辽宁省鞍山一中高三数学四模试卷 文（含解析）.doc

辽宁省鞍山一中2015届高考数学四模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，所给选项中只有一个正确）1复数在复平面上表示的点在第( )象限a一b二c三d四2命题“对任意的xr，x3x2+10”的否定是( )a不存在xr，x3x2+10b存在xr，x3x2+10c存在xr，x3x2+10d对任意的xr，x3x2+103在abc中，若点d满足，则=( )abcd4数列an的前n项和为sn，若，则s5等于( )a1bcd5直线y=3x绕原点逆时针旋转90，再向右平移1个单位，所得到的直线为( )abcy=3x3d6已知x（，0），cosx=，则tan2x=( )abcd7甲乙两位同学最近五次模考数学成绩茎叶图如图，则平均分数较高和成绩比较稳定的分别是( )a甲、甲b乙、甲c甲、乙d乙、乙8若kr，则“k3”是“方程=1表示双曲线”的( )a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件9执行程序框图，如果输入的t1，3，则输出的s属于( )a3，4b5，2c4，3d2，510已知m、n是不重合直线，、是不重合平面，则下列命题若、则；若m、n、m、n则；若、则；若、m则m；m、n则mn中，真命题个数是( )a0个b1个c2个d3个11已知点，o是坐标原点，点p（x，y）的坐标满足，设z为在上的投影，则z的取值范围是( )ab3，3cd12当直线y=kx与曲线y=e|lnx|x2|有3个公共点时，实数k的取值范围是( )a（1，+）b（1，+）c（0，1）d（0，1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13某几何体三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm）可得该几何体的体积是_（v柱体=sh）14椭圆x2+4y2=1的离心率为_15若不等式t2+at+10对恒成立，实数a的最小值是_16在曲线xy=1上，横坐标为的点为an，纵坐标为的点为bn，记坐标为（1，1）的点为m，pn（xn，yn）是anbnm的外心，tn是xn的前n项和，则tn=_三、解答题（本大题共8道小题，22、23、24题选做一道，多做按第一道记分，分值10分，其他5题每题12分共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17abc中内角a，b，c的对边分别为a，b，c，向量=（2sinb，），=（cos2b，1）且（1）求锐角b的大小；（2）如果b=2，求abc的面积sabc的最大值18如图，在正方体abcda1b1c1d1中，m、n、g分别是a1a，d1c，ad的中点求证：（1）mn平面abcd；（2）mn平面b1bg19某中学生物兴趣小组在学校生物园地种植了一批名贵树苗，为了解树苗的生长情况，从这批树苗中随机地测量了其中50棵树苗的高度（单位：厘米），并把这些高度列成了如下的频数分布表：分 组40，50）50，60）60，70）70，80）80，90）90，100频 数231415124（1）在这批树苗中任取一棵，其高度不低于80厘米的概率是多少？（2）这批树苗的平均高度大约是多少？（计算时用各组的中间值代替各组数据的平均值）；（3）为了进一步获得研究资料，若从40，50）组中移出一棵树苗，从90，100组中移出两棵树苗进行试验研究，则40，50）组中的树苗a和90，100组中的树苗c同时被移出的概率是多少？20设函数f（x）=x（xr），其中m0（1）当m=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线的斜率；（2）求函数f（x）的单调区间与极值；（3）已知函数f（x）有三个互不相同的零点0，x1，x2，且x1x2，若对任意的xx1，x2，f（x）f（1）恒成立，求m的取值范围21如图，设p是抛物线c1：x2=y上的动点过点p做圆c2：x2+（y+3）2=1的两条切线，交直线l：y=3于a，b两点（）求c2的圆心m到抛物线 c1准线的距离（）是否存在点p，使线段ab被抛物线c1在点p处的切线平分？若存在，求出点p的坐标；若不存在，请说明理由四、请在22、23、24题中选一道作答，多选按第一道计分，在答题纸上标清题号）几何证明选讲22如图，cd为abc外接圆的切线，e，f分别为弦ab与弦ac上的点，ab的延长线交直线cd于点d，且bcae=dcaf，b，e，f，c四点共圆（）证明：ca是abc外接圆的直径；（）若db=be=ea，求过b，e，f，c四点的圆的面积与abc外接圆面积的比值坐标系与参数方程23（理科加试）在极坐标系中，p是曲线=12sin上的动点，q是曲线上的动点，试求pq的最大值不等式选讲24设函数f（x）=|2x+1|x4|（1）求不等式f（x）2的解集；（2）求函数f（x）的最小值辽宁省鞍山一中2015届高考数学四模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，所给选项中只有一个正确）1复数在复平面上表示的点在第( )象限a一b二c三d四考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：根据复数的几何意义进行求解解答：解：=+i，故对应的点的坐标为（，），位于第二象限，故选：b点评：本题主要考查复数的几何意义，根据复数的基本运算进行求解即可2命题“对任意的xr，x3x2+10”的否定是( )a不存在xr，x3x2+10b存在xr，x3x2+10c存在xr，x3x2+10d对任意的xr，x3x2+10考点：命题的否定 