辽宁省鞍山一中高三数学一模试卷 理（含解析）.doc

辽宁省鞍山市2015届高考数学一模试卷（理科）一、选择题：每小题5分，共60分1已知集合m=x|3x1，n=x|x3，则集合x|x1=( )amnbmncr（mn）dr（mn）2复数的虚部是( )abcd3已知递增等比数列an满足a3a7=6，a2+a8=5，则=( )abcd4已知空间中不共面的四点a，b，c，d及平面，下列说法正确的是( )a直线ab，cd可能平行b直线ab，cd可能相交c直线ab，cd可能都与平行d直线ab，cd可能都与垂直5命题“xr，使得x21”的否定是( )axr，都有x21bxr，都有x1或x1cxr，使得x21dxr，使得x216直线ax+by+a+b=0与圆x2+y2=2的位置关系为( )a相交b相切c相离d相交或相切7若a=sinxdx，则（x+）（ax1）5的展开式中的常数项为( )a10b20c10d208一个算法的程序框图如图，若该程序输出结果为6，则判断框内m的取值范围是( )a（12，20b（20，30c（30，42d（12，429已知abd是等边三角形，且，那么四边形abcd的面积为( )abcd10已知函数f（x）=+b+6，其中，a，b为常数，a1，b0，若f（lglog210）=8，则f（lglg2）的值为( )a8b4c8d411棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的表面积是( )a12+4b17c12+2d1212已知函数f（x）=ex，g（x）=ln+，对任意ar存在b（0，+）使f（a）=g（b），则ba的最小值为( )a21be2c2ln2d2+ln2二、填空题：每小题5分，共20分13设x，y满足线性约束条件，则x+2y的取值范围是_14在等差数列an中，1，若它的前n项和sn有最大值，则使sn取得最小正数的n=_15现有5双不同号码的鞋，从中任意取出4只，则恰好只能配出一双的概率为_16设a，b分别为椭圆+=1（ab0）和双曲线=1的公共顶点，p，m分别为双曲线和椭圆上异于a，b的两动点，且满足+=，其中r，|1，设直线ap，bp，am，bm的斜率分别为k1，k2，k3，k4且k1+k2=5，则k3+k4=_三、解答题17已知函数（）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；（）求函数f（x）在区间上的值域18如图，几何体efabcd中，cdef为边长为1的正方形，abcd为直角梯形，abcd，cdbc，bc=1，ab=2，bcf=90（）求成：bdae（）求二面角baed的大小19某大学对参加了“世博会”的该校志愿者实施“社会教育实践”学分考核，因该批志愿者表现良好，该大学决定考核只有合格和优秀两个等次，若某志愿者考核为合格，授予0.5个学分；考核为优秀，授予1个学分假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为、，他们考核所得的等次相互独立（）求在这次考核中，志愿者甲、乙、两三人中至少有一名考核为优秀的概率；（）记这这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量，求随机变量的分布列和数学期望e20已知椭圆的左、右焦点分别为f1、f2，短轴两个端点为a、b，且四边形f1af2b是边长为2的正方形（1）求椭圆的方程；（2）若c、d分别是椭圆长的左、右端点，动点m满足mdcd，连接cm，交椭圆于点p证明：为定值（3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存异于点c的定点q，使得以mp为直径的圆恒过直线dp、mq的交点，若存在，求出点q的坐标；若不存在，请说明理由21已知函数（i）求f（x）的极值；（ii）若x1（0，+），x21，2使成立，求a的取值范围；（iii）已知四、选做题选修4-1：几何证明选讲22如图，ab是圆o的直径，c是半径ob的中点，d是ob延长线上一点，且bd=ob，直线md与圆o相交于点m，t（不与a，b重合），连结mc，mb，ot（）求证：mtco四点共圆；（）求证：md=2mc五、选修4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系xoy中，曲线c的方程为（x1）2+（y1）2=2，直线l的倾斜角为45且经过点p（1，0）（）以o为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线c的极坐标方程（）设直线l与曲线c交于两点a，b，求|pa|2+|pb|2的值六、选修4-5：不等式选讲24设函数f（x）=x22x（）解不等式|f（x）|+|x2+2x|6|x|；（）若实数a满足|xa|1，求证：|f（x）f（a）|2|a|+3辽宁省鞍山市2015届高考数学一模试卷（理科）一、选择题：每小题5分，共60分1已知集合m=x|3x1，n=x|x3，则集合x|x1=( )amnbmncr（mn）dr（mn）考点：交、并、补集的混合运算 