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第二章张量的基本知识 2020 1 8 1 张量的提出 晶体具有各向异性 从而使得晶体的物理性质在不同方向上也存在着差异 晶体的各向异性是一种很普遍的特性 特别是很多现象如热电 压电 电光 声光 非线性光学效应等物理现象都完全是因为晶体的各向异性才能表现出来 于是 人们实践中探索出了一套描述各向异性性质的数学方法 这种方法就是张量方法 在晶体物理中所涉及的张量分析是比较简单的 晶体的对称性的操作对应的坐标变换 一般使用三维正交直角坐标系的变换就够了 本章中将只限于介绍这种坐标系中所定义的张量 2020 1 8 2 2 1标量 矢量 张量 一 标量在物理学中 有一些量是没有方向而言的 如温度 质量 密度等 这些物理量只需要一个数值即可描述 我们把这种物理量称为标量 有些量虽然在坐标变换时数值不变 但其符号在第二类点操作时发生改变 这称为赝标量 2020 1 8 3 二 矢量有一些物理量 它既有大小 又有方向 如力 速度 电场强度等 这些物理量需要指明其大小和方向才能完全描述 称为矢量 取直角坐标系OX1X2X3 设有矢量 在三个坐标轴方向上的投影分别为 于是我们将表为 与赝标量概念相似 我们可以引入赝矢量 赝矢量与矢量的区别在于其变换多了一个符号的改变 例如各种轴矢量 磁场强度 磁感应强度等 就是赝矢量 2020 1 8 4 三 张量先看一个例子 对于均匀导体 在电场强度E的作用下 其电流密度J和电场强度E有相同方向 即均匀导体的欧姆定律其中 为电导率 是标量 但是对于晶体 由于各向异性 一般情况下J与E并不具有相同的方向 此时J与E的关系变为 2020 1 8 5 或表示成分量形式矩阵形式 2020 1 8 6 此处 不再是一个数 而是9个数构成一个方阵 称为电导率张量 这是一个二阶张量 于是 各向异性晶体中的欧姆定律可表示为张量的定义 一般来说 在物理学中 有一些量需要用9个分量来描述 这种物理量就是二阶张量 2020 1 8 7 2 2张量的数学定义 描述物理量的矢量和张量应与坐标轴的选择无关 就是说 当坐标轴变换时 矢量和张量的所有分量都随之变换 但作为描述物理量的矢量和张量本身是不变的 因此 分量的变换必有一定的规律 接下来我们就来讨论一下坐标变换时分量变换的规律 2020 1 8 8 一 坐标变换如图所示 设有直角坐标系OX1X2X3 其三个方向的单位矢为 经过旋转变换为新的坐标系OX IX 2X 3 在新的坐标系里的单位矢为 令新坐标系中在旧坐标系中的方向余弦为 j 1 2 3 则 2020 1 8 9 或简写为反之 有 2020 1 8 10 表示成矩阵形式为 将以上关系列成方阵形式则为X1X2X3 老坐标轴 新坐标系 X1 a11a12a13X2 a21a22a23X3 a31a32a33称9的a的分量组成的方阵称为坐标变换矩阵或方向余弦矩阵 它简明的表示出了新老坐标之间变换的规律 2020 1 8 11 二 矢量分量的变换设有一矢量p 其在旧坐标系中的分量为p1 p2 p3 在新坐标系中的分量为p1 p2 p3 由于是同一个矢量p 故有 2020 1 8 12 注 此处P与P 均为行向量 即为 于是得 2020 1 8 13 为了表示方便我们下面引入指标符号的概念指标符号 下标符号i称为指标 n为维数指标i可以是下标 如xi也可以是上标 如xi 记作 定义这类符号系统为指标符号 一般采用下标 xi i 1 2 3 x1 x2 x3 x y zui i 1 2 3 u1 u2 u3 u v w 2020 1 8 14 求和约定哑指标和自由标 1 求和约定和哑指标 凡在某一项内 重复一次且仅重复一次的指标 表示对该指标在它的取值范围内求和 并称这样的指标为哑指标 约定 2020 1 8 15 2020 1 8 16 求和约定仅对字母指标有效 同一项内二对哑标应使用不同指标 如 注意 1 2 3 哑指标可以换用不同的字母指标 2020 1 8 17 2 自由标 定义 凡在同一项内不重复出现的指标 如 j为自由标 2020 1 8 18 注意 同一个方程中各项自由标必须相同 不能改变某一项的自由标 但所有项的自由标可以改变 1 2 wrong right 如 2020 1 8 19 3 克罗内克 Kronecker 符号 定义 由定义 即相当于单位矩阵 2020 1 8 20 2020 1 8 21 现在我们以二维直角坐标系为例来看看一个小问题 2020 1 8 22 为正交矩阵 2020 1 8 23 引用指标符号 