分析：根据命题“对任意的xr，x3x2+10”是全称命题，其否定是对应的特称命题，从而得出答案解答：解：命题“对任意的xr，x3x2+10”是全称命题否定命题为：存在xr，x3x2+10故选c点评：本题主要考查全称命题与特称命题的相互转化要注意两点：1）全称命题变为特称命题；2）只对结论进行否定3在abc中，若点d满足，则=( )abcd考点：向量加减混合运算及其几何意义 分析：把向量用一组向量来表示，做法是从要求向量的起点出发，尽量沿着已知向量，走到要求向量的终点，把整个过程写下来，即为所求本题也可以根据d点把bc分成一比二的两部分入手解答：解：由，故选a点评：用一组向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题，好多问题都是以向量为载体的4数列an的前n项和为sn，若，则s5等于( )a1bcd考点：数列的求和 专题：等差数列与等比数列分析：利用“裂项求和”即可得出解答：解：，+=故选b点评：熟练掌握“裂项求和”的方法是解题的关键5直线y=3x绕原点逆时针旋转90，再向右平移1个单位，所得到的直线为( )abcy=3x3d考点：两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系 分析：先利用两直线垂直写出第一次方程，再由平移写出第二次方程解答：解：直线y=3x绕原点逆时针旋转90两直线互相垂直则该直线为，那么将向右平移1个单位得，即故选a点评：本题主要考查互相垂直的直线关系，同时考查直线平移问题6已知x（，0），cosx=，则tan2x=( )abcd考点：二倍角的正切 专题：计算题分析：由cosx的值及x的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinx的值，进而求出tanx的值，然后把所求的式子利用二倍角的正切函数公式变形后，将tanx的值代入即可求出值解答：解：由cosx=，x（，0），得到sinx=，所以tanx=，则tan2x=故选d点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的正切函数公式学生求sinx和tanx时注意利用x的范围判定其符合7甲乙两位同学最近五次模考数学成绩茎叶图如图，则平均分数较高和成绩比较稳定的分别是( )a甲、甲b乙、甲c甲、乙d乙、乙考点：茎叶图 专题：概率与统计分析：分别求出甲、乙两位同学某学科的连续五次考试成绩的平均数和方差，由此能求出结果解答：解：=（68+69+70+71+72）=70，s甲2=（6870）2+（6970）2+（7070）2+（7170）2+（7270）2=2，=（63+68+69+69+71）=68，s乙2=（6368）2+（6868）2+（6968）2+（6869）2+（7168）2=4，平均分数较高的是甲，成绩较为稳定的是甲故选a点评：本题考查平均数和方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意茎叶图的合理运用8若kr，则“k3”是“方程=1表示双曲线”的( )a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件考点：双曲线的标准方程 专题：压轴题分析：根据双曲线定义可知，要使方程表示双曲线k3和k+3同号，进而求得k的范围即可判断是什么条件解答：解：依题意：“方程=1表示双曲线”可知（k3）（k+3）0，求得k3或k3，则“k3”是“方程=1表示双曲线”的充分不必要条件故选a点评：本题主要考查了双曲线的标准方程解题时要注意讨论焦点在x轴和y轴两种情况9执行程序框图，如果输入的t1，3，则输出的s属于( )a3，4b5，2c4，3d2，5考点：程序框图；分段函数的解析式求法及其图象的作法 专题：图表型；算法和程序框图分析：本题考查的知识点是程序框图，分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算一个分段函数的函数值，由条件为t1我们可得，分段函数的分类标准，由分支结构中是否两条分支上对应的语句行，我们易得函数的解析式解答：解：由判断框中的条件为t1，可得：函数分为两段，即t1与t1，又由满足条件时函数的解析式为：s=3t；不满足条件时，即t1时，函数的解析式为：s=4tt2故分段函数的解析式为：s=，如果输入的t1，3，画出此分段函数在t1，3时的图象，则输出的s属于3，4故选a点评：要求条件结构对应的函数解析式，要分如下几个步骤：分析流程图的结构，分析条件结构是如何嵌套的，以确定函数所分的段数；根据判断框中的条件，设置分类标准；根据判断框的“是”与“否”分支对应的操作，分析函数各段的解析式；对前面的分类进行总结，写出分段函数的解析式10已知m、n是不重合直线，、是不重合平面，则下列命题若、则；若m、n、m、n则；若、则；若、m则m；m、n则mn中，真命题个数是( )a0个b1个c2个d3个考点：空间中直线与平面之间的位置关系 