时间序列复习2017.doc

考试题型：填空题2*5，计算题6*10，叙述题：1*10， 案例分析题 1*15，证明题 1*5熟悉书上基本知识点！计算题和案例分析主要分布在书上第三章、第四章和第五章，尤其是第三章。 以书上例子和课后习题为本！ 类似书上第9题 1. （10分）已知MA(2)模型：， （1）计算自相关系数； （2）计算偏相关系数；解：（1） 所以：， ， 所以：, , . （2）即，所以.当时，产生偏相关系数的相关序列为，相应Yule-Walker方程为：,所以.当时，产生偏相关系数的相关序列为，相应Yule-Walker方程为：,所以. 类似书上第3题 2. （10分）已知AR(2)模型为，.（1）计算偏相关系数;（2）.解（1）,所以：,对于模型其系数满足 ，所以: 和, 即,.当时, 产生偏相关系数的相关序列为, 相应Yule-Walker方程为:,所以,对于模型其偏相关系数具有以下特点:,所以，. (2) , ,，.因，.所以：. 3. 检验下列模型的平稳性与可逆性，其中为服从正态分布的白噪音。(1) (2) 解：AR（p）模型平稳性的特征根判别法要求所有特征根绝对值小于1,AR（1）模型平稳性的平稳域判别法要求,AR（2）模型平稳性的平稳域判别法要求：. (1) 特征方程为: , 由特征根判别法：非平稳； 或 ,平稳域判别法：非平稳。 又为AR模型，故可逆。 (2)， 所以模型非平稳； ， 所以模型不可逆， 综上，该模型非平稳、不可逆。 4、 设一元时间序列服从如下的AR(2) 模型 其中为服从正态分布的白噪音，试求：(1) 判断是否平稳的，说出理由。(2) 计算未来二期的预测值和预测误差的方差及预测值95%的预测区间（）(3) 计算一阶、二阶和三阶的自相关函数值解：(1) AR(2) 模型的滞后多项式为由，可得方程的两个根为， ，所以是平稳的序列。或者特征根方法。(2) 基于AR(2) 模型的预测公式知对应的预测误差为所以预测误差的方差为由，知预测值95%的预测区间分别为，即第11期和12期的预测值95%的预测区间分别为，(3) 根据已知的AR(2) 模型，可推出自相关函数满足，由，知，5、设一元时间序列服从如下的AR(2) 模型 其中为滞后算子，为服从正态分布的白噪音，试求(1) 如果AR(2) 模型用形式表示时，则系数为多少，并判断的平稳性，说出理由。(2) 计算未来二期的预测值和预测误差的方差及预测值95%的预测区间（）(3) 计算一阶、二阶和三阶的自相关函数值解：(1) 根据滞后算子的定义，我们有AR(2) 模型的滞后多项式为由，可得方程的两个根为， ，所以是平稳的序列。(1) 基于AR(2) 模型的预测公式知对应的预测误差为所以预测误差的方差为 由，知预测值95%的预测区间分别为，(2) 根据已知的AR(2) 模型，可推出自相关函数满足，由，知，6、设一元时间序列服从如下的ARMA(1,1) 模型 其中，为服从正态分布的白噪音，试求：(1) 判断是否平稳的，说出理由。(2) 把ARMA(1,1) 模型表示为的形式。(3) 给出下期的预测值，预测误差和误差的方差及预测值95%的预测区间（）。解：(1) ARMA(1,1) 模型的自回归滞后多项式为由，可得方程的1个根为 所以是平稳的序列。 (2) (3) 基于ARMA(1,1)模型的预测公式知由于 所以预测误差的方差为 由 知一步预测值95%的预测区间分别为即第101期的预测值95%的预测区间为 。7、 设一元时间序列满足如下方程其中为已知常数，为服从正态分布的白噪音，试求(1) 判断是否平稳的，说出理由。(2) 定义，判断是否平稳的，说出理由。(3) 计算的阶自协方差函数。(4) 计算与的自相关函数。解：(1) 根据关系式知所以知，期望为关于时间的函数，所以是非平稳的序列。(2) 由的定义知，所以平稳。(3) 根据知(4) 显然 ，对，。8、考虑一强平稳的ARCH(1)过程如下 和 其中为服从分布的白噪音，常数，记，试计算：(1) ；(2) 对，；(3) 把表示 AR(1) 模型的形式；(4) 。解：(1) 根据强平稳性，对上述方程两边取期望，并利用和的独立性知：，可推出： 。(2) 当时， 的条件方差为： ，记，所以，一般地有。其中。(3) 记，则有：由即知：这为AR(1)模型的表示形式。(4) 由为服从分布的白噪音知，而 ，所以 。9、考虑一强平稳的GARCH(1，1) 过程如下： 和 其中为服从分布的白噪音，常数，记 ，试计算：(1) ；(2) 对，；(3) 把表示ARMA模型的形式；(4) 。解：(1) 根据强平稳性，对上述方程两边取期望，并利用和的独立性知可推出。(2) 当时，的条件方差为，记，为服从分布的随机数所以，一般地有其中，。 (3) 记，则有由即知这即为ARMA(1，1)模型的表示形式。(4) 由为服从分布的白噪音知，而所以10. 使用指数平滑法得到，已知序列观察值，求指数平滑系数。（5分）解： 得（舍去） 即平滑系数为0.411. 某一观察值序列最后4期的观察值为：5，5.4，5.8，6.2,使用4期移动平均法预测。解：使用4期移动平均法预测12试推导一般ARMA（1，1）模型的传递形式和逆转形式；并进而给出ARMA（1，1）模型为：的传递形式与逆转形式。