专题：集合分析：根据题意和交、并、补集的运算，分别求出mn、mn、r（mn）、r（mn），即可得答案解答：解：因为集合m=x|3x1，n=x|x3，所以mn=，mn=x|x1，则r（mn）=r，r（mn）=x|x1，故选：d点评：本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题解题时要认真审题，仔细解答2复数的虚部是( )abcd考点：复数的代数表示法及其几何意义 分析：本小题主要考查复数的相关运算及虚部概念解答：解：依题：虚部为故选b点评：本题是对基本概念的考查3已知递增等比数列an满足a3a7=6，a2+a8=5，则=( )abcd考点：等比数列的通项公式 专题：等差数列与等比数列分析：利用等比数列的性质及其通项公式即可得出解答：解：递增等比数列an满足a3a7=6，a2+a8=5，a2a8=6，a2+a8=5，解得a2=2，a8=3=故选：d点评：本题考查了等比数列的性质及其通项公式，属于基础题4已知空间中不共面的四点a，b，c，d及平面，下列说法正确的是( )a直线ab，cd可能平行b直线ab，cd可能相交c直线ab，cd可能都与平行d直线ab，cd可能都与垂直考点：空间中直线与平面之间的位置关系 专题：综合题；空间位置关系与距离分析：ab，cd不共面，可得a，b，d都不正确；经过ac，bd，ad，bc中点的平面与ab，cd平行，故c正确解答：解：由题意，ab，cd不共面，故a，b不正确；经过ac，bd，ad，bc中点的平面与ab，cd平行，故c正确；直线ab，cd都与垂直，可得ab与cd平行，故不正确，故选：c点评：本题考查直线与平面的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，比较基础5命题“xr，使得x21”的否定是( )axr，都有x21bxr，都有x1或x1cxr，使得x21dxr，使得x21考点：命题的否定 分析：根据命题“xr，使得x21”是特称命题，其否定为全称命题，即：xr，都有x21xr，都有x1或x1从而得到答案解答：解：命题“xr，使得x21”是特称命题否定命题为：xr，都有x21xr，都有x1或x1故选b点评：本题主要考查全称命题与特称命题的转化6直线ax+by+a+b=0与圆x2+y2=2的位置关系为( )a相交b相切c相离d相交或相切考点：直线与圆的位置关系 专题：计算题分析：由圆的方程找出圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离d，比较d与r的大小即可得到直线与圆的位置关系解答：解：由题设知圆心到直线的距离，而（a+b）22（a2+b2），得，圆的半径，所以直线ax+by+a+b=0与圆x2+y2=2的位置关系为相交或相切故选d点评：此题考查学生灵活运用点到直线的距离公式化简求值，掌握直线与圆位置关系的判别方法，是一道基础题7若a=sinxdx，则（x+）（ax1）5的展开式中的常数项为( )a10b20c10d20考点：二项式系数的性质；定积分 专题：二项式定理分析：求定积分可得a的值，把（2x1）5按照二项式定理展开，即可求得（x+）（2x1）5展开式的常数项解答：解：a=sinxdx=cosx=2，则（x+）（ax1）5=（x+）（2x1）5 =（x+）（32x580x4+80x340x2+10x1），故（x+）（2x1）5展开式的常数项为=10，故选：a点评：本题主要考查求定积分，二项式定理的应用，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题8一个算法的程序框图如图，若该程序输出结果为6，则判断框内m的取值范围是( )a（12，20b（20，30c（30，42d（12，42考点：程序框图 专题：图表型；算法和程序框图分析：由程序框图依次求得程序运行的结果，再根据输出的k值判断运行的次数，从而求出输出的s值解答：解：由程序框图知第一次运行第一次运行s=2，i=2；第二次运行s=0+2+4，i=3；第三次运行s=0+2+4+6，i=4；第四次运行s=0+2+4+6+8，i=5；第五次运行s=0+2+4+6+8+10，i=6；输出i=6，程序运行了5次，此时s=0+2+4+6+8+10=30，m的取值范围为20m30故选：b点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据程序运行的结果判断程序运行的次数是关键，属于基本知识的考查9已知abd是等边三角形，且，那么四边形abcd的面积为( )abcd考点：向量在几何中的应用 