辽宁省锦州市高三数学上学期期末考试试题（文理）.doc

2014-2015年度第一学期期末考试高三数学（文科）参考答案及评分标准 第i卷一、选择题： dbcdb bcdac ab第ii卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（13） （14）8 （15） （16） 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17) （本小题满分10分）已知数列an的前n项和为sn，且sn2an2(nn*)，数列bn满足b11，且点p(bn，bn1)(nn*)在直线yx2上(1)求数列an，bn的通项公式(2)求数列anbn的前n项和dn.【解】 (1)当n1时，a12，当n2时，ansnsn12an2an1，所以an2an1(n2)，所以an是等比数列，公比为2，首项a12，所以an2n，又点p(bn，bn1)(nn*)在直线yx2上，所以bn1bn2，所以bn是等差数列，公差为2，首项b11，所以bn2n1. 6分 (2)由(1)知anbn(2n1)2n，所以dn121322523724(2n3)2n1(2n1)2n，2dn122323524725(2n3)2n(2n1)2n1.得dn12122222322422n(2n1)2n122(2n1)2n1(32n)2n16，则dn(2n3)2n16. 12分(18)（本小题满分12分）己知向量，记. (i)若，求的值；( ii)在锐角abc中，角a，b，c的对边分别是a，b，c，且满足(,求函数的取值范围解：（）= = 因为，所以 4分 6分 （）因为 由正弦定理得 所以所以因为，所以，且所以 9分所以 10分又因为 11分故函数的取值范围是 12分(19)（本小题满分12分）己知斜三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧面为菱形，平面平面abc，m、n是ab,的中点(i)求证：cm/平面( ii)求证：bn；证明：（）取的中点，连接,.因为 ,分别是,的中点，所以 , 2分又因为 ,所以 且所以 四边形为平行四边形，所以 4分又因为 平面，平面，所以平面 6分（）取的中点,连结，.由题意知 ，又因为 平面平面， 所以 平面 8分因为 平面 所以因为 四边形为菱形，所以 又因为 , 所以 所以 平面， 又 平面 10分所以 12分 (20)（本小题满分12分）为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生20525女生101525合计302050 （1）用分层抽样的方法在喜欢打蓝球的学生中抽人，其中男生抽多少人？（2）在上述抽取的人中选人，求恰有一名女生的概率.17.解：（1）在喜欢打蓝球的学生中抽人，则抽取比例为男生应该抽取人 分（2）在上述抽取的6名学生中, 女生的有2人，男生4人。女生2人记；男生4人为， 则从6名学生任取2名的所有情况为:、共15种情况，8分其中恰有1名女生情况有：、，共8种情况， 10分故上述抽取的人中选人，恰有一名女生的概率概率为. 12分 (21)（本小题满分12分）如图，已知点为椭圆的右焦点，圆与椭圆的一个公共点为，且直线与圆相切于点.（）求的值及椭圆的标准方程；（）设动点满足，其中m、n是椭圆上的点，为原点，直线om与on的斜率之积为，求证：为定值. 解：（）由题意可知，又. 又. .2分在中， 故椭圆的标准方程为： .6分（）设, , m、n在椭圆上， 又直线om与on的斜率之积为， ， 10分于是 . 故为定值. .12分 （22）（本小题满分12分）已知函数f（x）=x2+2lnx与g(x)=x+有相同极值点(1) 求实数a的值；(2) 若x1 ，x2是区间2，3 内任意两个不同的数，求证：(3) 若对于任意x1 ，x2，3 ，不等式1恒成立，求实数k的取值范围解：（1）由 知当时；当时； 在上为增函数，在上为减函数 为函数的极大值点 2分又函数f（x）=x2+2lnx与g(x)=x+有相同极值点， 是函数的极值点， ，解得 经检验，当时，函数取到极小值，符合题意 4分（2）由（1）知函数在2，3 上单调递减，不妨设，令 6分则，因为在上单调递减，且当时，所以函数在2，3 上单调递增，所以问题得证。 8分（3） ， ， 即 ， ， 由（1）知， .