解：（1）ARMA（1，1）模型 的传递形式： 代入 ，得（2）ARMA（1，1）模型的逆转形式： 代入 ，得。13.下表是某序列季节指数计算表，请在空白处填上准确结果。叙述题：1. 简述强平稳时间序列和弱平稳时间序列的概念和关系。答：满足如下条件的时间序列 称为强平稳序列对任意的正整数，任意的，及任意的，有即有限维分布关于时间平移不变。 满足如下条件的时间序列称为弱平稳序列1) 2) ，为常数，3) ，通常情况下，强平稳（2阶矩存在）能推出弱平稳成立，而弱平稳序列不能反推强平稳。2阶矩不存在的强平稳序列不满足弱平稳条件，而当时间序列服从多元正态分布时，弱平稳时间序列可以推出强平稳。2. 叙述时间序列建模的思想和一般方法。答：任何时间序列数据都有自己的生成机制，但是如何揭示和描述时间序列的数据生成机制呢？这需要利用时间序列模型对数据生成机制进行逼近或者近似，这就需要寻求建立时间序列模型的基本过程。(1) 建立模型一个基本出发点是，所采用的模型越节俭越好，所要估计的参数越多，模型出现错误的可能性就越大。(2) 即使一个复杂的模型描述和模拟历史数据的能力很好，但是有时进行预测时的误差却很大。一般步骤为：(3) 如果有必要，可以对数据进行变化，使得数据的协方差平稳性变得合理。(4) 对于描述平稳性数据的模型的阶数做出一个初始的数值比较小的猜测。(5) 估计自回归和移动平均算子多项式中的系数。(6) 对模型进行诊断分析以确定所得到的模型确实与观测到的数据具有类似的特征。其中数据变化主要根据经济时间序列的特征，对数序列的差分是非常常用的变换方法。时间序列模型的诊断是模型修正的手段。3写出ARIMA(p, d, q)模型，并叙述建模步骤。（能用自己的语言组织起来）解：ARIMA模型建模步骤如下 4. 单位根检验的原理是什么？请列举常见的单位根检验方法有哪些？答： 由于虚假回归问题的存在，我们在进行动态回归模型拟合时，需要检验序列的平稳性。又由于图检验法的主观性过强，故我们引入单位根检验。单位根检验是指检验特征方程的特征根在单位圆内，还是在单位圆上（外），来判断序列是否平稳的检验。原假设： 序列是不平稳的，即 备择假设：序列是平稳的，即 常见的单位根检验方法有：(1) DF检验针对AR(1)模型；(2) ADF检验DF检验的进一步修正，适用于AR(p) （p1）模型；(3) PP检验适用于异方差的情形，而ADF检验只适用于方差齐性的条件下。 5GARCH(p, q) 模型的表达式，并说明它们的基本假设。6. X11季节调整模型的计算过程（加法模型和乘法模型）。证明题：1、 在时间序列分析中，使得预测均方误差达到最小的预测是给定时，对的条件数学期望，即：。证明：假设基于对的任意预测值为：则此预测的均方误差为：对上式均方误差进行分解，可以得到：其中交叉项的数学期望为(利用数学期望的叠代法则)：因此均方误差为：为了使得均方误差达到最小，则有：此时最优预测的均方误差为：3. 证明题：（1）对于任意常数c，如下定义的无穷阶MA序列一定是非平稳序列：（10分）（2）的一阶差分序列一定是平稳序列。证明：（1）所以序列是非平稳序列。（2）所以一阶差分序列是平稳序列。案例分析题1: 1. 某时间序列的时序图如图2，可知其不平稳，为了使其平稳化，需对序列怎么处理？2. 图3为经过处理的平稳序列的时序图，可见其是平稳的。该平稳序列的自相关系数图如图4所示，对该序列进行纯随机性检验。3. 观察该平稳序列的自相关图（图4）和偏自相关图（图5），试判断应该用什么模型拟合该平稳序列。图2：序列时序图图3：序列时序图Autocorrelations: Y Auto- Stand.Lag Corr. Err. -1 -.75 -.5 -.25 0 .25 .5 .75 1 Box-Ljung Prob. 1 .538 .160 . *.* 11.304 .001 2 .208 .158 . * . 13.039 .001 3 .090 .155 . * . 13.376 .004 4 -.142 .153 . * . 14.242 .007 5 -.101 .151 . * . 14.694 .012 6 -.118 .148 . * . 15.330 .018 7 -.148 .146 . * . 16.361 .022 8 .091 .143 . * . 16.764 .033 9 .166 .140 . * . 18.156 .033 10 -.012 .138 . * . 18.163 .052 11 -.031 .135 . * . 18.217 .077 12 -.045 .132 . * . 18.331 .106 13 -.084 .130 . * . 18.752 .131 Plot Symbols: Autocorrelations * Two Standard Error Limits 图4：序列自相关图Partial Autocorrelations: Y Pr-Aut- Stand.Lag Corr. Err. -1 -.75 -.5 -.25 0 .25 .5 .75 1 1 .538 .167 . *.* 2 -.115 .167 . * . 3 .039 .167 . * . 4 -.670 .167 *.* . 5 .162 .167 . * . 