黑龙江省高三数学一轮复习单元训练 空间向量与立体几何.doc

黑龙江省2013届高三数学一轮复习单元训练：空间向量与立体几何本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分150分考试时间120分钟第卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1平面，的法向量分别是n1(1,1,1)，n2(1,0，1)，则平面，所成角的余弦值是()a bc d【答案】c2 空间任意四个点a、b、c、d，则等于 ( ）abcd【答案】c3四棱柱中，ac与bd的交点为点m，设，则下列与相等的向量是 ( ）ab cd【答案】4在空间四边形abcd中，若，则等于 ( ）abcd【答案】d5平面的一个法向量n(1，1,0)，则y轴与平面所成的角的大小为()a b c d【答案】b6在三棱柱中，设m、n分别为的中点，则等于 ( ）abcd【答案】b7在棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中，p为正方体内一动点(包括表面)，若xyz，且0xyz1.则点p所有可能的位置所构成的几何体的体积是()a1b c d【答案】d8若a、b、c、d为空间四个不同的点，则下列各式为零向量的是 ( ） abcd【答案】c9对于空间任意一点o和不共线的三点a，b，c，有xyz(x，y，zr)，则x2，y3，z2是p，a，b，c四点共面的()a必要不充分条件 b充分不必要条件c充要条件 d既不充分又不必要条件【答案】b10以下命题中，不正确的命题个数为() 已知a、b、c、d是空间任意四点，则abcd0若a，b，c为空间一个基底，则ab，bc，ca构成空间的另一个基底；对空间任意一点o和不共线三点a、b、c，若oxyz(其中x，y，zr)，则p、a、b、c四点共面a0b1c2d3【答案】b11点m在z轴上，它与经过坐标原点且方向向量为s(1，1,1)的直线l的距离为，则点m的坐标是()a(0,0，2)b(0,0，3)c(0,0，) d(0,0，1)【答案】b12如图所示，已知在直三棱柱aboa1b1o1中，aob，ao2，bo6，d为a1b1的中点，且异面直线od与a1b垂直，则三棱柱aboa1b1o1的高是()a3b4 c5d6【答案】b第卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13 线段ab，bd在平面内，bdab，线段ac，如果a，b，c，则cd的长度为_(用a，b，c表示)【答案】 14在空间直角坐标系中，点m(5,1，2)关于xoz面的对称点坐标为_【答案】(5，1，2)15如图所示，在三棱柱abca1b1c1中，aa1底面abc，abbcaa1，abc90，点e、f分别是棱ab、bb1的中点，则直线ef和bc1所成的角是_【答案】6016在空间四边形abcd中，a2c， 5a6b8c，对角线ac、bd的中点分别为p、q，则_.【答案】3a3b5c三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17 m为长方体ac1的棱bc的中点，点p在长方体ac1的一个平面cc1d1d内，若pm平面bb1d1d，试探讨点p的确切位置【答案】如图建立空间直角坐标系dxyz，设a(a,0,0)，b(a，b,0)，c(0，b,0)，d1(0,0，c)，则m，根据题意可设p(0，y，z)，pm平面bb1d1d，存在实数对(m，n)，使得mn，即(ma，mb，nc)，可得解得即点p点p在棱cd，c1d1的中点连线上18已知斜三棱柱abc-a1b1c1,bca=90,ac=bc=2,a1在底面abc上的射影恰为ac的中点d，又知ba1ac1.(1)求证：ac1平面a1bc；(2)求点c1到平面a1ab的距离；(3)求二面角a-a1b-c的余弦值.【答案】(1)如图，取ab的中点e，则debc，因为bcac,所以deac,且a1d平面abc,以射线de,dc,da1分别为x,y,z轴的正半轴建立空间直角坐标系，则a(0,-1,0),c(0,1,0),b(2,1,0),设a1(0,0,t),c1(0,2,t),则=(0,3,t),=(-2,-1,t), =(2,0,0),ac1cb,ba1ac1,ac1平面a1bc.(2)由(1)知ac1平面a1bc,=-3+t2=0,得t=.