复变函数与积分变换7.doc

习题七解答A类1求下列函数的傅氏积分公式（1）（2）（3）解 （1）函数满足傅氏积分定理的条件，傅氏积分公式为（2）满足傅氏积分定理的条件，其傅氏积分公式为（3）函数。满足傅氏积分定理的条件，其傅氏积分公式为在的间断点处以代替。2求证如果满足傅氏积分定理条件，当为奇函数时，则有其中当为偶函数时，则有其中证 设是奇函数。（是的奇函数）设是偶函数是的偶函数。3利用习题2的结论，设，试算出，并推证证 是偶函数所以4、求下列函数的傅里叶变换。（1）（2）（3）（4）（此函数称为高斯（Gauss）分布函数）解（1）（2） （3）（4）教科书中P197，例7.2.3已解得钟形脉冲函数的傅氏变换为，本题中，所以= 5求下列函数的傅里叶变换，并推证下列积分结果。（1），证明（2）证明解（1）=的积分表达式为因此有（2）=的积分表达式为因此有6计算下列积分。（1） （2）（3） （4）解（1）（2）=（3）（4）=7求下列函数的傅氏变换（1）（2）（3）（4）。（5）（6）解（1）（2）（3）（4）（5）（6）=8试利用傅氏变换的性质求下列函数的傅氏变换。（1） E 0（2），（3）（4）（5）（6）解 （1）（2）利用留数理论计算上面积分。设被积函数，将扩充到复平面得为的一阶级点，不妨设，可知在上半平面，于是=（3）令，同教科书7.2.3解法得（4）（5）令 ，则而所以故有29利用能量积分公式，求下列积分的值。（1）； （2）； （3）； （4）解 能量积分公式为（1）=2 （*） （*）再根据教科书P138中例5.3.8的结果得所以由（*）式得因此由（*）式得（2）（3）（利用留数理论计算）故于是（4）10求下列函数的傅氏变换。（1）（2）（3）解 （1）=（2）=（3）根据位移性质再根据像函数的位移性质11、求下列函数与的卷积（1），。（2），。（3），解 （1）（2）（3） （*）当时，（*）式为=当时，（*）式为当时，（*）式为0.故有B类1求下列函数的傅里叶变换。（1）（2）解 （1） （2）=2求下列函数的傅里叶变换，并推证下列积分结果。（1），证明 （2）证明解（1）=的积分表达式为当时，令得（2）=的积分表达式为即3设，证明证 由弱收敛的定义=由积分中值定理，（）式为=因此.4、设其中证明 证 （*）由积分中值定理，存在使（*）式为因此有.5、设在上连续可微，求证 （）证 由导数的定义（即在上连续可微）于是6、对于实常数，求证证 在上n次连续可微。 因此得，当时，当时，总之当时，7、求证，证 由定义对任意在（）上n次连续可微的函数特别取，即得8、已知某函数的傅氏变换为求该函数。解 （*）由教科书例5.3.8知道狄利克积分得当当时，当时，9证明：如果 其中为一实函数，则其中为的共轭函数。证 因为所以 （*） （*）但由本题、式得10、已知，证明（翻转性质）证 =11利用对称性求下列函数所对应的（1）（2）解 由对称性质有（1） 因此结合位移性质=所以因此（2）所以有因此有12、证明下列各式.（1）.（2）证 （1）（2）因此有13、求下列函数的傅氏变换.（1）（2）.（3）解（1）（2）由位移性质及得再由像函数的位移性质(3)由微分性质得再由像函数的位移性质得14.已知某波形的相关函数,求这个波形的能量谱密度.解 波形的能量谱密度15.证明周期为T的非正弦函数的频谱函数为其中,为的傅氏级数展开式中的系数.证 设,则周期为T的非正弦函数的傅氏级数的复指数形式为:16.求出的频谱函数,并画出它的频谱图.解 信号的频谱函数即为的傅氏变换所以(不妨设)= (*)由本章B类,8题的讨论,（*）为其频谱图如图所示的图形17.求如图所示的锯齿形波的频谱函数,并画出它的频谱图.