高优指导高考数学一轮复习 高考大题专项练4 高考中的立体几何 理（含解析）北师大版.doc

高考大题专项练4高考中的立体几何高考大题专项练第8页1.在如图所示的几何体中,四边形abcd是等腰梯形,abcd,dab=60,fc平面abcd,aebd,cb=cd=cf.(1)求证:bd平面aed;(2)求二面角f-bd-c的余弦值.(1)证明:因为四边形abcd是等腰梯形,abcd,dab=60,所以adc=bcd=120.又cb=cd,所以cdb=30.因此adb=90,即adbd.又aebd,且aead=a,ae,ad平面aed,所以bd平面aed.(2)解法一:连接ac.由(1)知adbd,所以acbc.又fc平面abcd,因此ca,cb,cf两两垂直.以c为坐标原点,分别以ca,cb,cf所在的直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设cb=1,则c(0,0,0),b(0,1,0),d,f(0,0,1).因此=(0,-1,1).设平面bdf的一个法向量为m=(x,y,z),则m=0,m=0,所以x=y=z,取z=1,则m=(,1,1).由于=(0,0,1)是平面bdc的一个法向量,则cos=,所以二面角f-bd-c的余弦值为.解法二:如图,取bd的中点g,连接cg,fg.由于cb=cd,因此cgbd.又fc平面abcd,bd平面abcd,所以fcbd.由于fccg=c,fc,cg平面fcg,所以bd平面fcg,故bdfg,所以fgc为二面角f-bd-c的平面角.在等腰三角形bcd中,由于bcd=120,因此cg=cb.又cb=cf,所以gf=cg,故cosfgc=,因此二面角f-bd-c的余弦值为.导学号929509422.如图,在四棱锥a-bcde中,平面abc平面bcde,cde=bed=90,ab=cd=2,de=be=1,ac=.(1)证明:de平面acd;(2)求二面角b-ad-e的大小.(1)证明:在直角梯形bcde中,由de=be=1,cd=2,得bd=bc=.由ac=,ab=2,得ab2=ac2+bc2,即acbc.又平面abc平面bcde,从而ac平面bcde.所以acde,又dedc,从而de平面acd.(2)解:方法一:作bfad,与ad交于点f,过点f作fgde,与ae交于点g,连接bg,由(1)知dead,则fgad.所以bfg是二面角b-ad-e的平面角.在直角梯形bcde中,由cd2=bc2+bd2,得bdbc,又平面abc平面bcde,得bd平面abc,从而bdab.由于ac平面bcde,得accd.在rtacd中,由dc=2,ac=,得ad=.在rtaed中,由ed=1,ad=,得ae=.在rtabd中,由bd=,ab=2,ad=,得bf=,af=ad.从而gf=.在abe,abg中,利用余弦定理分别可得cosbae=,bg=.在bfg中,cosbfg=.所以,bfg=,即二面角b-ad-e的大小是.方法二:以d为原点,分别以射线de,dc为x,y轴的正半轴,建立空间直角坐标系d-xyz,如图所示.由题意知各点坐标如下:d(0,0,0),e(1,0,0),c(0,2,0),a(0,2,),b(1,1,0).设平面ade的法向量为m=(x1,y1,z1),平面abd的法向量为n=(x2,y2,z2),可算得=(0,-2,-),=(1,-2,-),=(1,1,0),由可取m=(0,1,-).由可取n=(1,-1,).于是|cos|=.由题意可知,所求二面角是锐角,故二面角b-ad-e的大小是.导学号929509433.如图,在四棱锥p-abcd中,pa底面abcd,abad,ab+ad=4,cd=,cda=45.(1)求证:平面pab平面pad.(2)设ab=ap.若直线pb与平面pcd所成的角为30,求线段ab的长.在线段ad上是否存在一个点g,使得点g到点p,b,c,d的距离都相等?说明理由.(1)证明:因为pa平面abcd,ab平面abcd,所以paab.又abad,paad=a,所以ab平面pad.又ab平面pab,所以平面pab平面pad.(2)解:以a为坐标原点,分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系a-xyz.在平面abcd内,作ceab交ad于点e,则cead.在rtcde中,de=cdcos 45=1,ce=cdsin 45=1.设ab=ap=t,则b(t,0,0),p(0,0,t).由ab+ad=4得ad=4-t,所以e(0,3-t,0),c(1,3-t,0),d(0,4-t,0),=(-1,1,0),=(0,4-t,-t).()设平面pcd的法向量为n=(x,y,z),由n,n,得取x=t,得平面pcd的一个法向量n=(t,t,4-t).又=(t,0,-t),故由直线pb与平面pcd所成的角为30得cos 60=,即,解得t=或t=4(舍去,因为ad=4-t0),所以ab=.()假设在线段ad上存在一个点g,使得点g到点p,b,c,d的距离都相等.设g(0,m,0)(其中0m4-t),则=(1,3-t-m,0),=(0,4-t-m,0),=(0,-m,t).由|=|得12+(3-t-m)2=(4-t-m)2,即t=3-m;由|=|得(4-t-m)2=m2+t2.