当时，；当时， 故在为减函数，在上为增函数 ，而 , ， 当，即时，对于，不等式恒成立 ， ，又 ， 10分 当，即时，对于，不等式 ， 又， 综上，所求的实数的取值范围为 12分 2014-2015年度第一学期期末考试高三数学（理科）参考答案及评分标准 第i卷一、选择题： dbcdb bcdac ab第ii卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（13）5 （14）8 （15） （16） 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17) （本小题满分10分）已知数列an的前n项和为sn，且sn2an2(nn*)，数列bn满足b11，且点p(bn，bn1)(nn*)在直线yx2上(1)求数列an，bn的通项公式(2)求数列anbn的前n项和dn.【解】 (1)当n1时，a12，当n2时，ansnsn12an2an1，所以an2an1(n2)，所以an是等比数列，公比为2，首项a12，所以an2n，又点p(bn，bn1)(nn*)在直线yx2上，所以bn1bn2，所以bn是等差数列，公差为2，首项b11，所以bn2n1. 6分 (2)由(1)知anbn(2n1)2n，所以dn121322523724(2n3)2n1(2n1)2n，2dn122323524725(2n3)2n(2n1)2n1.得dn12122222322422n(2n1)2n122(2n1)2n1(32n)2n16，则dn(2n3)2n16. 12分(18)（本小题满分12分）己知向量，记. (i)若，求的值；( ii)在锐角abc中，角a，b，c的对边分别是a，b，c，且满足(,求函数的取值范围解：（）= = 因为，所以 4分 6分 （）因为 由正弦定理得 所以所以因为，所以，且所以 9分所以 10分又因为 11分故函数的取值范围是 12分(19)（本小题满分12分）如图，三棱柱中，侧棱平面，为等腰直角三角形，且分别是的中点.（）求证：平面；（）求锐二面角的余弦值. 【解析】（）连结，是等腰直角三角形斜边的中点，.又三棱柱为直三棱柱，面面，面，. -2分设，则.，. -4分又， 平面.-6分（）以为坐标原点，分别为轴建立直角坐标系如图，设，则，.-8分由（）知，平面，可取平面的法向量.设平面的法向量为，由可取.-10分设锐二面角的大小为，则.所求锐二面角的余弦值为.-12分 (20)（本小题满分12分）我国发布了新修订的环境空气质量标准指出空气质量指数在为优秀，各类人群可正常活动.某市环保局对该市2014年进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图. (1) 求的值； (2) 根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的平均值； （注：设样本数据第组的频率为，第组区间的中点值为，则样本数据的平均值为.）(3) 如果空气质量指数不超过，就认定空气质量为“特优等级”，则从这一年的监测数据中随机抽取天的数值，其中达到“特优等级”的天数为，求的分布列和数学期望. 解： (1)由题意，得， 解得. 4分（2）个样本中空气质量指数的平均值为 由样本估计总体，可估计这一年度空气质量指数的平均值约为. 8分（3）利用样本估计总体，该年度空气质量指数在内为“特优等级”，且指数达到“特优等级”的概率为，则. 的取值为， ， ，. 10分 的分布列为： . 12分 （或者 (21)（本小题满分12分）已知椭圆 的离心率为，过的左焦点的直线被圆截得的弦长为.（1）求椭圆的方程；（2）设的右焦点为，在圆上是否存在点，满足,若存在，指出有几个这样的点（不必求出点的坐标）;若不存在，说明理由.解：因为直线的方程为，令，得，即 1分 ，又， ， 椭圆的方程为.6分（2）存在点p，满足 圆心到直线的距离为，又直线被圆截得的弦长为，由垂径定理得，故圆的方程为.设圆上存在点，满足即，且的坐标为，则， 整理得，它表示圆心在，半径是的圆。 0分故有，即圆与圆相交，有两个公共点。圆上存在两个不同点，满足.2分 （22）（本小题满分12分）已知函数f（x）=x2+2lnx与g(x)=x+有相同极值点(1) 求实数a的值；(2) 若x1 ，x2是区间2，3 内任意两个不同的数，求证：(3) 若对于任意x1 ，x2，3 ，不等式1恒成立，求实数k的取值范围解：（1）由 知当时；当时； 在上为增函数，在上为减函数 为函数的极大值点 2分又函数f（x）=x2+2lnx与g(x)=x+有相同极值点， 是函数的极值点， ，解得 经检验，当时，函数取到极小值，符合题意 4分（2）由（1）知函数在2，3 上单调递减，不妨设，令 6分则，因为在上单调递减，且当时，所以函数在2，3 上单调递增，所以问题得证。 8分（3） ， ， 即 ， ， 由（1）知， .