湖南省邵阳市邵阳县石齐中学高三数学上学期第一次月考试卷 理（含解析）.doc

2015-2016学年湖南省邵阳市邵阳县石齐中学高三（上）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1复数的虚部是( )aibic1d12曲线y=与直线y=x1及x=4所围成的封闭图形的面积为( )a2ln2b2ln2c4ln2d42ln23函数f（x）=的定义域为( )a（2，3）b（2，4c（2，3）（3，4d（1，3）（3，64已知tan=4，的值是( )abc4d45若函数f（x）=ax2+b|x|+c（a0）有四个单调区间，则实数a，b，c满足( )ab24ac0，a0bb24ac0c0d06函数y=f（x），（xr）为奇函数，当x（，0）时，xf（x）f（x），若 a=f（），b=（lg3）f（lg3），c=（log2）f（log2），则a，b，c的大小顺序为( )aabcbcbaccabdcab7若f（lnx）=3x+4，则f（x）的表达式为( )a3lnxb3lnx+4c3exd3ex+48下列命题正确的个数是( )a“在三角形abc中，若sinasinb，则ab”的逆命题是真命题；b命题p：x2或y3，命题q：x+y5则p是q的必要不充分条件；c“xr，x3x2+10”的否定是“xr，x3x2+10”；d“若ab，则2a2b1”的否命题为“若ab，则2a2b1”a1b2c3d49已知y=f（x）是定义在r上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( )y=f（|x|）；y=f（x）；y=xf（x）；y=f（x）+xabcd10在平面上，|=|=1，=+若|，则|的取值范围是( )a（0，b（，c（，d（，11设ar，函数f（x）=ex+aex的导函数是f（x），且f（x）是奇函数若曲线y=f（x）的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为( )aln2bln2cd12已知函数的定义域是a，b（a，bz），值域是0，1，那么满足条件的整数数对（a，b）共有( )a2个b3个c5个d无数个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题纸相应的位置上13已知函数f（x）=，则不等式f（x）0的解集为_14在abc中，角a，b，c的对边分别是a，b，c，若a，b，c成等差数列，b=30，abc的面积为，则b=_15已知函数f（x）的导函数f（x）=5+cosx，x（1，1），且f（0）=0，若f（1x）+f（1x2）0，则实数x取值的集合是_16已知a，br，当x0时，不等式ax+blnx，则a+b的最小值为_三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17已知命题p：函数y=loga（12x）在定义域上单调递增，命题q：不等式（a2）x2+2（a2）x40对任意实数x恒成立，若pq是真命题，pq是假命题，求实数a的取值范围18已知函数f（x）=（）求函数f（x）的定义域；（）若f（x）=2，求x的取值集合及sin2x的值19如图，在abc中，d为ab边上一点，da=dc，已知b=，bc=1（）若abc是锐角三角形，dc=，求角a的大小；（）若bcd的面积为，求边ab的长20已知椭圆+=1（ab0）的离心率为，且过点b（0，1）（）求椭圆的标准方程；（）直线l：y=k（x+2）交椭圆于p、q两点，若点b始终在以pq为直径的圆内，求实数k的取值范围21已知函数f（x）=xlnxx2（ar）（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点1，f（1）处的切线方程；（2）若函数g（x）=f（x）x有两个极值点x1、x2，求证：+2ae请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】22如图，p为圆外一点，pd为圆的切线，切点为d，ab为圆的一条直径，过点p作ab的垂线交圆于c、e两点（c、d两点在ab的同侧），垂足为f，连接ad交pe于点g（1）证明