湖南省衡阳市衡阳县三中高二数学第二学期期末试卷 文（含解析）.doc

2014-2015学年湖南省衡 阳市衡阳县三中高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1已知i是虚数单位，则2i（1+i）=（） a 2+2i b 2+2i c 2i d 2i2已知的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点的值为（） a b c d 3曲线y=2x33x+1在点（1，0）处的切线方程为（） a y=4x5 b y=3x+2 c y=4x+4 d y=3x34已知命题p：xr，cosx1，则（） a p：xr，cosx1 b p：xr，cosx1 c p：xr，cosx1 d p：xr，cosx15某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（） a 1 b c d 26若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则实数a的取值范围是（） a a|1a3或a5 b a|1a3或a5 c a|1a5 d a|3a57已知定义在r上的函数f（x）的对称轴为x=3，且当x3时，f（x）=2x3若函数f（x）在区间（k1，k）（kz）上有零点，则k的值为（） a 2或7 b 2或8 c 1或7 d 1或88设=（1，2），=（1，1），=+k，若，则实数k的值等于（） a b c d 9当x2，1时，不等式ax3x2+4x+30恒成立，则实数a的取值范围是（） a 5，3 b 6， c 6，2 d 4，310已知直线y=mx与函数y=f（x）=的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m的取值范围是（） a （，4） b c d 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11已知集合a=1，2，3，b=2，4，5，则集合ab中元素的个数为12在等差数列an中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8=13在abc中，a=3，b=，a=，则b=14不等式|x1|x5|2的解集是15已知m（x0，y0）是双曲线c：y2=1上的一点，f1、f2是c上的两个焦点，若0，则y0的取值范围是三、解答题16已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x（1）求f（x）最小正周期；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值17已知等差数列an满足a1+a2=10，a4a3=2（1）求an的通项公式；（2）设等比数列bn满足b2=a3，b3=a7，问：b6与数列an的第几项相等？18如图，在三棱锥vabc中，平面vab平面abc，vab为等边三角形，acbc且ac=bc=，o，m分别为ab，va的中点（1）求证：vb平面moc；（2）求证：平面moc平面vab（3）求三棱锥vabc的体积19某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为40，50，50，60，80，90，90，100（1）求频率分布图中a的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在40，60的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在40，50的概率20设函数f（x）=klnx，k0（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）证明：若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，）上仅有一个零点21如图，点f1（c，0）、f2（c，0）分别是椭圆c：的左、右焦点，过点f1作x轴的垂线，交椭圆c的上半部分于点p，过点f2作pf2的垂线交直线于点q（1）如果点q的坐标为（4，4），求椭圆c的方程；（2）试判断直线pq与椭圆c的公共点个数，并证明你的结论2014-2015学年湖南省衡阳市衡阳县三中高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1已知i是虚数单位，则2i（1+i）=（） a 2+2i b 2+2i c 2i d 2i考点： 复数代数形式的乘除运算专题： 数系的扩充和复数分析： 根复数的基本运算进行求解即可解答： 解：2i（1+i）=2i+2i2=2+2i，故选：a点评： 本题主要考查复数的基本运算，比较基础2已知的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点的值为（） a b c d 考点： 任意角的三角函数的定义专题： 计算题分析： 求出角的终边上的点到原点的距离，利用任意角的三角函数公式求出的余弦值解答： 