湖南省长沙市湘潭一中、浏阳一中、宁乡一中联考高三数学上学期10月月考试卷 理（含解析）.doc

湖南省长沙市湘潭一中、浏阳一中、宁乡一中联考2015届高三上学期10月月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1sin（600）=( )abcd考点：运用诱导公式化简求值 专题：三角函数的求值分析：应用诱导公式化简sin（600）为 sin60，从而求得结果解答：解：sin（600）=sin（600+720）=sin120=sin60=，故选b点评：本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，属于基础题2在等比数列an中，已知a1=2，a3a5=16，则a7=( )a16b8c8d4考点：等比数列的通项公式 专题：等差数列与等比数列分析：由等比数列的性质可得a1a7=a3a5=16，代值计算可得解答：解：由等比数列的性质可得a1a7=a3a5=16，a7=8故选：c点评：本题考查等比数列的性质，属基础题3设集合a=x|1，b=y|y=2x，x1，0，则ab=( )a（，1b（0，1）c（0，1d考点：并集及其运算 专题：集合分析：求解分式不等式化简集合a，求解指数函数的值域化简b，然后直接由并集运算求解解答：解：由，得，即0x1a=x|1=（0，1），b=y|y=2x，x1，0=，1，ab=（0，1故选：c点评：本题考查了并集及其运算，考查了复数不等式的解法，是基础题4下列函数，在区间（0，+）上为增函数的是( )ay=ln（x+2）bcd考点：对数函数的单调性与特殊点；函数单调性的判断与证明 专题：函数的性质及应用分析：利用对数函数的图象和性质可判断a正确；利用幂函数的图象和性质可判断b错误；利用指数函数的图象和性质可判断c正确；利用“对勾”函数的图象和性质可判断d的单调性解答：解：a，y=ln（x+2）在（2，+）上为增函数，故在（0，+）上为增函数，a正确；b，在1，+）上为减函数；排除bc，在r上为减函数；排除cd，在（0，1）上为减函数，在（1，+）上为增函数，排除d故选 a点评：本题主要考查了常见函数的图象和性质，特别是它们的单调性的判断，简单复合函数的单调性，属基础题5已知命题：p：在abc中，sinasinb的充分不必要条件是ab；q：xr，x2+2x+20则下列命题为真命题的是( )apqbpqcpqdpq考点：复合命题的真假 专题：三角函数的图像与性质；简易逻辑分析：根据正弦定理及大边对大角定理即可得到ab是sinasinb的充要条件，所以命题p是假命题，通过判别式的取值，容易判断出q是假命题，所以只有c是真命题解答：解：根据正弦定理及大边对大角，sinasinbabab，即ab是sinasinb的充要条件，所以命题p是假命题；对于二次函数y=x2+2x+2，=480；对于xr，x2+2x+20，所以q是假命题；pq是真命题故选c点评：考查正弦定理，三角形的大边对大角，充分条件、必要条件、充要条件的概念，以及二次函数的取值和判别式的关系6执行如图所示的程序框图，若输入x=4，则输出y的值为( )a1bcd考点：程序框图 专题：算法和程序框图分析：执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y的值，当x=，y=时，满足条件|xy|1，退出循环，输出y的值为解答：解：执行程序框图，有x=4y=1不满足条件|xy|1，x=1，y=不满足条件|xy|1，x=，y=满足条件|xy|1，退出循环，输出y的值为故选：d点评：本题主要考察了程序框图和算法，属于基本知识的考查7abc的三个内角a，b，c对应的边分别a，b，c，且acosc，bcosb，ccosa成等差数列，则角b等于( )a30b60c90d120考点：等差数列的性质；等差数列的通项公式；正弦定理 专题：等差数列与等比数列；解三角形分析：由题意可得 2bcosb=acosc+ccosa，再利用正弦定理、两角和差的正弦公式、二倍角公式，化简可得 cosb=，由此求得b的值解答：解：由题意可得 2bcosb=acosc+ccosa，再利用正弦定理可得 2sinbcosb=sinacosc+sinccosa，sin2b=sin（a+c），即 2sinbcosb=sinb由于sinb0，cosb=，b=60，故选b点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，正弦定理、两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，属于中档题8函数f（x）=xsin（x2）的图象大致为( )abcd考点：函数的图象 专题：函数的性质及应用分析：先根据函数的奇偶性，得到函数f（x）为奇函数，在取特殊值x=，求出f（）0，问题得以解决解答：解：因为f（x）=xsin（x）2=xsin（x2）=f（x），所以函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，故排除bc，当x=时，f（）=sin，0，sin0，f（）0，故排除d，故选：a点评：本题考查了函数的图象的识别，利用和函数的奇偶性和特殊值法，属于基础题9一个几何体的三视图如图所示，则它的体积为( )abcd考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体为四棱锥解答：解：该几何体为四棱锥其底面为梯形，上底为1，下底为2，高为1；体高为1；故v=（1+2）11=；故选b点评：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力10设i是函数y=f（x）的定义域，若存在x0i，使f（x0）=x0，则称x0是f（x）的一个“次不动点”，也称f（x）在区间i上存在“次不动点”若函数f（x）=ax33x2x+1在r上存在三个“次不动点x0”，则实数a的取值范围是( )a（2，0）（0，2）b（2，2）c（1，0）（0，1）d（1，1）考点：函数的值 