-3T-3T-2T-TT2T3TOth解 如图可知,在一个周期T内的表达式为,它的傅氏级数的复指数形式为: 可见的傅氏系数为它的频谱为,其中234hAO这样对应不同的频率得出各次谱波的振幅,因此频谱图如图所示.18.利用傅氏变换,证明弦振动方程问题的解,由达郎贝尔公式给出解 将看作参数,记对方程两边取傅氏变换 (*)交换方程左边的求导与积分次序得利用傅氏变换微分性质方程右边为因此方程（*）变为将初始条件两边分别取傅氏变换由条件,得=由条件得若将看作参数,原定解问题变为下面的二阶常系数线性常微分方程的满足初始条件的定解问题:方程的特征方程为两根分别为,通解为由初始条件得解之得代入通解得最后通过傅氏逆变换求原解:19.求的三维傅氏变换.解 3而同理总之上式为20.计算函数的二维傅氏变换及其积分表达式.解 这里有同理因此有而习题八解答A类1用定义求下列函数的拉氏变换,并用查表的方法来验证结果.(1) (2) (3)(4) (5) (6)解 (1) & (2) &(3) &(4) &(5) &(6) &2求下列函数的拉氏变换.(1) (2)(3) (4)(5)解 （1） &（2） &（3）&（4） &（5）&3设是以为周期的函数,且在一个周期内的表达式为求&解 周期为T的函数的拉氏变换为&因此有&4求下列函数的拉氏变换式.（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9）（n为整数） （10）（11） （12）解（1）利用&，&（2）&（3）&4&（4）&（5）&（6）&=5&（7）&这里有&再利用位移性质得到.（8）同（7）利用&及位移性质&（9）利用&及位移性质得&（10）解法1由&解法2 由相似性质&由位移性质&（11）利用&及位移性质&（12）因为所以&5利用像函数的导数公式计算下列各式（1）求（2）求（3）求&解（1）利用公式&（2）由积分性质&再由像函数的微分公式&（3）&6利用像函数的积分公式计算下列各式（1）求.（2）求.（3）求.（4）求.解 利用公式&这里&因此&（1）&（2）&（3）&（4）&7利用拉氏变换的性质求下列函数的拉氏变换.（1）. （2）.（3） （4）.解（1）&（2）&（3）&（4）&8求下列函数的拉氏逆变换.（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）解（1）&（2）&（3）由&及位移性质&得&（4）&（5）&（6）&（7）&（8）&9设均满足拉氏变换存在定理的条件（若它们的增长指数均为）且&，则乘积的拉氏变换一定存在，且&其中证 由于均满足拉氏变换存在定理的条件以及增长指数均为，知乘积也一定满足拉氏变换存在的定理的条件且增长指数为根据拉氏存在定理的证明当时，&在上存在且一致收敛.由于而&10求下列函数的拉氏逆变换（像原函数），并用另一种方法加以验证.（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） （10）（1）解法1 &解法2 解法3 &（&）（2）解法1 &解法2 &=&（&（3）解法1 &解法2 &=&（4）解法1 &=&解法2 &（5）解法1 &解法2 &（6）解法1 &解法2 & （7）解法1 &解法2 & （8）解法1 &解法2 &（9）解法1 &解法2 （10）解法1 &=&解法2 &11.求下列函数的拉氏逆变换.（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） （10）（11） （12）（13） （14）（15） （16）解 （1）&（2）&（3）&（4）&（5）&（6）&（7）&（8）&）（9）&（10）&（11）&=&=&(12)&(13)&待定系数&12试求下列微分方程或微分方程组初值问题的解.（1）（2）.（3）.（4）.