易证bc平面pac,所以bcpc;ompa,易证om平面apc;因为bc平面pac,所以点b到平面pac的距离等于线段bc的长;故都正确.7.已知abc的直观图是边长为a的等边a1b1c1(如图),那么原三角形的面积为(c) (a)32a2 (b)34a2(c)62a2 (d)6a2解析:在原图与直观图中有ob=o1b1, bc=b1c1,在直观图中,过a1作a1d1b1c1,因为a1b1c1是等边三角形,所以a1d1=32a,在rta1o1d1中,因为a1o1d1=45,所以o1a1=62a,根据直观图画法规则知oa=2o1a1=262a=6a,所以abc的面积为6aa=62a2.8.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是(c)(a)8(b)10(c)12(d)14解析:由三视图可得,该几何体的直观图如图(1)所示,将该几何体分割成一个正方体和两个直三棱柱如图(2)所示,所以该几何体的体积为222+1222=12.故选c.9.(2016银川一模)一平面截一球得到直径为25 cm的圆面,球心到这个平面的距离是2 cm,则该球的体积是(b)(a)12 cm3 (b)36 cm3(c)646 cm3(d)108 cm3解析:由题意可知,球的半径r=(5)2+22=3(cm),所以球的体积v=r3=33=36(cm3).10.平面经过三点a(-1,0,1),b(1,1,2),c(2,-1,0),则下列向量中与平面的法向量不垂直的是(d)(a) (,-1,-1)(b)(6,-2,-2)(c)(4,2,2) (d)(-1,1,4)解析:法一由已知得ab=(2,1,1),ac=(3,-1,-1),设平面的法向量为n=(x,y,z),则nab=0,nac=0,即2x+y+z=0,3x-y-z=0,解得x=0,y=-z.令y=1,则n=(0,1,-1).经验算,对于选项a,b,c所对应的向量与法向量n的数量积均为零,而对于选项d,(-1)0+11+(-1)4=-30.故选d.法二对于选项a,因为(,-1,-1)=(1,-2,-2)=12bc,所以选项a所对应的向量与平面平行;同理可知选项b,c所对应的向量均与平面平行;而选项d对应的向量与平面不平行,故选d.11.正三棱柱abca1b1c1中,ab=aa1,则ac1与平面bb1c1c所成角的正弦值为(c)(a)22(b)155(c)64(d)63解析:建立如图所示的空间直角坐标系,设ab=2,则c1(3,1,0),a(0,0,2),ac1=(3,1,-2), 平面bb1c1c的一个法向量为n=(1,0,0),所以ac1与平面bb1c1c所成的角的正弦值为|ac1n|ac1|n|=38=64.12.如图所示,abcda1b1c1d1是棱长为6的正方体,e,f分别是棱ab,bc上的动点,且ae=bf.当a1,e,f,c1共面时,平面a1de与平面c1df所成二面角的余弦值为(b)(a)32(b)(c)(d)265 解析:以d为原点,da,dc,dd1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,易知当e(6,3,0),f(3,6,0)时,a1,e,f,c1共面,设平面a1de的法向量为n1=(a,b,c),依题意得n1de=6a+3b=0,n1da1=6a+6c=0,可取n1=(-1,2,1),同理可得平面c1df的一个法向量为n2=(2,-1,1),故平面a1de与平面c1df所成二面角的余弦值为|n1n2|n1|n2|=.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2015福建六校联考)设a,b,c是空间中的三条直线,下面给出四个命题:若ab,bc,则ac;若ab,bc,则ac;若a与b相交,b与c相交,则a与c相交;若a平面,b平面,则a,b一定是异面直线.上述命题中正确的命题是(写出所有正确命题的序号).解析:由公理知正确,当ab,bc时,a与c可以相交、平行或异面,故错;当a与b相交,b与c相交时,a与c可以相交、平行,也可以异面,故错;a,b,并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”,故错.答案:14.(2015兰州质检)如图,在直角梯形abcd中,bcdc,aedc,且e为cd的中点,m,n分别是ad,be的中点,将三角形ade沿ae折起,则下列说法正确的是.(写出所有正确说法的序号)不论d折至何位置(不在平面abc内),都有mn平面dec;不论d折至何位置(不在平面abc内),都有mnae;不论d折至何位置(不在平面abc内),都有mnab;在折起过程中,一定存在某个位置,使ecad.解析:由已知,在未折叠的原梯形中,abde,bead,所以四边形abed为平行四边形,所以be=ad,折叠后如图所示.过点m作mpde,交ae于点p,连接np.因为m,n分别是ad,be的中点,所以点p为ae的中点,故npec.又mpnp=p,dece=e,所以平面mnp平面dec,故mn平面dec,正确;由已知,aeed,aeec,所以aemp,aenp,又mpnp=p,所以ae平面mnp,又mn平面mnp,所以mnae,正确;假设mnab,则mn与ab确定平面mnba,从而be平面mnba,ad平面mnba,与be和ad是异面直线矛盾,错误;当eced时,ecad.因为ecea,eced,eaed=e,所以ec平面aed,ad平面aed,所以ecad,正确. 答案:15.(2016郑州质检)正四棱锥sabcd中,o为顶点在底面上的射影,p为侧棱sd的中点,且so=od,则直线bc与平面pac的夹角的大小为.解析:以o为原点,向 量ca,db,向量os为x,y,z轴正方向,so为一个单位长度建立空间直角坐标系,则有a(1,0,0),b(0,1,0),c(-1,0,0),s(0,0,1),d(0,-1,0),p(0,-, ),向量bc=(-1,-1,0),向量pc=(-1,- ),ac=(-2,0,0),设n=(x,y,z)是平面pac的法向量,nac=0,npc=0,所以-2x=0,-x+12y-12z=0,令z=1,x=0,y=1,所以n=(0,1,1),|cos|=-122=-.