专题：计算题；数形结合分析：先设ad的中点为e，以ae，ab为邻边作平行四边形aecb，画出对应图象，利用e为中点，得到bcde为平行四边形，进而求得be=cd=，ae=1，ab=2，再把四边形abcd的面积转化为sabd即可求解解答：解：设ad的中点为e，以ae，ab为邻边作平行四边形aecb，对应图象如图因为aecb为平行四边形，所以有=，又因为，故，即bcde为平行四边形，所以有be=cd=，ae=1，ab=2故sabcd=sabd+sbcd=sabd=故选b点评：本题主要考查向量在几何中的应用以及计算能力和数形结合思想，是对基础知识的考查，属于基础题10已知函数f（x）=+b+6，其中，a，b为常数，a1，b0，若f（lglog210）=8，则f（lglg2）的值为( )a8b4c8d4考点：对数的运算性质 专题：函数的性质及应用分析：函数f（x）=+b+6，可得f（x）+f（x）=+b+6+b+6=12，再利用对数的运算性质即可得出解答：解：函数f（x）=+b+6，f（x）+f（x）=+b+6+b+6=12，而lg（log210）+lg（lg2）=0，f（lglog210）+f（lglg2）=12，f（lglg2）=128=4故选：b点评：本题考查了指数函数与对数函数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的表面积是( )a12+4b17c12+2d12考点：球的体积和表面积 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，如图所示，截面为菱形，两条对角线长为，2，面积为2，即可求出该几何体的表面积解答：解：棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，如图所示，截面为菱形，两条对角线长为，2，面积为2，所以该几何体的表面积是322+2=12+2，故选：c点评：由三视图作出直观图，发现图象的特征，从而得到几何体的表面积12已知函数f（x）=ex，g（x）=ln+，对任意ar存在b（0，+）使f（a）=g（b），则ba的最小值为( )a21be2c2ln2d2+ln2考点：对数函数图象与性质的综合应用 专题：函数的性质及应用分析：令 y=ea，则 a=lny，令y=ln+，可得 b=2，利用导数求得ba取得最小值解答：解：令 y=ea，则 a=lny，令y=ln+，可得 b=2，则ba=2lny，（ba）=2显然，（ba）是增函数，观察可得当y=时，（ba）=0，故（ba）有唯一零点故当y=时，ba取得最小值为2lny=2ln=2+ln2，故选d点评：本题主要考查对数函数的图象和性质的综合应用，利用导数求函数的最小值，属于中档题此题中导数零点不易用常规方法解出，解答时要会用代入特值的方法进行验证求零点二、填空题：每小题5分，共20分13设x，y满足线性约束条件，则x+2y的取值范围是2，6考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最值解答：解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点b（2，2）时，直线y=的截距最大，此时z最大此时z的最大值为z=2+22=6，过点c（2，0）时，直线y=2的截距最小，此时z最小此时z的最小值为z=2+22=6，故x+2y的取值范围是2，6故答案为：2，6点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法14在等差数列an中，1，若它的前n项和sn有最大值，则使sn取得最小正数的n=19考点：等差数列的性质 专题：计算题分析：由题意可知，等差数列an中a10，公差d0，可将1转化为：0，于是a110，a100，由等差数列的前n项和公式可求得sn取得最小正数的n解答：解：等差数列an中，它的前n项和sn有最大值，1，a10，公差d0，又将10，是a110，a100，a10+a110sn=an2+bn中其对称轴n=10，又s19=19a100，而s20=0，1与19距离对称轴n=10的距离相等，s1=s19使sn取得最小正数的n=1或n=19故答案为：1或19点评：本题考查等差数列的性质，考查等差数列的前n项和公式，考查分析问题与解决问题的能力，属于中档题15现有5双不同号码的鞋，从中任意取出4只，则恰好只能配出一双的概率为考点：古典概型及其概率计算公式 