：pc=pd；（2）若ac=bd，求证：线段ab与de互相平分【选修4-4：坐标系与参数方程选讲】23（已知曲线c1的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线c2的极坐标方程是=4cos（1）求曲线c1与c2交点的极坐标；（2）a、b两点分别在曲线c1与c2上，当|ab|最大时，求oab的面积（o为坐标原点）【选修4-5：不等式选讲】24设函数f（x）=|2x+1|+|xa|（ar）（1）当a=2时，求不等式f（x）4；（2）当a时，若存在x使得f（x）+x3成立，求a的取值范围2015-2016学年湖南省邵阳市邵阳县石齐中学高三（上）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1复数的虚部是( )aibic1d1【考点】复数的基本概念 【专题】数系的扩充和复数【分析】根据复数的基本运算化简复数即可【解答】解：=，则复数的虚部是1，故选：c【点评】本题主要考查复数的有关概念，利用复数的四则运算进行化简是解决本题的关键2曲线y=与直线y=x1及x=4所围成的封闭图形的面积为( )a2ln2b2ln2c4ln2d42ln2【考点】定积分 【专题】导数的概念及应用【分析】作出函数的图象，可得围成的封闭图形为曲边三角形abc，它的面积可化作梯形abef的面积与曲边梯形bcef面积的差，由此结合定积分计算公式和梯形面积公式，不难得到本题的答案【解答】解：令x=4，代入直线y=x1得a（4，3），同理得c（4，）由=x1，解得x=2，所以曲线y=与直线y=x1交于点b（2，1）sabc=s梯形abefsbcef而sbcef=dx=2lnx|=2ln42ln2=2ln2s梯形abef=（1+3）2=4封闭图形abc的面积sabc=s梯形abefsbcef=42ln2故选d【点评】本题利用定积分计算公式，求封闭曲边图形的面积，着重考查了利用积分公式求原函数和定积分的几何意义等知识，属于基础题3函数f（x）=的定义域为( )a（2，3）b（2，4c（2，3）（3，4d（1，3）（3，6【考点】函数的定义域及其求法 【专题】函数的性质及应用【分析】根据函数成立的条件进行求解即可【解答】解：要使函数有意义，则，即，解得2x4且x3，即函数的定义域为（2，3）（3，4，故选：c【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件4已知tan=4，的值是( )abc4d4【考点】三角函数的化简求值 【专题】三角函数的求值【分析】由于已知tan=4，利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式化简 为 ，从而求得结果【解答】解：由于已知tan=4，则=，故选：b【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式的应用，属于中档题5若函数f（x）=ax2+b|x|+c（a0）有四个单调区间，则实数a，b，c满足( )ab24ac0，a0bb24ac0c0d0【考点】函数的单调性及单调区间 【专题】函数的性质及应用【分析】要使f（x）在r上有四个单调区间，显然在x0时，f（x）有两个单调区间，x0时有两个单调区间，从而可得出a，b，c需满足【解答】解：x0时，f（x）=ax2+bx+c；此时，f（x）应该有两个单调区间；对称轴x=；x0时，f（x）=ax2bx+c，对称轴x=；此时f（x）有两个单调区间；当时，f（x）有四个单调区间故选c【点评】考查二次函数的单调性及单调区间，含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，二次函数的对称轴6函数y=f（x），（xr）为奇函数，当x（，0）时，xf（x）f（x），若 a=f（），b=（lg3）f（lg3），c=（log2）f（log2），则a，b，c的大小顺序为( )aabcbcbaccabdcab【考点】对数值大小的比较 