专题：空间位置关系与距离分析：根据空间直线和平面，平面和平面平行和垂直的判定定理和性质定理分别进行判断即可解答：解：垂直同一平面的两个平面不一定平行，故错误，若m、n、m、n，则当m，n相交时，当m，n不相交是，不成立，故错误，；若、，则成立，故正确；若、m，则m或m；故错误；根据垂直于同一平面的两条直线平行可得若m、n，则mn成立，故正确故真命题有2个，故选：c点评：本题主要考查与空间直线和平面位置关系的判断，根据相应的判定定理和性质定理是解决本题的关键11已知点，o是坐标原点，点p（x，y）的坐标满足，设z为在上的投影，则z的取值范围是( )ab3，3cd考点：简单线性规划 专题：常规题型分析：先根据约束条件画出可行域，设z=x+y，再利用z的几何意义求范围，只需求出向量和的夹角的余弦值的取值范围即可，从而得到z值即可解答：解：=，当时，=3，当时，=3，z的取值范围是3，3故选b点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础，纵观目标函数包括线性的与非线性，非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸，使得规划问题得以深化12当直线y=kx与曲线y=e|lnx|x2|有3个公共点时，实数k的取值范围是( )a（1，+）b（1，+）c（0，1）d（0，1考点：根的存在性及根的个数判断 专题：数形结合分析：要求满足条件直线y=kx与曲线y=e|lnx|x2|有3个公共点时，实数k的取值范围，我们可以画出直线y=kx与曲线y=e|lnx|x2|图象，有且仅有三个交点时实数k的取值解答：解：直线y=kx与曲线y=e|lnx|x2|的图象如图所示，由图可知直线y=kx与曲线y=e|lnx|x2|当a=1时，有且仅有两个交点，当0a1时时，直线y=kx与曲线y=e|lnx|x2|有3个公共点，实数k的取值范围是（0，1）故选c点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，画出函数的图象，进而利用图象法进行解答是解答本题的关键二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13某几何体三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm）可得该几何体的体积是6cm3（v柱体=sh）考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的大长方体挖去一个小长方体所得组合体，分别计算底面面积和高，代入柱体体积公式，可得答案解答：解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的大长方体挖去一个小长方体所得组合体，其底面面积s=2211=3cm2，高h=2cm，故柱体的体积v柱体=sh=6cm3，故答案为：6cm3点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状14椭圆x2+4y2=1的离心率为考点：椭圆的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由椭圆x2+4y2=1化为标准方程得，可得a2，b2再利用即可得出解答：解：椭圆x2+4y2=1化为标准方程得，a2=1，=故答案为：点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质，属于基础题15若不等式t2+at+10对恒成立，实数a的最小值是考点：函数恒成立问题 专题：函数的性质及应用分析：因为函数对恒成立，分离参数a，利用均值不等式即可求出最小值解答：解：若不等式t2+at+10对恒成立，则att21，所以，当且仅当t=2时取等号但是，所以根据函数得单调性，当t=时取最小值所以a的最小值为故答案为：点评：本题主要考查函数恒成立问题，利用均值不等式时取不到等号，要利用单调性来处理问题的方法，属于中档题16在曲线xy=1上，横坐标为的点为an，纵坐标为的点为bn，记坐标为（1，1）的点为m，pn（xn，yn）是anbnm的外心，tn是xn的前n项和，则tn=考点：数列的求和 