由,消去t,化简得m2-3m+4=0.由于方程没有实数根,所以在线段ad上不存在一个点g,使得点g到点p,c,d的距离都相等.从而,在线段ad上不存在一个点g,使得点g到点p,b,c,d的距离都相等.导学号929509444.如图,正方形abcd所在平面与等腰三角形ead所在平面相交于ad,ea=ed,ae平面cde.(1)求证:ab平面ade;(2)设m是线段be 上一点,当直线am与平面ead所成角的正弦值为时,试确定点m的位置.(1)证明:ae平面cde,cd平面cde,aecd.在正方形abcd中,cdad,adae=a,cd平面ade.abcd,ab平面ade.(2)解:由(1)得平面ead平面abcd,取ad的中点o,取bc的中点f,连接eo,of.ea=ed,eoad,eo平面abcd.以oa,of,oe分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设ab=2,则a(1,0,0),b(1,2,0),e(0,0,1).设m(x,y,z).=(x-1,y-2,z),=(-1,-2,1),b,m,e三点共线,设=(01),m(1-,2-2,),=(-,2-2,).设am与平面ead所成角为,平面ead的一个法向量为n=(0,1,0),sin =|cos|=,解得=或=-1(舍去),点m为线段be上靠近点b的三等分点.导学号929509455.如图,正方形abcd和四边形acef所在平面互相垂直,ceac,efac,ab=,ce=ef=1.(1)求证:af平面bde;(2)求证:cf平面bde;(3)求二面角a-be-d的大小.(1)证明:设ac与bd交于点g,因为efag,且ef=1,ag=ac=1,所以四边形agef为平行四边形.所以afeg.因为eg平面bde,af平面bde,所以af平面bde.(2)证明:因为正方形abcd和四边形acef所在的平面互相垂直,且ceac,所以ce平面abcd.如图,以c为原点,分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系c-xyz.则c(0,0,0),a(,0),d(,0,0),e(0,0,1),b(0,0),f.所以=(0,-,1),=(-,0,1).所以=0-1+1=0,=-1+0+1=0.所以cfbe,cfde,所以cf平面bde.(3)解:由(2)知,是平面bde的一个法向量;=(,0,0),设平面abe的法向量n=(x,y,z),则n=0,n=0,即所以x=0,z=y.令y=1,则z=.所以n=(0,1,),从而cos=.因为二面角a-be-d为锐角,所以二面角a-be-d为.导学号929509466.(2015安徽,理19)如图所示,在多面体a1b1d1dcba中,四边形aa1b1b,add1a1,abcd均为正方形,e为b1d1的中点,过a1,d,e的平面交cd1于f.(1)证明:efb1c;(2)求二面角e-a1d-b1的余弦值.(1)证明:由正方形的性质可知a1b1abdc,且a1b1=ab=dc,所以四边形a1b1cd为平行四边形.从而b1ca1d,又a1d面a1de,b1c面a1de,于是b1c面a1de.又b1c面b1cd1,面a1de面b1cd1=ef,所以efb1c.(2)解:因为四边形aa1b1b,add1a1,abcd均为正方形,所以aa1ab,aa1ad,abad且aa1=ab=ad,以a为原点,分别以为x轴、y轴和z轴单位正向量建立如图所示的空间直角坐标系,可得点的坐标a(0,0,0),b(1,0,0),d(0,1,0),a1(0,0,1),b1(1,0,1),d1(0,1,1),而e点为b1d1的中点,所以e点的坐标为(0.5,0.5,1).设面a1de的法向量n1=(r1,s1,t1),而该面上向量=(0.5,0.5,0),=(0,1,-1),由n1,n1得r1,s1,t1应满足的方程组(-1,1,1)为其一组解,所以可取n1=(-1,1,1).设面a1b1cd的法向量n2=(r2,s2,t2),而该面上向量=(1,0,0),=(0,1,-1),由此同理可得n2=(0,1,1).所以结合图形知二面角e-a1d-b1的余弦值为.导学号929509477.(2015天津,理17)如图,在四棱柱abcd-a1b1c1d1中,侧棱a1a底面abcd,abac,ab=1,ac=aa1=2,ad=cd=,且点m和n分别为b1c和d1d的中点.(1)求证:mn平面abcd;(2)求二面角d1-ac-b1的正弦值;(3)设e为棱a1b1上的点,若直线ne和平面abcd所成角的正弦值为,求线段a1e的长.解:如图,以a为原点建立空间直角坐标系,依题意可得a(0,0,0),b(0,1,0),c(2,0,0),d(1,-2,0),a1(0,0,2),b1(0,1,2),c1(2,0,2),d1(1,-2,2).又因为m,n分别为b1c和d1d的中点,得m,n(1,-2,1).(1)证明:依题意,可得n=(0,0,1)为平面abcd的一个法向量.由此可得n=0,又因为直线mn平面abcd,所以mn平面abcd.(2)=(1,-2,2),=(2,0,0).设n1=(x1,y1,z1)为平面acd1的法向量,则不妨设z1=1,可