高考数学 艺体生精选好题突围系列（基础篇）专题09 平面向量.doc

1 专题专题 0909 平面向量平面向量 平面向量的坐标运算 背一背基础知识 1 平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中 分别取与x轴 y轴方向相同的两个单位向量i i j j作为基底 对于平面内的 一个向量a a 有且只有一对实数x y使a a xi i yj j 把有序数对 x y叫做向量a a的坐标 记作 a a x y 其中x叫做a a在x轴上的坐标 y叫做a a在y轴上的坐标 设 xi i yj j 则 向量oa 的坐标 x y就是终点a的坐标 即若 x y 则a点坐标为 oa oa x y 反之亦成立 o是坐标原点 2 向量的运算 1 加法 减法 数乘运算 2 向量坐标的求法 已知a x1 y1 b x2 y2 则 2121 xx yy 即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去 ab 起点的坐标 3 平面向量共线的坐标表示 设a a x1 y1 b b x2 y2 其中b b 0 则a a与b b共线 a a b b 1221 0 x yx y 4 平面向量的有关运算 1 两个非零向量平行 共线 的充要条件 a a b b a a b b 两个非零向量垂直的充要条件 a a b b a a b b 0 a a b b a a b b 2 若a a x y 则 a a a a a ax2 y2 3 若a x1 y1 b x2 y2 则 ab x2 x1 2 y2 y1 2 4 若a a x1 y1 b b x2 y2 为a a与b b的夹角 则 cos a a b b a a b b x1x2 y1y2 x2 1 y2 1x2 2 y2 2 讲一讲基本技能 1 必备技能 1 向量的坐标与点的坐标有所不同 相等向量的坐标是相同的 但起点 终点的坐标却可以不同 2 以原点o为起点的向量的坐标与点a的坐标相同 oa 2 若a a x1 y1 b b x2 y2 则a a b b的充要条件不能表示成 因为x2 y2有可能等于 x1 x2 y1 y2 0 所以应表示为x1y2 x2y1 0 同时 a a b b的充要条件也不能错记为 x1x2 y1y2 0 x1y1 x2y2 0 等 2 典型例题 例 1 已知向量 1 3 a 23 mm b 平面上任意向量c都可以唯一地表示为 cab r 则实数m的取值范围是 a 0 0 b 3 c 3 3 d 3 3 答案 c 例 2 若向量 1 3 oa oaob 0oa ob 则 ab 答案 2 5 解析 设b x y 由 oaob 可得 22 10 xy oa ob x 3y 0 由 得 x 3 y 1 或x 3 y 1 所以b 3 1 或b 3 1 故 2 4ab 或 4 2 ab 2 5ab 故答案为2 5 例 3 设平面向量 1 2 2 3 abyabab 若则 答案 5 2 解析 试题分析 由题知 1 2 2y 0 解得y 1 3ab 1 7 3ab 22 17 5 2 练一练趁热打铁 1 设e e1 e e2是两个不共线的向量 且a a e e1 e e2与b b e e2 e e1共线 则实数 1 3 a 1 b 3 c d 1 3 1 3 答案 d 3 2 已知向量a a 1 2 b b 3 1 则b b a a a 2 1 b 2 1 c 2 0 d 4 3 答案 b 解析 由题意得b b a a 3 1 1 2 2 1 故选 b 平面向量的数量积 背一背基础知识 1 两个向量的夹角 1 定义 已知两个非零向量a a和b b 作 a a b b 则 aob 叫做向量a a与b b的夹角 oa ob 2 范围 向量夹角 的范围是 0 180 a a与b b同向时 夹角 0 a a与b b反向时 夹角 180 3 向量垂直 如果向量a a与b b的夹角是90 则a a与b b垂直 记作a a b b 2 平面向量数量积的意义 1 a a b b是两个非零向量 它们的夹角为 则数 a a b b cos 叫做a a与b b的数量积 记作 a a b b 即a a b b a a b b cos 规定 0 a a 0 当a a b b时 90 这时a a b b 0 2 a a b b的几何意义 a a b b等于a a的长度 a a 与b b在a a的方向上的投影 b b cos 的乘积 3 向量数量积的性质 1 如果e e是单位向量 则a a e e e e a a a a cos a a e e 2 a a b b a a b b 0 且a a b b 0 a a b b 3 a a a a a a 2 a a 4 cos a a b b 5 a a b b a a b b a a a a a a b b a a b b 4 数量积的运算律 1 交换律a a b b b b a a 2 分配律 a a b b c c a a c c b b c c 3 对 r r a a b b a a b b a a b b 4 5 数量积的坐标运算 设a a a1 a2 b b b1 b2 则 1 a a b b 1 122 aba b 2 a a b b 1 122 aba b 0 3 a a 22 12 aa 4 cos a a b b 1 122 2222 1212 aba b aabb 讲一讲基本技能 1 必备技能 1 数量积的运算要注意a a 0 时 a a b b 0 但a a b b 0 