由 又 讨论上式的几何意义 2020 1 8 24 说明 1 基矢量具有与坐标分量相同的变换规律 2 矢量的分量也具有与坐标分量相同的变换规律 2020 1 8 25 再看三维情况 考虑一位置矢量 2020 1 8 26 同理 同二维问题 可得 正交性 2020 1 8 27 于是得到最终的矢量变换法则如下 2020 1 8 28 二阶张量的变换 P Q均为矢量 2020 1 8 29 二阶张量三阶张量四阶张量 2020 1 8 30 张量定义 定义 在坐标变换时 满足如下变换关系的量称为张量 张量的阶数 自由标数目n 对于三维空间 张量分量的个数为3n个 变换式也有3n个 2020 1 8 31 以上张量的定义的物理实质在于 一个张量代表着一个物理量 这个物理量遵从一定的物理定律 而不是依赖于坐标系的选法 当坐标系变换时 物理量并不改变 只是描述的方法随之而变 因此 当坐标系变换时 张量的分量应有随之而变的规律 这就是上述的数学定义 2020 1 8 32 小结 所谓张量是一个物理量或几何量 他由在某参考坐标系中一定数目的分量的集合所规定 当坐标变换时 这些分量按一定的变换法则变换 张量是矢量概念的推广 它是一种不依赖于特定坐标系的表达物理定律的方法 张量有不同的阶和结构 这由它们所遵循的不同的变换法则来区分 标量是零阶张量 矢量是一阶张量 应力张量是二阶张量 还有三阶 四阶等高阶张量 2020 1 8 33 2 3张量的运算 一 张量的加法若皆为二阶张量 则也为二阶张量 于是我们定义为之和 这就是二阶张量的加法 并表为C A B 以此类推 若A B为两个同阶张量 则A B相应分量之和构成新的同阶张量C 记作C A B 同样 作为加法的推广 标量a与张量的乘积即为a 2020 1 8 34 二 张量的乘法若为二阶张量 为一阶张量 则可以证明为三阶张量 于是我们定义为与之积 表示为C AB 以此类推 若A B是阶数各为m n的张量 则A B分量的积构成一个m n阶的张量C 称为A B的积 表示为C AB 2020 1 8 35 三 张量的收缩在三阶张量中 如果让并对求和 即则为一阶张量 此种运算称为张量的收缩 这种运算所得张量的阶数比原张量的阶数少2 特别是 当C为两个张量A B的积 例如若令 并对求和 即 2020 1 8 36 则称D为A B收缩所得的张量 阶数3 5 2 表为D A B 收缩可以不止一次 例如对两对下标求和 则称为收缩两次 例如所得张量Q的阶数为1 5 2 2 表为Q A B 2020 1 8 37 2 4对称张量的性质 一 对称张量和反对称张量张量T的分量如有关系 则称为对称张量 此种张量只有6个独立分量 有时 我们将这6个独立分量依次表为于是对称张量表示为 2020 1 8 38 如果T的分量有 则称为反对称张量 此时有 故反对称张量只有3个独立分量 同样 我们将这3个分量以此表为 于是反对称张量T表为 2020 1 8 39 二 张量的分解作为张量加法的逆运算 张量总可以分解为若干个同阶张量之和 并且这种分解的方法是无穷多种的 例如 矢量的分解即为一例 张量的分解定理 任何张量总可以分解为一个对称张量和一个反对称张量之和 并且分解的方法是唯一的 共轭张量 若为张量 则也为张量 我们称和互为共轭张量 记为对称张量 反对称张量 2020 1 8 40 分解定理的证明 设为任意二阶张量 为其共轭张量 对称张量反对称张量唯一性 2020 1 8 41 2020 1 8 42 一般来说 描述晶体物理性质的张量都是对称张量 例如电导率张量 介电常数张量 热导率张量等都是对称张量 所以 我们以后要讨论的张量也都是对称张量 2020 1 8 43 三 二阶对称张量的示性面二次曲面方程当为对称张量 即时有 当所有元素都为正数时 上式表示一个椭球面 在一般情况下 上式为双曲面 对上式进行坐标变换 2020 1 8 44 坐标变换因为空间一点的坐标实际上是矢量r的分量 所以在坐标转换时各的变换符合矢量变换法则 如下所示将 将 2 带入 1 中左式 得 所以 2020 1 8 45 1 二次曲面方程系数与张量分量具有相同的变换规律 2 我们把上述的二次曲面方程所绘出来的曲面称为张量S的示性曲面 3 示性二次曲面可描述具有二阶对称张量性质的物理特性 2020 1 8 46 四 张量的主轴和主值张量示性面具有三个相互垂直的主轴 对于对称张量 经过一定的坐标变换后 总可以化成以下形式 此时的坐标轴称为主轴 对称张量S化成了对角形式 此时的则称为张量的主值 2020 1 8 47 成立 则 为张量S的特征值 主值 a为张量S对应特征值 