设平面a1ab的一个法向量为n=(x,y,z), =(0,1,),=(2,2,0),所以设z=1,则.所以点c1到平面a1ab的距离.(3)设平面a1bc的一个法向量为m=(x1,y1,z1),=(0,-1,), =(2,0,0),所以设z1=1，则m=(0,1),故,由题意知二面角a-a1b-c为锐角.二面角a-a1b-c的余弦值为.19如图，在直三棱柱abc-a1b1c1中，acb=90,bac=30,bc=1,aa1=,m是棱cc1的中点.(1)求证：a1bam；(2)求直线am与平面aa1b1b所成角的正弦值.【答案】(1)因为c1c平面abc，bcac，所以以c为原点，射线ca,cb,cc1分别为x轴，y轴，z轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系，则b(0,1,0),a1(,0,),a(,0,0),m(0,0,),所以,所以=3+0-3=0,所以，即a1bam.(2)由(1)知=(-,1,0), =(0,0,-),设面aa1b1b的法向量为n=(x,y,z),则不妨取n=(1,0),设直线am与平面aa1b1b所成角为,则所以直线am与平面aa1b1b所成角的正弦值为.20如图，四边形abcd为正方形，pd平面abcd，pdqa，qaabpd.(1)证明：平面pqc平面dcq；(2)求二面角qbpc的余弦值【答案】如图，以d为坐标原点，线段da的长为单位长，射线oa为x轴的正半轴建立空间直角坐标系dxyz.(1)依题意有q(1,1,0)，c(0,0,1)，p(0,2,0)则(1,1,0)，(0,0,1)，(1，1,0)所以0，0.即pqdq，pqdc.故pq平面dcq.又pq平面pqc，所以平面pqc平面dcq。(2)依题意有b(1,0,1)，(1,0,0)，(1,2，1)设n(x，y，z)是平面pbc的法向量，即即因此可取n(0，1，2)设m是平面pbq的法向量，则可取m(1,1,1)，所以cosm，n故二面角qbpc的余弦值为21如图，bcd与mcd都是边长为2的正三角形，平面mcd平面bcd，ab平面bcd，ab2(1)求点a到平面mbc的距离；(2)求平面acm与平面bcd所成二面角的正弦值【答案】解法一：(1)取cd中点o，连ob，om，则obom，obcd，mocd，又平面mcd平面bcd，则mo平面bcd，所以mo ab，mo平面abc，m、o到平面abc的距离相等作ohbc于h，连mh，则mhbc.求得ohocsin60，mh，设点a到平面mbc的距离为d，由vambcvmabc得smbcdsabcoh.即2d22，解得d(2)延长am、bo相交于e，连ce、de，ce是平面acm与平面bcd的交线由(1)知，o是be的中点，则四边形bced是菱形作bfec于f，连af，则afec，afb就是二面角aecb的平面角，设为.因为bce120，所以bcf60.bf2sin60，tan2，sin则所求二面角的正弦值为解法二：取cd中点o，连ob，om，则obcd，omcd，又平面mcd平面bcd，则mo平面bcd.取o为原点，直线oc、bo、om为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图obom，则各点坐标分别为c(1,0,0)，m(0,0，)，b(0，0)，a(0，2)(1)设n(x，y，z)是平面mbc的法向量，则(1，0)，(0，)由n得xy0；由n得yz0.取n(，1,1)，(0,0,2)则d(2)(1,0，)，(1，2)设平面acm的法向量n1(x，y，z)，则n1，n1得，解得xz，yz，取n1(，1,1)又平面bcd的法向量为n2(0,0,1)所以cosn1，n2，设所求二面角为，则sin22已知在四棱锥p-abcd中，底面abcd是矩形，且ad=2，ab=1，pa平面abcd，e、f分别是线段ab、bc的中点(1)证明：pffd；(2)判断并说明pa上是否存在点g，使得eg平面pfd；(3)若pb与平面abcd所成的角为45，求二面角a-pd-f的余弦值【答案】(1)pa平面abcd，bad=90，ab=1，ad=2，建立如图所示的空间直角坐标系axyz，则a(0,0,0),b(1,0,0),f(1,1,0),d(0,2,0)不妨令p(0,0,t)，则=(1,1,-t)，=(1,-1,0)，=11+1(-1)+(-t)0=0，即pffd(2)设平面pfd的法向量为n=(x,y,z)，由得令z=1，解得：x=y=n=(,1)设g点的坐标为(0,0,m)，