【专题】函数的性质及应用；导数的概念及应用【分析】令g（x）=xf（x），根据当x（，0）时，xf（x）f（x），函数y=f（x）是定义在r上的奇函数，可得g（x）=xf（x）+f（x）0，即函数g（x）在（，0）时单调递减，在函数g（x）在（0，+）单调递增，问题得以解决【解答】解：令g（x）=xf（x），当x（，0）时，xf（x）f（x），函数y=f（x）是定义在r上的奇函数，可以化为xf（x）+f（x）0，g（x）=xf（x）+f（x）0，函数g（x）在（，0）单调递减，g（x）=xf（x）=xf（x）=g（x），g（x）为偶函数，函数g（x）在（0，+）单调递增，g（log2）=g（2）=g（2）2lg3，cab故选：d【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7若f（lnx）=3x+4，则f（x）的表达式为( )a3lnxb3lnx+4c3exd3ex+4【考点】函数解析式的求解及常用方法 【专题】计算题【分析】设t=lnx，则x=et，即可得到f（t）=3et+4，进而得到函数的解析式【解答】解：设t=lnx，则x=et，所以f（t）=3et+4，所以f（x）=3ex+4故选d【点评】本题主要考查函数解析式的求解及常用方法，解决此类问题的关键是熟练掌握求解析式的方法如：待定系数法、换原法、函数的奇偶性法、构造方程组法等方法8下列命题正确的个数是( )a“在三角形abc中，若sinasinb，则ab”的逆命题是真命题；b命题p：x2或y3，命题q：x+y5则p是q的必要不充分条件；c“xr，x3x2+10”的否定是“xr，x3x2+10”；d“若ab，则2a2b1”的否命题为“若ab，则2a2b1”a1b2c3d4【考点】命题的真假判断与应用 【专题】简易逻辑【分析】a项根据正弦定理以及四种命题之间的关系即可判断；b项根据必要不充分条件的概念即可判断该命题是否正确；c项根据全称命题和存在性命题的否定的判断；d项写出一个命题的否命题的关键是正确找出原命题的条件和结论【解答】解：对于a项“在abc中，若sinasinb，则ab”的逆命题为“在abc中，若ab，则sinasinb”，若ab，则ab，根据正弦定理可知sinasinb，逆命题是真命题，a正确；对于b项，由x2，或y3，得不到x+y5，比如x=1，y=4，x+y=5，p不是q的充分条件；若x+y5，则一定有x2且y3，即能得到x2，或y3，p是q的必要条件；p是q的必要不充分条件，所以b正确；对于c项，“xr，x3x2+10”的否定是“xr，x3x2+10”；所以c不对对于d项，“若ab，则2a2b1”的否命题为“若ab，则2a2b1”所以d正确故选：c【点评】本题主要考查各种命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强9已知y=f（x）是定义在r上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( )y=f（|x|）；y=f（x）；y=xf（x）；y=f（x）+xabcd【考点】函数奇偶性的判断 【专题】计算题【分析】由奇函数的定义：f（x）=f（x）逐个验证即可【解答】解：由奇函数的定义：f（x）=f（x）验证f（|x|）=f（|x|），故为偶函数f（x）=f（x）=f（x），为奇函数xf（x）=xf（x）=xf（x），为偶函数f（x）+（x）=f（x）+x，为奇函数可知正确故选d【点评】题考查利用函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性，是基础题10在平面上，|=|=1，=+若|，则|的取值范围是( )a（0，b（，c（，d（，【考点】向量在几何中的应用；平面向量的基本定理及其意义 【专题】压轴题；平面向量及应用【分析】建立坐标系，将向量条件用等式与不等式表示，利用向量模的计算公式，即可得到结论【解答】解：根据条件知a，b1，p，b2构成一个矩形ab1pb2，以ab1，ab2所在直线为坐标轴建立直角坐标系，设|ab1|=a，|ab2|=b，点o的坐标为（x，y），则点p的坐标为（a，b），由=1，得，则|，（xa）2+y2=1，y2=1（xa）21，y21同理x21x2+y22由知，|=，|故选d【点评】本题考查向量知识的运用，考查学生转化问题的能力，考查学生的计算能力，属于难题11设ar，函数f（x）=ex+aex的导函数是f（x），且f（x）是奇函数若曲线y=f（x）的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为( )aln2bln2cd【考点】简单复合函数的导数 