时不能得得到a a 0 或b b 0 因为a a b b时 也有a a b b 0 2 若a b c是实数 则ab ac b c a 0 但对于向量 就没有这样的性质 即若向量 a a b b c c满足a a b b a a c c a a 0 则不一定有b b c c 即等式两边不能同时约去一个向量 但可以同时乘以 一个向量 3 利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用 要掌握此类问题的处理方法 a a 2 a a2 a a a a a a b b 2 a a2 2a a b b b b2 若a a x y 则 a a x2 y2 4 已知a a与b b为不共线向量 且a a与b b的夹角为 则 a a b b 0 0 90 a a b b 0 90 a a b b 0 90 180 特别的 在利用两向量的夹角公式判断夹角的取值范围时 要注意两向量是否共线 5 证明线段平行问题 包括相似问题 常用向量平行 共线 的充要条件 a a b b a a b b x1y2 x2y1 0 b b 0 6 证明垂直问题 常用向量垂直的充要条件 a a b b a a b b 0 x1x2 y1y2 0 7 与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型 解答此类问题 除 了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式 向量模 夹角的坐标运算公式外 还应掌握三角恒 等变换的相 关知识 2 典型例题 例 1 已知平面向量a b满足 1 a 2 b 且 aba 则a与b的夹角是 a 5 6 b c 3 d 2 3 答案 d 5 例 2 已知 2 2 1 mba 若ba 则 b a 2 1 b 1 c 3 d 5 答案 d 解析 由ba 得到0221 m 得 1m 因此514 b 例 3 abc 中 90 2ccacb 点 m 在边 ab 上 且满足3bmma 则cm cb a 1 2 b 1 c 2 d 1 3 答案 b 练一练趁热打铁 1 已知单位向量e e1 e e2的夹角为 且 1 cos 3 a 若向量a a 3e e1 2e e2 则 a a 答案 3 解析 由题意知 a 2 a2 3e1 2e2 2 22 12 9 4ee 12e1 e2 9 4 1 12 3 9 故 a 3 2 已知向量ab 与ac 的夹角为120 且3 2 abac 若 apabac 且apbc 则 实数 的值为 答案 7 12 6 一 一 选择题 选择题 12 5 6012 5 60 分 分 1 已知平面向量 3 1 a 2 4 b ba 与a垂直 则 是 a 1 b 1 c 2 d 2 答案 a 解析 试题分析 23 4 ba 由ba 与a垂直得0 23 34 1 2 向量a b 的夹角为60 且1a 2b 则2ab 等于 a 1 b 2 c 2 d 4 答案 c 解析 22 2444442abaabb 选c 3 已知平面向量 2 1 a 2x b 若a b 则a b等于 a 2 1 b 2 1 c 3 1 d 3 1 答案 a 解析 由a b 得 2 21 x 4x 24 1 2 2 1 ab 4 设a a b b为向量 则 aabb 是 a ba b 的 a 充分不必要条件 b 必要不充分条件 c 充分必要条件 d 既不充分也不必要条件 答案 c 5 若平面四边形满足则该四边形一定是 a 直角梯形 b 矩形 c 菱形 d 正方形 答案 c 0 0 abcdabadac abcd 7 6 若向量a 1 1 b 1 1 c 1 2 则c 等于 a 13 22 ab b 13 22 ab c 31 22 ab d 31 22 ab 答案 b 解析 本题只能一个一个验证 131133 1 2 222222 ab a 错 当然此时就可看出 b 正确了 7 已知 21 e e是夹角为 3 2 的两个单位向量 2 2121 eekbeea 若0 ba 则 k 的值为 答案 5 4 8 已知向量 1 1 m 2 2 n 若 mnmn 则 a 4 b 3 c 2 d 1 答案 b 解析 由 mnmn 22 0mn 22 1 1 2 4 0 3 故选 b 9 已知点 1 1 a 1 2 b 2 1 c 3 4 d 则向量ab 在cd 方向上的投影为 a 3 2 2 b 3 15 2 c 3 2 2 d 3 15 2 答案 a 解析 2 1 5 5 3 2 cos 2 5 2 ab cd abab ab cd 选 a 10 已知向量a r cos sin 向量b r 3 1 则 2a r b r 的最大值与最小值的和是 a 42 b 6 c 4 d 16 答案 c 8 11 设 12 e e 为单位向量 且 12 e e 的夹角为 3 若 121 3 2 aee be 则向量a 在b 方向上的射影为 答案 5 2 解析 1211112 3 2265 cos1 3cos 2232 eeee ee ea ba b aa abb 12 已知 1 2 3 4ababa 则向量a 与b 的夹角为 a 6 b 2 3 c 3 d 5 6 答案 d 解析 2 4abaa ba 所以3a b 所以 33 cos 2 1 2 3 a b a b ab 所 以 5 6 a b 选 d 二 二 填空题 填空题 4 5 204 5 20 分 分 13 13 在abc 中 3bcbd adab 1ad 则ac ad 答案 3 14 已知向量 3