专题：概率与统计分析：由题意可得总的基本事件数为=210，恰有两只成双的取法是=120，由概率公式可得解答：解：总的基本事件数为=210，恰有两只成双的取法是=120从中任意取出4只，则恰好只能配出一双的概率p=故答案为：点评：本题考查古典概型及其概率公式，涉及排列组合的知识，属基础题16设a，b分别为椭圆+=1（ab0）和双曲线=1的公共顶点，p，m分别为双曲线和椭圆上异于a，b的两动点，且满足+=，其中r，|1，设直线ap，bp，am，bm的斜率分别为k1，k2，k3，k4且k1+k2=5，则k3+k4=5考点：椭圆的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：如图所示，由满足+=，其中r，|1，利用向量的平行四边形法则可得：o，m，p三点共线设p（x1，y1），m（x2，y2），=k0分别利用点在双曲线与椭圆上可得=，=k1+k2=5，利用斜率计算公式可得5=再利用向量计算公式即可得出k3+k4解答：解：如图所示，满足+=，其中r，|1，2=（2），o，m，p三点共线设p（x1，y1），m（x2，y2），=k0则=1，+=1，=，=，k1+k2=5，5=+=k3+k4=5故答案为：5点评：本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、向量的平行四边形法则、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题三、解答题17已知函数（）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；（）求函数f（x）在区间上的值域考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的对称性 专题：三角函数的图像与性质分析：（1）先根据两角和与差的正弦和余弦公式将函数f（x）展开再整理，可将函数化简为y=asin（wx+）的形式，根据t=可求出最小正周期，令，求出x的值即可得到对称轴方程（2）先根据x的范围求出2x的范围，再由正弦函数的单调性可求出最小值和最大值，进而得到函数f（x）在区间上的值域解答：解：（1）=sin2x+（sinxcosx）（sinx+cosx）=周期t=由函数图象的对称轴方程为（2），因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以当时，f（x）取最大值1，又，当时，f（x）取最小值，所以函数f（x）在区间上的值域为点评：本题主要考查两角和与差的正弦公式和余弦公式，以及正弦函数的基本性质最小正周期、对称性、和单调性考查对基础知识的掌握情况18如图，几何体efabcd中，cdef为边长为1的正方形，abcd为直角梯形，abcd，cdbc，bc=1，ab=2，bcf=90（）求成：bdae（）求二面角baed的大小考点：用空间向量求平面间的夹角；空间中直线与直线之间的位置关系；二面角的平面角及求法 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（）通过已知条件可得cfcd，利用线面垂直的判定定理及勾股定理即得结论；（）以c为原点，cd、cb、cf所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则所求角的余弦值即为平面aed的法向量与平面eba的法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可解答：（）证明：由题意得，bcdc，cfbc，四边形cdef为正方形，cfcd，又cdbc=c，fc平面abcd，decf，de平面abcd，dedb，又四边形abcd为直角梯形，abcd，cdbc，bc=1，ab=2，ad=，bd=，ad2+bd2=ab2，bdad，由adde=e，bd平面ade，bdae；（注：也可以先建立直角坐标系，用向量法证明线线垂直）（）解：由（）知cd、cb、cf所在直线相互垂直，故以c为原点，cd、cb、cf所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，可得c（0，0，0），f（0，0，1），b（0，1，0），e（1，0，1），d（1，0，0），a（2，1，0），由（）知平面aed的法向量为=（1，1，0），=（1，1，1），=（2，0，0），设平面eba的法向量为=（x，y，z），由，得，令z=1，则=（0，1，1），设二面角baed的大小为，则cos=，0，=点评：本题考查直线与平面垂直的判定，二面角的计算，考查空间想象能力，计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题19某大学对参加了“世博会”的该校志愿者实施“社会教育实践”学分考核，因该批志愿者表现良好，该大学决定考核只有合格和优秀两个等次，若某志愿者考核为合格，授予0.5个学分；考核为优秀，授予1个学分假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为、，他们考核所得的等次相互独立（）求在这次考核中，志愿者甲、乙、两三人中至少有一名考核为优秀的概率；（）记这这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量，求随机变量的分布列和数学期望e考点：相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差 