当时，；当时， 故在为减函数，在上为增函数 ，而 , ， 当，即时，对于，不等式恒成立 ， ，又 ， 10分 当，即时，对于，不等式 ， 又， 综上，所求的实数的取值范围为 12分 2014 2015 学 年 度 第 一 学 期 期 末 考 试 高 三 数 学（ 文 ） 注意事项：1.本试卷备有答题卡，请在答题卡上作答，否则无效。2.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。考试时间 120 分钟，试卷满分 150 分。 （球的表面积公式：s = 4r2 （其中 r 表示球的半径）3回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： b =n i =1n i =1i i- -第卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合 m =x|x2 -x0，n=x|x|2，则（a）m n= （b）m n=r （c）m n=m （d）m n=m（2）复数 z 满足 (z - i)i = 2 + i（i 为虚数单位），则 z =（a）-1 - i （b）1 - i （c）-1 + 3i （d）1 - 2if 2（a） b0 （b） b0 （c） b1 （d） b1（4）已知平面向量 a =(0, -1) ，b =(2,1) ，|a + b| = 2 ，则 =（a）1 + 2 （b） 2 - 1 （c）2 （d）1y 的统计数据如下表4 2 3 5根据上表可得回归方程 y = bx + a 中的 b 为 9.4，据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额为高三数学（文） 第 1 页 （共 4 页） （a）63.6 万元 （b）65.5 万元 （c）67.7 万元（6）一个几何体的三视图如图所示，且其左视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为(4 + ) 3(8 + ) 3(8 + ) 3（d）(4 + ) 3（7）执行如图所示的程序框图,若输入 n 的值为 7 ,则输出的 s的值为（a）11（b）15（c）16（d）22x + 2y - 5 0,（8）设 变 量 x，y 满 足 约 束 条 件 x - y - 2 0,-131则目标函数 1 1 （d）72.0 万元 主视图 左视图 2 俯视图z = 2x + 3y + 1 的最大值为17 1- x（a）(-1 , 0) （b） 0, 1) 2 y 2m n合，则 n 的值为（a） （b） c）12 （d）15（11）三棱锥 sabc 中，sbasca90 ，（abc 是斜边 aba 的等腰直角三角形，且sb=a，则以下结论中：异面直线 sb 与 ac 所成的角为 90；直线 sb平面 abc；平面 sbc平面 sac；三棱锥 sabc 外接球的表面积为 a2 .其中正确结论的序号是（a） （b） （c） （d）高三数学（文） 第 2 页 （共 4 页） 1 -(x - 1)2 ,0 x 2; f 248 25 25 27第卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分. 函 数 f（3）_.（14）等差数列an中，已知 a1-12，s130，使得 an0 的最小正整数 n 为_.f f f ff (x1) - f (x 2) ffff（ 那么实数 m 的取值范围是_三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分 10 分）（在 直 线 y x2 上（）求数列an，bn的通项公式；（）求数列anbn的前 n 项和 dn. （x x 2 x （）在锐角 abc 中，角 a，b，c 的对应的边分别是 a，b，c，且满足 (2a - c)cos b = b cos c ,求函数 f (a) 的取值范围高三数学（文） 第 3 页 （共 4 页） （己知斜三棱柱 abc - a1b1c1 的底面是边长为2 的正三角形，侧面 a1 acc1 为菱形，a1 ac = 60 ，平面 a1 acc1 平面 abc，m，n 是 ab, cc1 的中点（）求证：cm/平面 a1bn ；（）求证：a1c bn. a a1 b1 c n c1m（ b为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班 50 人进行了问卷调查得到了如下的列联表： 30 20 50（）用分层抽样的方法在喜欢打蓝球的学生中抽人，其中男生抽多少人？（）在上述抽取的人中选人，求恰有