的特征矢量 主轴方向 用矩阵形式来表述 则张量的主值和主轴即对应为矩阵的特征值和特征向量 二阶对称张量S 若存在一个数 和单位矢量a 使得 2020 1 8 48 五 张量的主轴和主值的确定单位矢量a即 2020 1 8 49 由上式求得特征值即张量的主值 再带入特征方程组求出对应的特征向量即主轴 2020 1 8 50 2 5张量与对称性的关系 一 晶体对称操作的变换矩阵在直角坐标系中 每一个对称操作对应于将旧坐标系变换为新坐标系 所以它对应于一个坐标变换 可以用9个新旧坐标系之间的方向余弦来表示 这就是对称操作的变换矩阵 例如 4次旋转轴 若以轴为4次轴 则一个4次旋转操作的变换矩阵为 2020 1 8 51 二 对称性对矢量的制约对于晶体 由于它具有对称性 导致对其物理性质的某些限制 这种限制是这样产生的 沿晶体一定方向测定的某种物理性质 当晶体按其对称操作旋转 反映或反演到新的取向时 其物理性质应有相同的数值和符号 就是说 由晶体对称性联系起来的等价方向上 具有相同的物理性质 例如 具有二次轴的晶体 我们沿任一给定的方向测其电导率 而后将晶体绕其二次轴旋转180 再测其电导率 两次结果相同 接下来我们来讨论对称性对矢量的制约 2020 1 8 52 1 对称心对称心的变换矩阵为即设有矢量 则经过对称心的操作 将有而根据对称性 又应有所以必有 2020 1 8 53 这就是说 具有对称心的晶体不可能有矢量性质的物理量 例如 晶体的热电效应系数就是矢量性质的物理量 当温度改变时引起晶体表面电荷的改变 即电极化矢量的改变 关系式为此处为热电系数 根据以上讨论 具有对称心的晶体不可能有热电效应 我们知道 在32点群中 有11中是具有对称心的 因此 属于这11种点群的晶体不可能有热电效应 以上结论可以推广到三阶张量 即具有对称心的晶体不可能有三阶张量 例如 压电效应 电光效应等 2020 1 8 54 2 对称面设晶体有垂直于轴的对称面 其变换矩阵为即于是矢量经过对称面操作后有 2020 1 8 55 而由对称性 应有所以立即得就是说 矢量性质的物理量必垂直于轴 即必在对称面内 例如电气石晶体 具有3次轴平行的对称面 而其热电效应方向平行于3次轴 也即在对称面内 2020 1 8 56 3 对称轴设晶体有平行于轴的3次轴 其变换矩阵为于是矢量p分量的变换为而由对称性 有 所以 2020 1 8 57 由此立即解得可见 矢量性质的物理量必平行于3次轴 例如电气石晶体 具有唯一的3次轴 其热电效应的方向与此3次轴平行 2020 1 8 58 可见 矢量性质的物理量必平行于3次轴 例如电气石晶体 具有唯一的3次轴 其热电效应的方向与此3次轴平行 考察对称性对矢量的制约 所得结果是 只有以下10中晶类可以具有矢量性质的物理量 即例如 目前研究的较多的热电性晶体 如硫酸三甘钛的点群为2 铌酸锶钡 钛酸钡的点群为4mm 铌酸钾 钽酸锂 电气石的点群为3m等 均在这10中晶类之内 2020 1 8 59 三 对称性对二阶张量的制约我们仍以电导率张量为例 一般情况下有9个分量 由于晶体的对称性 将使独立的分量数目减小 在对称操作时 的变换应满足关系由此即可定出哪些是独立的 2020 1 8 60 1 单斜晶系单斜晶系有一个2次轴 令此2次轴平行于轴 则其变换矩阵为即于是由知 各中凡下标含有一个 3 的均为零 即 2020 1 8 61 于是独立分量只有4个 即 2020 1 8 62 2 正交晶系正交晶系有3个互相垂直的2次轴 取此三个2次轴为坐标轴 仿前述单斜晶体的方法 可定出二阶张量只有3个独立分量 即 2020 1 8 63 2020 1 8 64 2 6诺伊曼原理及其应用 研究晶体对称性对物理性质的影响 必须以诺伊曼原理 Neumann sprinciple 为基础 诺伊曼原理指出 晶体的任何物理性质所具有的对称要素 必包含晶体所属点群的全部对称要素 即 晶体物理性质的对称性必高于或至少不低于晶体所属点群的对称性 这个原理是长期来大量事实总结出来的 并且已经经过大量实验检验证明是正确的 2020 1 8 65 诺伊曼原理的应用当然不仅限于矢量 一阶张量 和二阶张量 而且适用于高阶张量 诺伊曼原理的应用 需要对张量分量逐个的进行计算 因而阶数越高 计算越繁 现在我们介绍一种简便的方法 即下标变换法 例如 考虑四方点群中的某二阶张量 假定平行于轴 则其变换矩阵为即经过变换后 若将正负号与下标结合 则可简写为 2020 1 8 66 于是二阶张量分量的变换为 2020 1 8 67 按晶体的对称性 应有 于是可得所以此二阶张量具有以下