【专题】压轴题【分析】已知切线的斜率，要求切点的横坐标必须先求出切线的方程，我们可从奇函数入手求出切线的方程【解答】解：对f（x）=ex+aex求导得f（x）=exaex又f（x）是奇函数，故f（0）=1a=0解得a=1，故有f（x）=exex，设切点为（x0，y0），则，得或（舍去），得x0=ln2【点评】熟悉奇函数的性质是求解此题的关键，奇函数定义域若包含x=0，则一定过原点12已知函数的定义域是a，b（a，bz），值域是0，1，那么满足条件的整数数对（a，b）共有( )a2个b3个c5个d无数个【考点】映射；函数的定义域及其求法；函数的值域 【专题】压轴题；探究型；分类讨论；分类法【分析】由题设，值域是0，1，可得12，由此解出0|x|2，由于x=0时y=1，x=2时，y=0，故在定义域中一定有0，而2必有其一，当一定有2时，取b=2时，a可取2，1，0，当a=2时，b可取0，1，从而计数得出个数【解答】解：由题意函数的值域是0，1，120|x|22x2a，b2，2由于x=0时y=1，x=2时，y=0，故在定义域中一定有0，而2必有其一，又a，bz取b=2时，a可取2，1，0，取a=2时，b可取0，1 故满足条件的整数数对（a，b）共有5对故应选c【点评】本题考查映射的对应关系，知值域推测定义域的可能情况，主要考查映射中对应是一对一或者是多对一的对应，根据此不确定情况来推测定义域的可能种数二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题纸相应的位置上13已知函数f（x）=，则不等式f（x）0的解集为x|1x1【考点】函数的图象与图象变化 【分析】要求函数f（x）0的解集，我们可以先求出x0时，log2x0的解集，再求出x0时，1x20的解集，然后求出它们的交集即可得到结论【解答】解：f（x）0，且f（x）=，当x0时，log2x0，即log2x0，0x1，当x0时，1x20，即x210，1x0，因此1x1故答案为x|1x1【点评】分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上x、y取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者14在abc中，角a，b，c的对边分别是a，b，c，若a，b，c成等差数列，b=30，abc的面积为，则b=【考点】数列与三角函数的综合 【专题】计算题【分析】由a，b，c成等差数列可得2b=a+c结合b=30而要求b故不能采用正弦定理而采用余弦定理即cosb=再利用面积公式可得然后代入化简即可求值【解答】解：a，b，c成等差数列2b=a+c又abc的面积为ac=6又cosb=由知=又b0b=故答案为：【点评】本题主要考查了求解三角形求b可利用余弦定理还是利用正弦定理关键是要分析题中所获得的条件：2b=a+c，ac=6而这两个条件在正弦定理中是体现不出来的故采用余弦定理，同时在求解的过程中用到了配方变形这一技巧！15已知函数f（x）的导函数f（x）=5+cosx，x（1，1），且f（0）=0，若f（1x）+f（1x2）0，则实数x取值的集合是（1，）【考点】利用导数研究函数的单调性 【专题】导数的综合应用【分析】由导函数可求原函数f（x），判断函数f（x）单调性和奇偶性，利用奇偶性将不等式f（x2）+f（x22x）0转化成f（x2）f（2xx2），利用单调性去掉函数符号f 即可解得所求，注意自变量本身范围【解答】解：f（x）=5+cosx，知f（x）=5x+sinx+c，而f（0）=0，c=0即f（x）=5x+sinx，易知此函数是奇函数，且在整个区间单调递增，因为f（x）=5+cosx在x（0，1）恒大于0，根据奇函数的性质可得出，在其对应区间上亦是单调递增的由 f（1x）+f（1x2）0 可得 