专题：导数的综合应用分析：由已知=0在r上有三个解，由函数y=ax33x2+1有三个零点，由y=3ax26x，利用导数性质能求出a的范围解答：解：函数f（x）=ax33x2x+1在r上存在三个“次不动点x0”，在r上有三个解，即=0在r上有三个解，设y=ax33x2+1，则y=3ax26x，由已知a0，令f（x）=0，得x=0或x=，当a0时，x（，0），f（x）0；x（，+），f（x）0；x（0，），f（x）0欲使f（x）有三个零点，需f（）0，即a24，由a0，解得0a2；当a0时，x（，），f（x）0；x（），f（x）0；x（0，+），f（x）0欲使f（x）有三个零点，需f（）0，即a24，由a0，解得2a00a2或2a0故选：a点评：本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11设l为曲线c：y=在点（1，0）处的切线，则l的方程为xy1=0考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：导数的概念及应用分析：求出原函数的导函数，得到函数在x=1时的导数值，即切线的斜率，由直线方程的点斜式得答案解答：解：由y=，得，即曲线c：y=在点（1，0）处的切线的斜率为1，曲线c：y=在点（1，0）处的切线方程为y0=1（x1），即xy1=0故答案为：xy1=0点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是基础题12设扇形的周长为8cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角的弧度数是2考点：扇形面积公式 专题：计算题分析：设扇形的圆心角的弧度数为，半径为r，弧长为l，面积为s，由面积公式和周长可得到关于l和r的方程组，求出l和r，由弧度的定义求即可解答：解：s=（82r）r=4，r24r+4=0，r=2，l=4，|=2故答案为：2点评：本题考查弧度的定义、扇形的面积公式，属基本运算的考查13如图所示，在一个边长为1的正方形aobc内，曲线y=x2和曲线y=围成一个叶形图（阴影部分），向正方形aobc内随机投一点（该点落在正方形aobc内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是考点：定积分；几何概型 专题：计算题分析：欲求所投的点落在叶形图内部的概率，利用几何概型解决，只须利用定积分求出叶形图的面积，最后利用它们的面积比求得即可概率解答：解：由定积分可求得阴影部分的面积为s=，所以p=故答案为：点评：本题考查了利用定积分求面积以及几何摡型知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题14已知圆c：（xa）2+（yb）2=1，平面区域：，若圆心c，且圆c与y轴相切，则a2+b2的最大值为26考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式组对应的平面区域，利用a2+b2的几何意义，结合数形结合即可得到结论解答：解：圆c（a，b），则a2+b2的几何意义为c到原点距离的平方，作出不等式组对应的平面区域如图，圆心c，且圆c与y轴相切，圆心在直线x=1或x=1上，由图象可知当圆心位于直线xy+4=0与x=1的交点处时，c到原点距离的最大，由得，即c（1，5），则a2+b2的最大值为12+52=26，故答案为：26点评：本题主要考查线性规划的应用以及直线和圆的位置关系，利用数形结合是解决本题的关键15如图，在abc中，已知点d是bc边的三等分点且bd=bc，过点d的直线分别交直线ab，ac于e，f两点，若（0），（0），则+2的最小值为考点：平面向量的基本定理及其意义 专题：导数的综合应用；平面向量及应用分析：由已知条件，而，所以得到=从而得到，消去k并求得，所以，通过求导求关于的函数的最小值即可解答：解：；e，d，f三点共线，存在实数k，使=，；由得，带入得，；设f（）=，0；，令f（）=0得，=0，或；时，f（）0，时，f（）0；时，f（）取极小值，也是最小值；f（）的最小值为；即+2的最小值为故答案为：点评：考查向量的加法、减法运算，共线向量基本定理，以及平面向量基本定理，通过求导求函数的最小值的方法及过程三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16已知函数f（x）=sin（x+）+sin（x）+cosxa，x0，（1）若函数f（x）的最大值为1，求实数a的值；（2）若方程f（x）=1有两解，求实数a的取值范围考点：三角函数中的恒等变换应用 