解：的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合又终边过点，此点到原点的距离为1故选d点评： 解决角的终边上的点的问题，一般考虑任意角的三角函数公式3曲线y=2x33x+1在点（1，0）处的切线方程为（） a y=4x5 b y=3x+2 c y=4x+4 d y=3x3考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程专题： 导数的概念及应用；直线与圆分析： 求出函数的导数，求得切线的斜率，由点斜式方程，即可得到切线方程解答： 解：y=2x33x+1的导数为y=6x23，在点（1，0）处的切线斜率为k=3，则在点（1，0）处的切线方程为y0=3（x1），即为y=3x3故选d点评： 本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义，正确求导和运用点斜式方程是解题的关键4已知命题p：xr，cosx1，则（） a p：xr，cosx1 b p：xr，cosx1 c p：xr，cosx1 d p：xr，cosx1考点： 命题的否定专题： 阅读型分析： 本题中所给的命题是一个全称命题，故其否定是一个特称命题，将量词改为存在量词，否定结论即可解答： 解：命题p：xr，cosx1，是一个全称命题p：xr，cosx1，故选d点评： 本题考查了“含有量词的命题的否定”，属于基础题解决的关键是看准量词的形式，根据公式合理更改，同时注意符号的书写5某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（） a 1 b c d 2考点： 由三视图求面积、体积专题： 开放型；空间位置关系与距离分析： 几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，结合直观图求相关几何量的数据，可得答案解答： 解：由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，底面为正方形如图：其中pb平面abcd，底面abcd为正方形pb=1，ab=1，ad=1，bd=，pd=pc=该几何体最长棱的棱长为：故选：c点评： 本题考查了由三视图求几何体的最长棱长问题，根据三视图判断几何体的结构特征是解答本题的关键6若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则实数a的取值范围是（） a a|1a3或a5 b a|1a3或a5 c a|1a5 d a|3a5考点： 简单线性规划专题： 不等式的解法及应用分析： 作出不等式组对应的平面区域，利用平面区域为三角形，建立条件关系即可求m的取值范围解答： 解：先作出不等式组对应的平面区域如图：（abc），不等x+ya表示的平面区域为直线x+y=a的左下面要使不等式组表示的平面区域是一个三角形，当a（1，4）在直线x+y=a的下方时，满足条件，即此时1+4a，即a5当直线x+y=a经过bc线段时，也满足条件，此时满足b（1，0）在直线x+y=a的下方，同时c（3，0）在x+y=a的上方或在直线上，即，即1a3，综上1a3或a5，故选：b点评： 本题主要考查线性规划的应用，利用二元一次不等式组和平面区域之间的关系是解决本题的关键，注意利用数形结合7已知定义在r上的函数f（x）的对称轴为x=3，且当x3时，f（x）=2x3若函数f（x）在区间（k1，k）（kz）上有零点，则k的值为（） a 2或7 b 2或8 c 1或7 d 1或8考点： 根的存在性及根的个数判断专题： 函数的性质及应用分析： 先作出当x3时函数f（x）=2x3的图象，观察图象的交点所在区间，再根据对称性得出另一个交点所在区间即可解答： 解：作出当x3时函数f（x）=2x3的图象，观察图象的交点所在区间在（1，2）f（1）=213=10，f（2）=223=10，f（1）f（2）0，有零点的区间是（1，2），因定义在r上的函数f（x）的对称轴为x=3，故另一个零点的区间是（8，7），则k的值为2或7故选a点评： 本题主要考查了根的存在性及根的个数判断二分法是求方程根的一种基本算法，其理论依据是零点存在定理：一般地，若函数y=f（x）在区间a，b上的图象是一条不间断的曲线，且f（a）f（b）0，则函数y=f（x）在区间（a，b）上有零点8设=（1，2），=（1，1），=+k，若，则实数k的值等于（） a b c d 考点： 数量积判断两个平面向量的垂直关系专题： 平面向量及应用分析： 由题意可得的坐标，进而由垂直关系可得k的方程，解方程可得解答： 解：=（1，2），=（1，1），=+k=（1+k，2+k），=0，1+k+2+k=0，解得k=故选：a点评： 本题考查数量积和向量的垂直关系，属基础题9当x2，1时，不等式ax3x2+4x+30恒成立，则实数a的取值范围是（） a 5，3 b 6， c 6，2 d 4，3考点： 函数恒成立问题；其他不等式的解法专题： 综合题；导数的综合应用；不等式的解法及应用分析： 分x=0，0x1，2x0三种情况进行讨论，分离出参数a后转化为函数求最值即可，利用导数即可求得函数最值，注意最后要对a取交集解答： 