f（1x）f（x21），解得0x故实数x的集合是：（0，）故答案为：（0，）【点评】本题主要考查了函数的单调性与导数的关系，以及函数的单调性和奇偶性，同时考查了计算能力，属于中档题16已知a，br，当x0时，不等式ax+blnx，则a+b的最小值为0【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；简单线性规划 【专题】综合题；导数的综合应用【分析】令y=lnxaxb，求出导数，当a0时，y0，函数递增，无最值当a0时，求得单调区间，和极值及最值，进而得到a+b的不等式，再令f（a）=a1lna，通过导数求出单调区间和极值、最值，进而得到a+b的最小值【解答】解：令y=lnxaxb，则y=（x0），当a0时，y0，函数递增，无最值当a0时，0x时，y0，函数递增；当x时，y0，函数递减则x=处取得极大值，也为最大值，且为lna1b当x0时，不等式ax+blnx恒成立，即有lna1b0，即b1lna，a+ba1lna，令f（a）=a1lna，f（a）=1=，当a1时，f（a）0，f（a）递增；当0a1时，f（a）0，f（a）递减则a=1处f（a）取得极小值，也为最小值，且为0即有a+b0即有a+b的最小值为0故答案为：0【点评】本题考查不等式的恒成立问题注意转化为求函数的最值问题，运用导数判断单调性，求极值和最值是解题的关键，属于中档题三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17已知命题p：函数y=loga（12x）在定义域上单调递增，命题q：不等式（a2）x2+2（a2）x40对任意实数x恒成立，若pq是真命题，pq是假命题，求实数a的取值范围【考点】复合命题的真假；复合函数的单调性；一元二次不等式的解法 【专题】规律型【分析】分别求出p，q成立的等价条件，利用pq是真命题，pq是假命题，确定实数a的取值范围【解答】解：若函数y=loga（12x）在定义域上单调递增，根据复合函数的单调性可知0a1，即p：0a1若不等式（a2）x2+2（a2）x40对任意实数x恒成立，当a=2时，不等式等价为40，成立当a0时，要使不等式恒成立，则，解得2a2，综上：2a2，即q：2a2，若pq是真命题，pq是假命题，则p，q一真一假，若p假q真，则，解得2a0或1a2若p真q假，则，此时无解综上：实数a的取值范围是2a0或1a2【点评】本题主要考查复合命题与简单命题之间的真假关系，先求出命题p，q成立的等价条件是解决本题的关键18已知函数f（x）=（）求函数f（x）的定义域；（）若f（x）=2，求x的取值集合及sin2x的值【考点】三角函数的化简求值；二倍角的正弦；正弦函数的定义域和值域 【专题】三角函数的求值【分析】（）求使sinx0的x 范围即可；（）由f（x）=2，化简得到sin2x=1，由此得到x【解答】解：（）由sinx=0，得x=k（kz），2分所以，函数f（x）的定义域为x|xr，xk（kz）3分（）由f（x）=2，得即，（*） 5分所以（sinxcosx）2=2，即sin2x2sinxcosx+cos2x=2，所以，sin2x=18分由sin2x=1，得，则，10分当k=2n1（nz）时，代入（*），矛盾，舍去；当k=2n（nz）时，代入（*），成立所以，x的取值集合是13分【点评】本题考查了三角函数解析式的化简；用到了倍角公式、基本关系式等19如图，在abc中，d为ab边上一点，da=dc，已知b=，bc=1（）若abc是锐角三角形，dc=，求角a的大小；（）若bcd的面积为，求边ab的长【考点】正弦定理 【专题】解三角形【分析】（）在bcd中，由正弦定理得到bdc，又由da=dc，即可得到a；（）由于bcd面积为 ，得到 bcbdsin =，得到bd，再由余弦定理得到cd2=bc2+bd22bcbdcos ，再由da=dc，即可得到边ab的长【解答】解：（）在bcd中，b=，bc=1，dc=，由正弦定理得到：，解得sinbdc=，则bdc=或abc是锐角三角形，可得bdc=又由da=dc，则a=（）由于b=，bc=1，bcd面积为，则bcbdsin=，解得bd=再由余弦定理得到cd2=bc2+bd22bcbdcos=1+2=，故cd=，又由ab=ad+bd=cd+bd=，故边ab的长为：【点评】本题考查了正弦定理和余弦定理结合去解三角形，属于中档题20已知椭圆+=1（ab0）的离心率为，且过点b（0，1）（）求椭圆的标准方程；（）直线l：y=k（x+2）交椭圆于p、q两点，若点b始终在以pq为直径的圆内，求实数k的取值范围【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程 