高中数学 第2章 平面向量 2.4 向量的数量积优化训练 苏教版必修4.doc

2.4 向量的数量积5分钟训练（预习类训练,可用于课前）1.判断正误，并简要说明理由.a0=0；0a=0；0-=；|ab|=|a|b|；若a0，则对任一非零向量b有ab0；ab=0，则a与b中至少有一个为0；a与b是两个单位向量，则a2=b2.解:上述7个命题中只有正确:对于:两个向量的数量积是一个实数，应有0a=0；对于:应有0a=0；对于:由数量积定义，有|ab|=|a|b|cos|a|b|，这里是a与b的夹角，只有=0或=时，才有|ab|=|a|b|；对于:若非零向量a、b垂直，有ab=0；对于:由ab=0可知ab，可以都非零.2.(湖北)已知a、b、c为非零的平面向量.甲:abac;乙:bc，则( )a.甲是乙的充分条件但不是必要条件b.甲是乙的必要条件但不是充分条件c.甲是乙的充要条件d.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件思路解析:b=c,两边同乘以不为0的向量a,则有ab=ac.由ab=ac,可得a(b-c).说明b=c或者是向量a垂直于向量b-c.答案:b10分钟训练（强化类训练,可用于课中）1.(重庆)设向量a=(-1，2)，b=(2，-1)，则(ab)(a+b)等于( )a.(1，1) b.(-4，-4) c.-4 d.(-2，-2)思路解析:(ab)(a+b)=-12+2(-1)(-1+2,2-1)=-4(1,1)=(-4，-4).答案:b2.(江西)已知向量a=(1,2),b=(-2,-4),|c|=,若(a+b)c=,则a与c的夹角为( )a.30 b.60 c.120 d.150思路解析:本题考查平面向量的运算及向量的夹角公式.设a、b的夹角为,则cos=,0,.(1)当为锐角,有ab0且ab1.(2)当为钝角,有ab0且ab-1.(3)当=0,a、b共线且方向相同.(4)当=时,ab=0.设c=(x,y)，则(a+b)c=(-1,-2)(x,y)=-x-2y=，又|c|=,所以ac=x+2y=|a|c|cos，得cos=-，=120，选c.答案:c3.已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|a+3b|等于( )a. b.c. d.4思路解析:|a+3b|2=(a+3b)2=a2+6ab+9b2=|a|2+6|a|b|cos60+9|b|2=13.|a+3b|=.答案:c4.已知a、b是非零向量且满足(a-2b)a，(b-2a)b，则a与b的夹角是( )a. b.c. d.思路解析:由(a-2b)a,(b-2a)b,(a-2b)a=0，(b-2a)b=0.a2=2ab,b2=2ab.2|a|b|cos=|a|2且|a|2=|b|2.cos=.=.答案:b5.给出下列命题:在abc中，若0，则abc是钝角三角形；abc是直角三角形=0；abc是斜三角形的必要不充分条件是0.其中，正确命题的序号是_.思路解析:利用数量积的符号，可以判断向量的夹角是锐角、直角，还是钝角.0，b是锐角，但并不能断定其余的两个角也是锐角.推不出abc是锐角三角形.故命题是假命题.0，=-0.a是钝角，因而abc是钝角三角形.故命题是真命题.abc是直角三角形，其直角可以是a，也可以是b、c,因=0仅能保证b是直角,故命题是假命题.一方面，当abc是斜三角形时，其三个内角均不是直角，故0；另一方面，由0只能得出b不是直角，但a或c中可能有一个直角.故命题是真命题.答案:6.(2005 福建)在abc中，a=90，=(k,1), =(2,3),则k的值是_.思路解析:a=90，所以,k2+13=0.答案:-7.平面向量a、b中，已知a(4，-3)，|b|1，且ab5，则向量b_.思路解析:设向量b=(x,y).ab=(4,-3)(x,y)=4x-3y=5, 又|b|=1，所以=1. 由得x=,y=-.答案:(,-)8.在直角坐标系xoy中，已知点p(2cosx+1，2cos2x+2)和点q(cosx，-1)，其中x0，.若向量与垂直，求x的值.