解：当x=0时，不等式ax3x2+4x+30对任意ar恒成立；当0x1时，ax3x2+4x+30可化为a，令f（x）=，则f（x）=（*），当0x1时，f（x）0，f（x）在（0，1上单调递增，f（x）max=f（1）=6，a6；当2x0时，ax3x2+4x+30可化为a，由（*）式可知，当2x1时，f（x）0，f（x）单调递减，当1x0时，f（x）0，f（x）单调递增，f（x）min=f（1）=2，a2；综上所述，实数a的取值范围是6a2，即实数a的取值范围是6，2故选：c点评： 本题考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想、分类与整合思想，按照自变量讨论，最后要对参数范围取交集；若按照参数讨论则取并集10已知直线y=mx与函数y=f（x）=的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m的取值范围是（） a （，4） b c d 考点： 根的存在性及根的个数判断专题： 作图题；函数的性质及应用分析： 首先根据函数的表达画出函数的图象，从而根据图象判断函数与直线的公共点的情况，最后结合两曲线相切与图象恰有三个不同的公共点的关系即可求得实数a的取值范围解答： 解：画出函数图象如图所示，由图可知，当直线y=mx（mr）与函数的图象相切时，设切点a（2+1），则f（x）=x，k=m=x0，即直线y=mx过切点a（2+1）时，有唯一解m=，结合图象得，当直线y=mx与函数y=f（x）的图象恰好有3个不同的公共点时，则实数m的取值范围是m，故选b点评： 本题主要考查函数的图象的交点以及数形结合方法，同时考查了导数的几何意义，利用导数求切线的方程解本题的关键是寻找“临界状态”，即直线与图象相切的时候数形结合是数学解题中常用的思想方法，本题由于使用了数形结合的方法，使得问题便迎刃而解，且解法简捷二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11已知集合a=1，2，3，b=2，4，5，则集合ab中元素的个数为5考点： 并集及其运算专题： 集合分析： 求出ab，再明确元素个数解答： 解：集合a=1，2，3，b=2，4，5，则ab=1，2，3，4，5；所以ab中元素的个数为5；故答案为：5点评： 题考查了集合的并集的运算，根据定义解答，注意元素不重复即可，属于基础题12在等差数列an中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8=10考点： 等差数列的通项公式专题： 计算题；等差数列与等比数列分析： 根据等差数列的性质，化简已知的等式即可求出a5的值，然后把所求的式子也利用等差数列的性质化简后，将a5的值代入即可求出值解答： 解：由a3+a4+a5+a6+a7=（a3+a7）+（a4+a6）+a5=5a5=25，得到a5=5，则a2+a8=2a5=10故答案为：10点评： 本题主要考查了等差数列性质的简单应用，属于基础试题13在abc中，a=3，b=，a=，则b=考点： 正弦定理专题： 解三角形分析： 由正弦定理可得sinb，再由三角形的边角关系，即可得到角b解答： 解：由正弦定理可得，=，即有sinb=，由ba，则ba，可得b=故答案为：点评： 本题考查正弦定理的运用，同时考查三角形的边角关系，属于基础题14不等式|x1|x5|2的解集是（，4）考点： 绝对值不等式的解法专题： 不等式分析： 通过讨论x的范围，求出各个区间上的x的解集，从而求出不等式的解集解答： 解：x1时，原不等式可化为：1x+x52，恒成立，1x5时，原不等式可化为：x1+x52，解得：1x4，x5时，原不等式可化为：x1x+52，无解，综上：原不等式的解集是（，4）点评： 本题考查了绝对值不等式的解法，考查分类讨论，是一道基础题15已知m（x0，y0）是双曲线c：y2=1上的一点，f1、f2是c上的两个焦点，若0，则y0的取值范围是y0考点： 双曲线的简单性质专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 利用向量的数量积公式，结合双曲线的方程，即可求出y0的取值范围解答： 解：由题意，=（x0，y0）（x0，y0）=x023+y02=3y0210，y0故答案为：y0点评： 本题考查向量的数量积公式、双曲线的方程，考查学生的计算能力，比较基础三、解答题16已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x（1）求f（x）最小正周期；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值考点： 三角函数的最值；三角函数的周期性及其求法专题： 三角函数的图像与性质分析： （1）由条件利用三角恒等变换求得f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性求得f（x）最小正周期（2）由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）在区间上的最大值和最小值解答： 解：（1）函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x=1+sin2x+cos2x=1+sin（2x+），它的最小正周期为=（2）在区间上，2x+，故当2x+=时，f（x）取得最小值为 1+（）=0，当2x+=时，f（x）取得最大值为 1+1=1+点评： 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、定义域和值域，属于中档题17已知等差数列an满足a1+a2=10，a4a3=2（1）求an的通项公式；（2）设等比数列bn满足b2=a3，b3=a7，问：b6与数列an的第几项相等？