专题：等差数列与等比数列分析：由已知可得an，bn，则线段anbn的垂直平分线为y=x可得线段anm的垂直平分线为：=，把y=x代入解得xn再利用“裂项求和”即可得出解答：解：由已知可得an，bn，则线段anbn的垂直平分线为y=x线段anm的垂直平分线为：=，把y=x代入解得xn=2+xn的前n项和tn=2n+=2n+=2n+=故答案为：点评：本题考查了线段的垂直平分线及其性质、三角形的外心、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题（本大题共8道小题，22、23、24题选做一道，多做按第一道记分，分值10分，其他5题每题12分共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17abc中内角a，b，c的对边分别为a，b，c，向量=（2sinb，），=（cos2b，1）且（1）求锐角b的大小；（2）如果b=2，求abc的面积sabc的最大值考点：二倍角的余弦；平行向量与共线向量；两角和与差的正弦函数 专题：解三角形分析：（1）由两向量的坐标，及两向量平行时满足的关系列出关系式，利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切后求出tan2b的值，由b为锐角，得到2b的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出b的度数；（2）由cosb的值及b的值，利用余弦定理列出关于a与c的关系式，利用基本不等式求出ac的最大值，再由sinb及ac的最大值，利用三角形的面积公式即可求出三角形abc面积的最大值解答：解：（1）=（2sinb，），=（cos2b， 2cos21），且，2sinb（2cos21）=cos2b，即2sinbcosb=sin2b=cos2b，tan2b=，b（0，），2b（0，），2b=，即b=；（2）b=，b=2，由余弦定理cosb=得：a2+c2ac4=0，又a2+c22ac，代入上式得：ac4（当且仅当a=c=2时等号成立），sabc=acsinb=ac（当且仅当a=c=2时等号成立），则sabc的最大值为点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：二倍角的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，基本不等式，余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键18如图，在正方体abcda1b1c1d1中，m、n、g分别是a1a，d1c，ad的中点求证：（1）mn平面abcd；（2）mn平面b1bg考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定 专题：证明题；综合题分析：（1）取cd的中点记为e，连接ne，ae，证明mnae，即可mn平面abcd；（2）证明aebg，bb1ae，即证明 ae平面b1bg，然后可得mn平面b1bg解答：证明：（1）取cd的中点记为e，连接ne，ae由n，e分别为cd1与cd的中点可得ned1d且ne=d1d，又amd1d且am=d1d，所以amen且am=en，即四边形amne为平行四边形，所以mnae，又ae平面abcd，所以mn平面abcd（2）由ag=de，bag=ade=90，da=ab可得edagab所以agb=aed，又dae+aed=90，所以dae+agb=90，所以aebg，又bb1ae，所以ae平面b1bg，又mnae，所以mn平面b1bg点评：本题考查直线与平面平行，直线与平面垂直，考查学生逻辑思维能力，是中档题19某中学生物兴趣小组在学校生物园地种植了一批名贵树苗，为了解树苗的生长情况，从这批树苗中随机地测量了其中50棵树苗的高度（单位：厘米），并把这些高度列成了如下的频数分布表：分 组40，50）50，60）60，70）70，80）80，90）90，100频 数231415124（1）在这批树苗中任取一棵，其高度不低于80厘米的概率是多少？（2）这批树苗的平均高度大约是多少？（计算时用各组的中间值代替各组数据的平均值）；（3）为了进一步获得研究资料，若从40，50）组中移出一棵树苗，从90，100组中移出两棵树苗进行试验研究，则40，50）组中的树苗a和90，100组中的树苗c同时被移出的概率是多少？考点：等可能事件的概率；众数、中位数、平均数；列举法计算基本事件数及事件发生的概率 专题：计算题分析：（1）根据题意，由频率分布表可得高度不低于80厘米的频数，进而由等可能事件的概率公式，计算可得答案；（2）首先计算出样本容量，进而由平均数的计算公式计算可得答案；（3）设40，50）组中的树苗为a、b，90，100组中的树苗为c、d、e、f，用列表法可得移出3棵树苗的基本事件的数目与a、c同时被移出的事件数目，有等可能事件的概率公式计算可得答案解答：解：（i）高度不低于80厘米的频数是12+4=16，高度不低于80厘米树苗的概率为（2）根据题意，样本容量即各组频数之和为2+3+14+15+12+4=50，则树苗的平均高度=cm；（3）设40，50）组中的树苗为a、b，90，100组中的树苗为c、d、e、f，则基本事件总数为12，它们是：acd、ace、acf、ade、adf、aef、bcd、bce、bcf、bde、bdf、bef，而满足a、c同时被移出的事件为acd、ace、acf共3种，树苗a和树苗c同时被移出的概率点评：本题考查频率分布表的应用，涉及等可能事件的概率的计算，注意从频率分布表中分析出要求的数据及信息20设函数f（x）=x（xr），其中m0（1）当m=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线的斜率；（2）求函数f（x）的单调区间与极值；（3）已知函数f（x）有三个互不相同的零点0，x1，x2，且x1x2，若对任意的xx1，x2，f（x）f（1）恒成立，求m的取值范围考点：导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值 