解:由，得cosx(2cosx+1)-(2cos2x+2)=0，利用cos2x=2cos2x-1，化简后得2cos2x-cosx=0，于是cosx=0或cosx=，x0,，x=或.志鸿教育乐园童言童语 一年级的老师教小朋友认识家禽动物。 老师：“有一种动物两只脚，每天早上太阳公公出来时，它都会叫你起床，而且叫到你起床为止，是哪一种动物？” 小朋友：“妈妈！”30分钟训练（巩固类训练,可用于课后）1.已知向量a、b，ab=-40，|a|=10，|b|=8，则向量a、b的夹角为( )a.60 b.-60 c.120 d.-120思路解析:根据公式ab=|a|b|cos，得cos=，由此可求两向量的夹角为120.答案:c2.若e1、e2是两个互相平行的单位向量，则下列判断正确的是( )a.e1e2=1 b.e1e2=-1 c.e1e2=1 d.|e1e2|0,有(-)2+(2)2=()2b=(-3，6).方法二:由题意可知，向量a、b共线且方向相反.故可由方向相反排除b、c；由共线可知b=-3a.答案:a5.(2005 浙江)已知向量ae，|e|1，对任意tr，恒有|a-te|a-e|，则( )a.ae b.a(a-e) c.e(a-e) d.(a+e)(a-e)思路解析:因为tr，恒有|a-te|a-e|,等价于|a-te|2|a-e|2恒成立，即(a-te)2(a-e)2,展开整理得t2-2aet+(2ae-1)0对任意tr均成立.则需要判别式=(-2ae)2-4(2ae-1)0,即(ae-1)20.所以ae=1.所以e(a-e)=ea-e2=1-1=0.所以e(a-e).答案:c6.(2005 福建)在abc中，a=90，=(k,1)，=(2,3)，则k的值是( )a.5 b.-5 c. d.-思路解析:=(k,1)，=(2,3)，所以=-=(2-k,2).又rtabc中，所以=0,即(2，3)(2-k,2)=0，即k=5.答案:a7.(2005 湖北)已知向量a=(-2,2),b=(5,k).若|a+b|不超过5，则k的取值范围是_.思路解析:a=(-2,2),b=(5,k).所以a+b=(3,2+k).因为|a+b|5，所以(a+b)2=32+(2+k)225.所以-6k2.答案:-6k28.(2005 湖南)已知直线ax+by+c0与圆o:x2+y21相交于a、b两点，且|ab|，则_.思路解析:如图,|ab|=,在rtoac中,=,oa=1,则aob=120.所以=11cos120=-.答案:-9.(2005 江苏)在abc中，o为中线am上的一个动点，若am2，则oa(ob+oc)的最小值是_.思路解析:本题考查了向量与解析几何知识交汇问题,可利用向量的性质,结合均值不等式知识综合求解;或者选取特殊三角形,把向量式转化为二次函数关系式,利用二次函数求出其最小值.方法一:如图, (+oc)=2=-2|-2|=-2()2=-2,即(+)的最小值为-2.方法二:选取如图等腰rtabc,由斜边上的中线am=2,则a(0,0),b(,0),c(0,),m().设o(x,y)(且x=y,x0,),则(+)=(-x,-y)(-x,-y)+(-x,-y)=(-x,-y)(-2x,-2y)=2x2-x+2y2-y(由x=y得)=4x2-x.设f(x)=4x2-x,x0,结合二次函数图象知,当x=时,f(x)min=4-=2-4=-2.答案:-210.已知点a(1，-2)，若向量与a(2，3)同向，|=2，则点b的坐标为_.思路解析:设b(x,y).因为与a=(2，3)同向，所以. |=2. 由解出x=5,y=4.答案:(5,4)11.如图2-4-1，在rtabc中，已知bca，若长为2a的线段pq以点a为中点，问与的夹角取何值时的值最大？并求出这个最大值.图2-4-1思路解析:本题主要考查向量的概念、平面向量的运算法则，考查运用向量及函数知识的能力.解法一:,=0.=-,=-,=-,=(-)(-)=-+=-a2-+=-a2-(-)=-a2+=-a2+=-a2+a2cos.故当cos=1,即=0(与方向相同)时,最大,其最大值为0.解法二:以直角顶点a为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系.设|ab|=c,|ac|=b,则a(0,0)、b(c