（5）（6）（7）（8）（9）（10） （常数）（11）（12）（13）（14）（15）解（1）设&将方程两边取拉氏变换得解之得取拉氏逆变换得&（2）对方程两边取拉氏变换，并考虑到初始条件，得整理后解出得再取拉氏逆变换得其解为&（3）对方程两边取拉氏变换，并代入初始条件，得解出得取拉氏逆变换，得，&（&）（4）方程两边取拉氏变换，并代入初始条件，得整理后，得取拉氏逆变换得&（5）对方程两边取拉氏变换，且代入初始条件得解出用待定系数法确定系数令得.令得代入上面方程得，再令得.令得，解得于是取拉氏逆变换得到原方程解&（6）对方程两边取拉氏变换，并利用初始条件得整理得即利用拉氏变换的性质可得&所以有（7）对方程两边取拉氏变换得整理得取拉氏逆变换并利用卷积定理得&（8）对方程两边取拉氏变换得部分分式用待定系数法得因此&而利用卷积定理&所以&=&（9）对方程两边取拉氏变换,并代入初始条件注意这里&所以原方程的解为&（10）方程两边取拉氏变换,得&+ 因此原方程的解为&(11)设&.对方程组两边取拉氏变换且代入初始条件,得整理后,得解之得对上述方程组两边取拉氏逆变换,得&因此原方程组的解为(12)对方程组两边取拉氏变换并代入初始条件,得整理后,得解之得取拉氏逆变换得到原方程组的解为&(13)对方程组两边取拉氏变换并代入初始条件,设&=&得整理后,解之得取拉氏逆变换得到原方程组的解为&即解为(14)方程组中每个方程两边取拉氏变换,得整理得解之得再取拉氏逆变换得到其解为&(15)对方程组中各方程两边取拉氏变换,得由后两个方程得代入第一个方程解得取拉氏逆变换得其解为&B类1.求下列各图所示周期函数的拉氏变换35246t b2b3b4btOb-1O1b2b3b4b5b-1a2a3a4a5atO1 t解 (1)由图易知是周期为的函数,且在一个周期内的表达式为由公式&(2)由图易知为阶梯函数,利用单位阶跃函数,可将表示为由拉氏变换的线性性质及延迟性质得&当时,有因此有&(3)由图可知是周期的周期函数,在一个周期内由公式&(4)由图易知,是周期为的周期函数,在一个周期内由公式&2.计算下列积分.(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7) (8)(9) (10)解 (1)由公式&得&(2)&(3)&(4)已知&因此（5）&(6)已知&再由微分性质&得&(8)&(9)已知&利用微分性质&（10）&3（1）已知&，试求的初值和值（2）已知&，试求的初值，并问能否用终值定理求出终值？解（1）由初值定理&由终值定理&（2）&又因为&有奇点在虚轴上，所以不能应用终值定理判断4分别求下列函数的逆变换之初值与终值。（1） （2）（3） （4）.解（1）（2）（3）（4）5求下列卷积。（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7）. （8）（9） （10）解 卷积定义:（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）当时，此时，当时因此，（10）当时，.此时当时，因此，6利用卷积定理证明&证 设于是&左边&右边7利用卷积定理证明&并求&证 设于是&左边& 右边设前面已证&但&8试求下列函数的拉氏逆变换.（1） （2）（3） （4）解（1）设于是&则由卷积定理&（2）设于是&(3)设于是&（4）设由（1）知&9试求下列积分方程的解（1）（2）其中解 将积分方程取拉氏变换并利用卷积定理，设&（1）&整理后得再取拉氏逆变换得到原方程的解&整理后，得再取拉氏逆变换得10.设在原处质量为m的一质点在t=0时，在方向上受到冲击力的作用，其中为常数，假定质点的初速度为零，求其运动规律.解 设t时刻质点为x轴正方向上点处，由题意质点运动的（瞬间）速度为,加速度为，且所以质点的运动规律满足微分方程：为解上面的微分，将方程两边取拉氏变换并代