6 -.178 .167 . * . 7 .031 .167 . * . 8 .610 .167 . *.* 9 .029 .167 . * . 10 -.258 .167 . * . 11 .044 .167 . * . 12 .043 .167 . * . 13 -.039 .167 . * . 14 -.156 .167 . * . 15 .219 .167 . * . 16 .009 .167 . * .Plot Symbols: Autocorrelations * Two Standard Error Limits 图5：序列偏自相关图4.利用最小二乘法估计该模型参数，估计结果如表2，试根据以下软件输出结果分别写出和的估计结果（即模型）。表2：Dependent Variable: yMethod: Least SquaresVariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C5.0154432.1295022.3552180.0244MA(1)0.7078730.1264985.5959370.00005. 残差的纯随机性检验结果如表3，试进行模型有效性检验和参数显著性检验。表3：残差的纯随机性检验残差自相关系数延迟阶数Q统计量P值63.64580.601127.86980.7251811.0510.8546. 给出序列所拟合模型的名称（如ARMA(p,q)等，指明各个参数的值及含义）解答：1. 答：由于原序列呈现出线性递增趋势，故适合用一阶差分运算使其平稳化。 2. 解：由于根据延迟1到3期自相关系数计算的LB统计量的p值全部小于0.05，所以拒绝纯随机检验原假设，接受备择假设，即，序列为非纯随机序列，其中含有可提取的信息。 3. 答：序列的自相关系数（图4）一阶截尾，偏自相关系数（图5）呈拖尾，故应该选择MA(1)模型拟合该序列。4.解： 5.解：（1）模型的有效性检验由于模型残差自相关系数延迟6、12、18期Q统计量的p值均大于0.05，即接受纯随机性的原假设，认为残差序列中没有信息，也即模型拟合有效。 （2）参数显著性检验，由表2可见，两参数t检验p值均小于0.05，故参数显著。 6.解：对拟合的是ARIMA（0,1,1）模型，其中p=0,表示自回归阶数；q=1,移动平均阶数为1；I=1，表示对做一阶差分后拟合MA（1）模型。 案例分析题2:1. 下面是用SAS程序得到的一列序列的样本自相关函数，请判断它是几阶截尾的，根据它可以判定该数据可以用什么模型拟合？ Autocorrelations Lag Covariance Correlation -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Std Error 0 139.798 1.00000 | |*| 1 -54.504114 -.38988 | *| . | 2 42.553609 0.30439 | . |* | 3 -23.144178 -.16555 | . *| . | 4 9.886402 0.07072 | . |* . | 5 -13.565875 -.09704 | . *| . | 6 -6.578560 -.04706 | . *| . | 7 4.945082 0.03537 | . |* . | 8 -6.075359 -.04346 | . *| . | 9 -0.670493 -.00480 | . | . | 10 2.012128 0.01439 | . | . | 11 15.366178 0.10992 | . |* . | 12 -9.615079 -.06878 | . *| . | 2下面是用SAS程序得到的一列序列的样本偏自相关函数，请判断它是几阶结尾的，根据它可以判定该数据可以用什么模型拟合？ Partial Autocorrelations Lag Correlation -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 -0.38988 | *| . | 2 0.17971 | . |*. | 3 0.00226 | . | . | 4 -0.04428 | . *| . | 5 -0.06941 | . *| . | 6 -0.12062 | . *| . | 7 0.01968 | . | . | 8 0.00489 | . | . | 9 -0.05650 | . *| . | 10 0.00371 | . | . | 11 0.14280 | . |* . | 12 -0.00941 | . | . |3. 一个序列，我们拟合了两个模型。一个是AR（1），它的AIC=535.7896，SBC=540.2866；另一个模型是AR（2），它的AIC=535.5254，SBC=542.2709。若用AIC作为信息准则，则需要选择什么模型？若用SBC作为准则，又需要选择什么模型？4. 一列时间序列数据，我们拟合模型后，得到残差序列的白噪声检验结果如下： Autocorrelation Check of Residuals To Chi- Pr Lag Square DF Chi