专题：三角函数的图像与性质分析：（1）利用两角和差的正弦公式可得：函数f（x）=a由于x0，可得，可得f（x）max=2a=1，解出即可（2）方程f（x）=1，化为=a+1，由于x0，可得要使方程f（x）=1有两解，可得，解出即可解答：解：（1）函数f（x）=sin（x+）+sin（x）+cosxa=+cosxa=ax0，f（x）max=2a=1，a=1（2）方程f（x）=1，化为=a+1，x0，要使方程f（x）=1有两解，则，解得a点评：本题考查了三角函数的图象与性质、两角和差的正弦公式，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题17某旅游景点为了增加人气，吸引游客，特推出一系列活动其中有一项活动是：凡购买该景点门票的游客，可参加一次抽奖：掷两枚6个面分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体骰子，点数之和为12点获一等奖，奖品价值120元；点数之和为11点或10点获二等奖，奖品价值60元；点数之和为9点或8点获三等奖，奖品价值20元；点数之和小于8点的不得奖（1）求同行的两位游客中一人获一等奖、一人获二等奖的概率；（2）设一位游客在该景点处获奖的奖品价值为x，求x的分布列及数学期望ex考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列 专题：概率与统计分析：（1）一位游客获一等奖的概率为，获二等奖的概率为，由此能求出两位游客中一人获一等奖、一人获二等奖的概率（2）由已知得x可取0、20、60、120，分别求出相应的概率，由此能求出x的分布列的ex解答：解：（1）一位游客获一等奖的概率为，获二等奖的概率为，故两位游客中一人获一等奖、一人获二等奖的概率为：=（2）由已知得x可取0、20、60、120，则p（x=0）=，p（x=20）=，p（x=60）=，p（x=120）=，x的分布列为 x 0 20 60 120 pex=点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题18已知三棱柱abca1b1c1中，底面abc是边长为2的正三角形，侧棱长为，侧棱cc1底面abc，d是ac的中点（1）求证：ab1平面bc1d；（2）求二面角dbc1c的平面角的余弦值考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（1）欲证ab1平面bc1d，只需证明ab1平行平面bc1d中的一条直线，利用三角形的中位线平行与第三边，构造一个三角形ab1c，使ab1成为这个三角形中的边，而中位线od恰好在平面bc1d上，就可得到结论（2）建系dxyz，分别求出平面bc1d和平面bcc1的法向量，代入向量夹角公式，可得答案解答：证明：（1）连接b1c，设b1c与bc1相交于点o，连接od，四边形bcc1b是平行四边形，点o为b1c的中点，d为ac的中点，od为ab1c的中位线，odab1，od平面bc1d，ab1平面bc1d，ab1平面bc1d 解：（2）建系dxyz如图由题意可知：d（0，0，0），c（1，0，0），b（0，0），c1（1，0，），则=（1，0，），=（0，0），=（0，0，），=（1，0），设平面bc1d和平面bcc1的法向量分别为：=（x，y，z），=（a，b，c），则，即，令x=，则：=（，0，1），即，令a=，则：=（，1，0），故二面角dbc1c的平面角的余弦值cos=点评：本题考察了线面平行判定定理的应用和二面角的作法和求法，解决二面角问题关键是要转化为向量夹角问题19等差数列an的前n项和为sn，已知a3=6，s5=s6（1）求an的通项公式；（2）若数列2n1an的前n项和为tn，求不等式tnn2n+1+1000的解集考点：数列的求和 专题：等差数列与等比数列分析：（1）根据条件求出公差即可求an的通项公式；（2）利用错位相减法进行求和，解不等式即可解答：解：（1）在等差数列中，s5=s6得a6=0，a3=6d=，则an的通项公式an=a6+（n6）d=2n12；（2）tn=（10）20+（8）21+（6）22+（2n14）2n2+（2n12）2n1，2tn=（10）21+（8）22+（6）23+（2n14）2n1+（2n12）2n，得tn=（10）+2（21+22+2n1）（2n12）2n=10（2n12）2n=14（n7）2n+1，则tn=14+（n7）2n+1，故不等式tnn2n+1+1000等价为72n+1114，即2n+1，故不等式的解集为1，2，3点评：本题主要考查等差数列的通项公式的求解，以及利用错位相减法进行求和，考查学生的计算能力20已知圆c1：x2+y2=2，在圆c1上任取一点p，过点p作x轴的垂线段pq，q为垂足，点m满足=（1）（1）求点m的轨迹c2的方程；（2）过点（0，1）作直线l，l与c1交于a、b两点，l与c2交于c、d两点，求|ab|cd|的最大值考点：直线和圆的方程的应用；轨迹方程 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（1）设m（x0， y0），p（x，y），则q（x，0），由题意知，由此能求出点m的轨迹方程（2）当直线l斜率不存在时，|ab|cd|=4，当直线l斜率存在时，设l的方程为y=kx+1，将l：y=kx+1与c1：x2+y2=2联立，得（k2+1）x2+2kx1=0，由此利用根与系数的关系和弦长公式得|ab|=，同理|cd|=，由此能求出|ab|cd|的最大值为4解答：解：设m（x0，y0），p（x，y），则q（x，0），=（x0x，y0y），=（0，y），由题意知，解得，p在圆c1：x2+y2=2上，点m的轨迹方程为（2）当直线l斜率不存在时，|ab|=2，|cd|=2，则|ab|cd|=4，当直线l斜率存在时，设其斜率为k，则l的方程为y=kx+1，设a（x1，y1），b（x2，y2），将l：y=kx+1与c1：x2+y2=2联立，消去y，整理，得：（k2+1）x2+2kx1=0，由根与系数的关系，得：，=，同理，设c（x3，y3），d（x4，y4），将直线l：y=kx+1与c2：联立，消去y，整理，得：（2k2+1）x2+4kx=0，由根与系数的关系，得：，x3x4=0，|cd|=，|ab|cd|=8