湖南省长郡中学高三数学月考试题（一）理 湘教版(1).doc

长郡中学2015届高三月考试卷(一)数 学(理科)总分:150分 时量:120分钟一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将所选答案填在答题卡中对应位置.1.如果复数(其中为虚数单位,为实数)的实部和虚部互为相反数,那么= ( )a. b. c. d. 2 【解】选c.直接法 由,依题有,即.2.用简单随机抽样的方法从含有100个个体的总体中依次抽取一个容量为5的样本,则个体被抽到的概率为( )a. b. c. d. 【解】选b.直接法 由抽样的公平性可知,每个个体入样的概率均为.3.设偶函数满足,则( ) a. b. c. d. 【解】选c.直接法 当时,由,得,由图象对称性可知选c.4.若展开式中的所有二项式系数之和为512,则该开式中常数项为( )a. b. 84 c. d. 36【解】选b.直接法 由二项式系数之和为,即,又令,则故常数项为.5.设条件,条件,其中为正常数.若是的必要不充分条件,则 的取值范围是( )输出y否是x4?x=x+1结束开始输入x a. b. c. d. 【解】选a.直接法 由条件对应的集合为,条件对应.且依题意,可知,又,故.6.按照如图所示的程序运行,已知输入的的值为,则输出的值为( )a. b. c. d. 【解】选a.直接法 由于输入的初始值为,故 ,即.故选a.正视图112222侧视图俯视图7.已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示,则该几何体的体积为( ) a. b. c. d. 【解】选b.逆推法 由该几何体的三视图可以借用长方体将其还原为直观图如右所示,(由简到繁)由俯视图侧视图正视图直观图,其为四棱锥,所以,选b.8.设,若是的最小值,则的取值范围为( ) a. -1,2 b. -1,0 c. 1,2 d. 0,2【解】选d.直接法 当时,显然不是的最小值,当时,可知时, ,而当时,依题意,得, 所以即求.9.已知锐角是的一个内角,是三角形中各角的对应边,若,则下列各式正确的是( ) a. b. c. d. 【解】选c.直接法 由得,又为锐角,故, 于是,即.于是由余弦定理有, 即,解得,选c.【一点开心】事实上在中,如果三边成等差或等比数列,即,apmhox 那么我们都可以结合重要不等式知识得到.本题考查的是其逆向问题.10.如图,圆的半径为1,是圆上的定点,是圆上的动点,角的始边为射线,终边为射线,过点作直线的垂线,垂足为,将点到直线的距离表示xoa1pyxob1pyxoc1pyxod1py为的函数,则在上的图象大致为( )2b2acdp11【解】选c.等面积法 由,于是,由三角函数线有, ,于是的最大值为,故选c.二、填空题:本大题共5小题,共25分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.11.已知直线的极坐标方程为,则极点到直线的距离为 .【解】填.直接法 由化为直角坐标方程为,于是极点到该直线的距离为,即求.12.设均为正数,满足,则的最小值是 .【解】填 3 .综合法 由可化为,得,其中运用了重要不等式的变形式,故(当时取等号).13.数列的前项和为,若,则 .【解】填.注意:若填为形式则视为错误,得分为0. 直接法 由,可推出, -式得,于是,故.【反思总结】你这次做到(到位)注意定义域了吗?cab1oy=1-xxyy=2x-2214.若满足约束条件,且取得最小值的点有无数个,则 .【解】填 1或-2 .综合-分析法 首先作出可行域如右图: 又目标函数,依题意,所以当,即时,依题意有目标直线时,当其运动至与重合时,最优解有无数个,符合题意,即,即;同理当,即时,必有,即,即,综上可知,或 为所求. ambdoyx15.已知椭圆的离心率为,过椭圆上一点作直线分别交椭圆于两点,且斜率为,若点 关于原点对称,则的值为 .【解】填.综合法 由,得,如右图所示, 取中点,连结,则由代点求差公式几何意义知, ,又,故,即【一点开心】显然,本题有一般性结论,即过椭圆的中心的任一条直线 交椭圆于两点,是椭圆上异于的任意一点,且当都存在时,则有.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分) 2014年巴西世界杯的志愿者中有这样一组志愿者:有几个人只通晓英语,还有几个人只通晓俄语,剩下的人只通晓法语,已知从中任抽一人恰是通晓英语的概率为,恰是通晓俄语的人的概率为,且通晓法语的人数不超过3人.()求这组志愿者的人数;()现从这组志愿者中选出通晓英语、俄语和法语的志愿者各1人,若甲通晓俄语,乙通晓法语,求甲和乙不全被选中的概率;()现从这组志愿者中抽取3人,求3人所会的语种数的分布列.【解】()设通晓英语、俄语、法语人分别有人,且;则依题意有,即2分 消去得,当且仅当时,符合正整数条件,所以,也即这组志愿者有10人;3分()记事件为“甲、乙不全被选中”,则的对立事件表示“甲、乙全被选中”, 于是;7分()随机变量的可能取值为1,2,3,且由古典概型知.11分所以随机变量的分布列如下:123.12分aopqbxy17.(本小题满分12分)如图,点是单位圆与轴的正半轴的交点,点.()若,求;()设点为单位圆上的动点,点满足 ,求的取值范围.【解】()由三角函数定义可知,所以,即求5分()由三角函数定义知,所以所以,又因,故,即,于是,所以的取值范围是.12分acdbc1a1b118.(本小题满分12分)直三棱柱中,点在上.()若是中点,求证:平面;()当时,求二面角的余弦值.acdbc1a1b1e【解】()连接交于点,连接, 因为直三棱柱中侧面为矩形,所以 为的中点,又是中点, 于是,且面,面, 所以平面;6分()由知,即, 又直三棱柱中面,于是以为原点建立空间yxzacdbc1a1b1 直角坐标系如右图所示,于是, 又,由平面几何易知, 显然平面的一个法向量为,又设平面的一个法向量为,则由,得,解得,取,则,设二面角的平面角为,则,又由图知为锐角,所以其余弦值为.12分19.(本小题满分13分)在数列中,已知.()求证:是等比数列;()令为数列的前项和,求的表达式.【解】()证明:由可得所以数列以是-2为首项,以2为公比的等比数列6分() 由()得:,所以,所以令,则,两式相减得,所以,即13分20.(本小题满分13分)已知椭圆的一个顶点为,焦点在轴上.若右焦点到直线的距离为3.()求椭圆的方程;()设椭圆与直线相交于不同的两点.当时,求的取值范围.【解】()依题意可设椭圆方程为,右焦点,由题设,得,故;故椭圆的方程为5分()如右图所示,设,的中点为,几何条件转化,化归为韦达定理形式!则由可知,即,可化为,且 8分常规运算,注意判别式大于0是韦达定理存在的前提!又由得则得axnmypo且,得10分式代入式得,化简得,得,又代入式得,解得,综上可得,即为所求.13分21.(本小题满分13分)已知函数.()求函数的单调区间;()若函数的图象在点处的切线的倾斜角为,对于任意的,函数在区间上总不是单调函数,求的取值范围;()求证:.【解】()由,.1分当时,显然时,当时,所以此时的单调递增区间为,递减区间为,同理当时, 的单调递增区间为,递减区间为,当时,不是单调函数;.4分()由题知,得,所以. 所以,且,6分 令时,可知恒成立,即一定有两个不等实根, 且注意到,所以不妨设,又,