【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）由题意知，解方程可求a，b进而可求方程；（）设p（x1，y1），q（x2，y2），联立，可得：（1+4k2）x2+16k2x+（16k24）=0，由直线y=k（x+2）恒过点椭圆的左顶点（2，0），可求x1，y1，由方程的根与系数关系可得，x1+x2，y1+y2，由已知可得，根据向量的数量积的坐标表示可得关于k的不等式，求解即可【解答】解：（）由题意知，解得，椭圆的标准方程为：（）设p（x1，y1），q（x2，y2）联立，消去y，得：（1+4k2）x2+16k2x+（16k24）=0 依题意：直线l：y=k（x+2）恒过点（2，0），此点为椭圆的左顶点，所以x1=2，y1=0，由方程的根与系数关系可得，x1+x2=，可得y1+y2=k（x1+2）+k（x2+2）=k（x1+x2）+4k，由， 由点b在以pq为直径的圆内，得pbq为钝角或平角，即=（2，1），=（x2，y21）=2x2y2+10即，整理可得，20k24k30解得：k（14分）【点评】本题主要考查了椭圆的性质在求解方程中的应用，直线与椭圆的位置关系的应用，试题对考试的逻辑思维能力及计算能力的要求较高21已知函数f（x）=xlnxx2（ar）（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点1，f（1）处的切线方程；（2）若函数g（x）=f（x）x有两个极值点x1、x2，求证：+2ae【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程 【专题】导数的综合应用【分析】（1）求出f（x）的导函数，切线斜率k=f（1），利用切线的定义，即可求出切线方程；（2）函数g（x）=f（x）x有两个极值点x1、x2，即导函数g（x）有两个不同的实数根x1、x2，对a进行分类讨论，令1，构造函数（t），利用函数（t）的单调性证明不等式【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=xlnxx2，f（x）=lnx+1x2，f（1）=1，f（1）=1，曲线y=f（x）在（1，f（1）处的切线方程为y=x；（2）g（x）=f（x）1=lnxax，函数g（x）=f（x）x有两个极值点x1、x2，即g（x）=lnxax=0有两个不同的实根，当a0时，g（x）单调递增，g（x）=0不可能有两个不同的实根；当a0时，设h（x）=lnxax，若时，h（x）0，h（x）单调递增，若时，h（x）0，h（x）单调递减，0，0不妨设x2x10，lnx1ax1=0，lnx2ax2=0，lnx1lnx2=a（x1x2），先证，即证，即证令，即证设（t）=，则（t）=函数（t）在（1，+）上单调递减，（t）（1）=0，证：+2，又ae1，+2ae【点评】本题考查了，利用导数求函数的切线，运用分类讨论，等价转化思想证明不等式是一道导数综合题，难题较大请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】22如图，p为圆外一点，pd为圆的切线，切点为d，ab为圆的一条直径，过点p作ab的垂线交圆于c、e两点（c、d两点在ab的同侧），垂足为f，连接ad交pe于点g（1）证明：pc=pd；（2）若ac=bd，求证：线段ab与de互相平分【考点】与圆有关的比例线段 【专题】选作题；立体几何【分析】（1）利用pd为圆的切线，切点为d，ab为圆的一条直径，证明：dgp=pdg，即可证明pc=pd；（2）若ac=bd，证明de为圆的一条直径，即可证明线段ab与de互相平分【解答】证明：（1）pd为圆的切线，切点为d，ab为圆的一条直径，pda=dba，bda=90，dba+dab=90，peab在rtafg中，fga+gaf=90，fga+dab=90，fga=dbafg