所以bc与平面pac所成角为30.答案:3016.(2016石家庄模拟)如图所示,正方体abcda1b1c1d1的棱长为1,e是a1b1上的点,则点e到平面abc1d1的距离是.解析:以点d为坐标原点,da,dc,dd1所在直线为x,y,z轴,建立如图所示空间直角坐标系,设点e(1,a,1)(0a1),a(1,0,0), b(1,1,0),c1(0,1,1), d1(0,0,1),d1e=(1,a,0),ab=(0,1,0),ac1=(-1,1,1),设n=(x,y,z)是平面abc1d1的法向量,则nab=0,nac1=0.所以y=0,-x+y+z=0解得x=1,z=1.所以n=(1,0,1),所以e点到平面abc1d1的距离d=d1en|n|=12=22.答案:22三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)(2015兰州高三诊断)如图,在四棱柱abcda1b1c1d1中,底面abcd是等腰梯形,abcd,ab=2,bc=cd=1,顶点d1在底面abcd内的射影恰为点c. (1)求证:ad1bc;(2)若直线dd1与直线ab所成的角为,求平面abc1d1与平面abcd所成角(锐角)的余弦值.(1)证明:连接d1c,则d1c平面abcd,所以d1cbc,在等腰梯形abcd中,连接ac,因为ab=2,bc=cd=1,abcd,所以bcac,所以bc平面ad1c,所以ad1bc.(2)解:因为abcd,所以d1dc=.因为cd=1,所以d1c=3.在底面abcd中作cmab,连接d1m,则d1mab,所以d1mc为平面abc1d1与平面abcd所成角的一个平面角.在rtd1cm中,cm=32,d1c=3,所以d1m=cm2+d1c2=152,所以cosd1cm=55.即平面abc1d1与平面abcd所成角(锐角)的余弦值为55.18.(本小题满分12分)(2015唐山模拟)已知空间三点a(-2,0,2),b(-1,1,2),c(-3,0,4),设a=ab,b=ac.(1)求a和b夹角的余弦值;(2)设|c|=3,cbc,求c的坐标.解:(1)因为a=ab=(1,1,0),b=ac=(-1,0,2),所以ab=-1+0+0=-1,|a|=2,|b|=5.所以cos=ab|a|b|=-125=-1010.(2)bc=(-2,-1,2),设c=(x,y,z),因为|c|=3,cbc,所以x2+y2+z2=3,存在实数使得c=bc,即x=-2,y=-,z=2,联立解得x=-2,y=-1,z=2,=1或x=2,y=1,z=-2,=-1,所以c=(-2,-1,2).19.(本小题满分12分)(2016甘肃模拟)如图,正方形admn与矩形abcd所在平面互相垂直,点e在线段ab上,ab=2ad=6. (1)若ae=eb,求证:bm平面nde;(2)若be=2ea,求三棱锥mden的体积.(1)证明:连接am,amnd=f,四边形admn为正方形,则f是am的中点.又因为ea=eb,连接ef,则ef为abm的中位线,所以efbm.又因为bm平面nde,ef平面nde,所以bm平面nde.(2)解:当be=2ea时,e为ab的三等分点. 所以ae=ab=2,mn=md=3,可证得ae平面admn.所以vmden=vemnd=smndae=mnmdae=332=3.20.(本小题满分12分)(2015南宁二模)如图所示多面体中,ad平面pdc,abcd为平行四边形,e为ad的中点,f为线段bp上一点,cdp=120,ad=3,ap=5,pc=27.(1)试确定点f的位置,使得ef平面pdc;(2)若bf=bp,求直线af与平面pbc所成的角的正弦值.解:(1)取线段bp中点f,取pc的中点为o,连接fo,do(图略),因为f,o分别为bp,pc的中点,所以fobc,因为abcd为平行四边形,所以edbc,且de=bc.所以foed且ed=fo,所以四边形efod是平行四边形.所以efdo.因为ef平面pdc,do平面pdc,所以ef平面pdc.(2)以dc为x轴,过点d作dc的垂线为y轴,da为z轴建立空间直角坐标系(图略),得d(0,0,0),c(2,0,0),b(2,0,3),p(-2,23,0),a(0,0,3),因为设f(x,y,z),bf=(x-2,y,z-3)=13bp= (-,233,-1),所以f(,233,2).af=(,233,-1).设平面pbc的法向量n1=(x,y,z),则n1cb=0,n1pc=0,3z=0,4x-23y=0,令y=1,可得n1=(32,1,0).cos=afn1|af|n1|=62135.所以直线af与平面pbc所成的角的正弦值为62135.21.(本小题满分12分)四棱锥pabcd的底面是边长为2的菱形,bad=60,pad是等边三角形,且pb=6,m是棱pc上除p,c外的任意一点,且pmpc=,(1)当=时,求证:平面bdm平面abcd;(2)设二面角mbda的大小为,当(,34)时,求的取值范围.(1)证明:设ad中点为o,连接po,bo,连接oc与bd交于q点,则poad,且po=3.由已知得abd为等边三角形,所以bo=3,在pob中,po2+bo2=pb2,所以pobo,又adbo=o,所以po平面abcd,连接mq,由已知得bqcdqo,所以oqqc=odbc=,当=时,pmmc=,所以pomq,所以mq平面abcd,又mq平面bdm,所以平面bdm平面abcd.(2)解:由(1)所证,以o为原点,ob为x轴,od为y轴,op为z轴建立空间直角坐标系.则b(3,0,0),d(0,1,0),p(0,0,3),c(3,2,0),设m(x1,y1,z1),因为pm=pc,所以m(3,2,(1-)3),设平面bdm的法向量为m=(x0,y0,z0),由