考点： 等差数列的性质专题： 计算题；等差数列与等比数列分析： （i）由a4a3=2，可求公差d，然后由a1+a2=10，可求a1，结合等差数列的通项公式可求（ii）由b2=a3=8，b3=a7=16，可求等比数列的首项及公比，代入等比数列的通项公式可求b6，结合（i）可求解答： 解：（i）设等差数列an的公差为da4a3=2，所以d=2a1+a2=10，所以2a1+d=10a1=4，an=4+2（n1）=2n+2（n=1，2，）（ii）设等比数列bn的公比为q，b2=a3=8，b3=a7=16，q=2，b1=4=128，而128=2n+2n=63b6与数列an中的第63项相等点评： 本题主要考查了等差数列与等比数列通项公式的简单应用，属于对基本公式应用的考查，试题比较容易18如图，在三棱锥vabc中，平面vab平面abc，vab为等边三角形，acbc且ac=bc=，o，m分别为ab，va的中点（1）求证：vb平面moc；（2）求证：平面moc平面vab（3）求三棱锥vabc的体积考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定专题： 综合题；空间位置关系与距离分析： （1）利用三角形的中位线得出omvb，利用线面平行的判定定理证明vb平面moc；（2）证明：oc平面vab，即可证明平面moc平面vab（3）利用等体积法求三棱锥vabc的体积解答： （1）证明：o，m分别为ab，va的中点，omvb，vb平面moc，om平面moc，vb平面moc；（2）ac=bc，o为ab的中点，ocab，平面vab平面abc，oc平面abc，oc平面vab，oc平面moc，平面moc平面vab（3）在等腰直角三角形acb中，ac=bc=，ab=2，oc=1，svab=，oc平面vab，vcvab=svab=，vvabc=vcvab=点评： 本题考查线面平行的判定，考查平面与平面垂直的判定，考查体积的计算，正确运用线面平行、平面与平面垂直的判定定理是关键19某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为40，50，50，60，80，90，90，100（1）求频率分布图中a的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在40，60的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在40，50的概率考点： 频率分布直方图专题： 概率与统计分析： （1）利用频率分布直方图中的信息，所有矩形的面积和为1，得到a；（2）对该部门评分不低于80的即为90和100，的求出频率，估计概率；（3）求出评分在40，60的受访职工和评分都在40，50的人数，随机抽取2人，列举法求出所有可能，利用古典概型公式解答解答： 解：（1）因为（0.004+a+0.018+0.0222+0.028）10=1，解得a=0.006；（2）由已知的频率分布直方图可知，50名受访职工评分不低于80的频率为（0.022+0.018）10=4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4；（3）受访职工中评分在50，60）的有：500.00610=3（人），记为a1，a2，a3；受访职工评分在40，50）的有：500.00410=2（人），记为b1，b2从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，分别是a1，a2，a1，a3，a1，b1，a1，b2，a2，a3，a2，b1，a2，b2，a3，b1，a3，b2，b1，b2，又因为所抽取2人的评分都在40，50）的结果有1种，即b1，b2，故所求的概率为p=点评： 本题考查了频率分布直方图的认识以及利用图中信息求参数以及由频率估计概率，考查了利用列举法求满足条件的事件，并求概率20设函数f（x）=klnx，k0（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）证明：若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，）上仅有一个零点考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值专题： 开放型；导数的综合应用分析： （1）利用f（x）0或f（x）0求得函数的单调区间并能求出极值；（2）利用函数