专题：导数的综合应用分析：（1），易得函数在所求点的斜率（2）当f（x）0，函数单增，f（x）0时单减，令f（x）=0的点为极值点（3）由题意属于区间x1，x2的点的函数值均大于f（1），由此计算m的范围解答：解：（1）当，故f（1）=1+2=1，所以曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线的斜率为1（2）f（x）=x2+2x+m21，令f（x）=0，解得x=1m或x=1+mm0，所以1+m1m，当x变化时，f（x），f（x）的变化情况如下表： x （，1m）1m （1m，1+m） 1+m （1+m，+） f（x）0 + 0 f（x） 单调递减极小值 单调递增 极大值 单调递减f（x）在（，1m），（1+m，+）内是减函数，在（1m，1+m）内是增函数函数f（x）在x=1m处取得极小值f（1m），且f（1m）=，函数f（x）在x=1+m处取得极大值f（1+m），且f（1+m）=（3）由题设，方程有两个相异的实根x1，x2，故，m0解得m，x1x2，所以2x2x1+x2=3，故x2当x11x2时，f（1）=（1x1）（1x2）0，而f（x1）=0，不符合题意，当1x1x2时，对任意的xx1，x2，都有x0，xx10，xx20，则，又f（x1）=0，所以f（x）在x1，x2上的最小值为0，于是对任意的xx1，x2，f（x）f（1）恒成立的充要条件是f（1）=m20，解得，由上m，综上，m的取值范围是（，）点评：本题较为复杂，主要考查了直线的点斜式，函数的单调性及函数的极值问题，注意掌握知识点间的关系21如图，设p是抛物线c1：x2=y上的动点过点p做圆c2：x2+（y+3）2=1的两条切线，交直线l：y=3于a，b两点（）求c2的圆心m到抛物线 c1准线的距离（）是否存在点p，使线段ab被抛物线c1在点p处的切线平分？若存在，求出点p的坐标；若不存在，请说明理由考点：圆锥曲线的综合；抽象函数及其应用；直线与圆锥曲线的综合问题 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）先求出抛物线 c1准线的方程，再利用点到直线距离的求法求出c2的圆心m到抛物线 c1准线的距离即可（）先设抛物线 c1在点p处的切线交直线l于点d，线段ab被抛物线c1在点p处的切线平分即为xa+xb=2xd设出过点p做圆c2x2+（y+3）2=1的两条切线pa，pb，与直线y=3联立，分别求出a，b，d三点的横坐标，代入xa+xb=2xd看是否能解出点p，即可判断出是否存在点p，使线段ab被抛物线c1在点p处的切线平分解答：解：（）因为抛物线 c1准线的方程为：y=，所以圆心m到抛物线 c1准线的距离为：|（3）|=（）设点p的坐标为（x0，x02），抛物线 c1在点p处的切线交直线l与点d，因为：y=x2，所以：y=2x；再设a，b，d的横坐标分别为xa，xb，xd，过点p（x0，x02）的抛物线 c1的切线的斜率k=2x0过点p（x0，x02）的抛物线 c1的切线方程为：yx02=2x0（xx0） 当 x0=1时，过点p（1，1）且与圆c2相切的切线pa方程为：y1=（x1）可得xa=，xb=1，xd=1，xa+xb2xd当x0=1时，过点p（1，1）且与圆c2的相切的切线pb的方程为：y1=（x+1）可得xa=1，xb=，xd=1，xa+xb2xd所以x0210设切线pa，pb的斜率为k1，k2，则：pa：yx02=k1（xx0） pb：yx02=k2（xx0）将y=3分别代入，得（x00）；（k1，k20）从而又，即（x021）k122（x02+3）x0k1+（x02+3）21=0，同理（x021）k222（x02+3）x0k2+（x02+3）21=0，所以k1，k2是方程（x021）k22（x02+3）x0k+（x02+3）21=0的两个不等的根，从而k1+k2=，k1k2=，因为xa+xb=2xd所以2x0（3+x02）（）=，即=从而，进而得x04=8，综上所述，存在点p满足题意，点p的坐标为（，2）点评：本题是对椭圆与抛物线，以及直线与椭圆和抛物线位置关系的综合考查在圆锥曲线的三种常见曲线中，抛物线是最容易的，而双曲线是最复杂的，所以一般出大题时，要么是单独的椭圆与直线，要么是椭圆与抛物线，直线相结合这一类型题目，是大题中比较有难度的题四、请在22、23、24题中选一道作答，多选按第一道计分，在答题纸上标清题号）几何证明选讲22如图，cd为abc外接圆的切线，e，f分别为弦ab与弦ac上的点，ab的延长线交直线cd于点d，且bcae=dcaf，b，e，f，c四点共圆（）证明