专题：计算题分析：（i）我们分别将“甲考核为优秀”，“乙考核为优秀”，“丙考核为优秀”，“志愿者甲、乙、两三人中至少有一名考核为优秀”记为a，b，c，e，根据相互独立事件与对立事件的定义，可得事件a，b，c相互独立，与事件e是对立事件，根据相互独立事件乘法公式及对立事件概率减法公式，可得在这次考核中，志愿者甲、乙、两三人中至少有一名考核为优秀的概率；（）由已知2015届中考核为合格，授予0.5个学分；考核为优秀，授予1个学分我们要得的可能取值为，2，3，分别计算出取得各值时的概率，即可得到随机变量的分布列，代入数学期望公式，即可得到数学期望e的值解答：解：（i）记“甲考核为优秀”为事件a，“乙考核为优秀”为事件b，“丙考核为优秀”为事件c，“志愿者甲、乙、两三人中至少有一名考核为优秀”为事件e，则事件a，b，c相互独立，与事件e是对立事件则p（e）=1p（）=1p（）p（）p（）=1=（ii）的可能取值为，2，3p（=）=p（）=，p（=2）=p（a）+p（b）+p（c）=p（=）=p（ab）+p（ac）+p（bc）=p（=3）=p（abc）=的分布列为：e（）=点评：本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望，其中在求随机变量的分布列时，对随机变量的每一个取值，要注意不重不漏，以便准确的计算出取得各值时的概率，这也是计算分布列及数学期望时最容易产生的错误20已知椭圆的左、右焦点分别为f1、f2，短轴两个端点为a、b，且四边形f1af2b是边长为2的正方形（1）求椭圆的方程；（2）若c、d分别是椭圆长的左、右端点，动点m满足mdcd，连接cm，交椭圆于点p证明：为定值（3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存异于点c的定点q，使得以mp为直径的圆恒过直线dp、mq的交点，若存在，求出点q的坐标；若不存在，请说明理由考点：椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题 专题：计算题；压轴题分析：（1）由题意知a=2，b=c，b2=2，由此可知椭圆方程为（2）设m（2，y0），p（x1，y1），直线cm：，代入椭圆方程x2+2y2=4，得，然后利用根与系数的关系能够推导出为定值（3）设存在q（m，0）满足条件，则mqdp，再由，由此可知存在q（0，0）满足条件解答：解：（1）a=2，b=c，a2=b2+c2，b2=2；椭圆方程为（2）c（2，0），d（2，0），设m（2，y0），p（x1，y1），直线cm：，代入椭圆方程x2+2y2=4，得x1=，（定值）（3）设存在q（m，0）满足条件，则mqdp则由，从而得m=0存在q（0，0）满足条件点评：本题考查直线和椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答21已知函数（i）求f（x）的极值；（ii）若x1（0，+），x21，2使成立，求a的取值范围；（iii）已知考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件 专题：综合题分析：（）求导函数，确定函数的单调性，从而可求函数f（x）的极值；（ii）分离参数可得，再分类讨论，求出右边的最小值，即可求得a的取值范围；（iii）只需要证明x1+x2x1x2，即可证得解答：（）解：，f（x）=，令f（x）=0，即klnx=0，x=ek，令f（x）0，可得0xek；令f（x）0，可得xek；函数在（0，ek）上单调增，在（ek，+）上单调减函数f（x）在x=ek处取得极大值为f（ek）=ek（ii）解：若，即x1（1，+）时，在1，2上为单调增函数，x21，2使成立，等价于x1（1，+），使得，a1；若，即x1（0，1时，在时，取得最小值为x21，2使成立，等价于x1（0，1，使得，a0；综上知，a0（iii）证明：x10，x20，且x1+x2e，（x1+x2）（）=2+2+2=40，两式相乘，化简得x1+x2x1x2，点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查存在性问题，考查不等式的证明，难度较大四、选做题选修4-1：几何证明选讲22如图，ab是圆o的直径，c是半径ob的中点，d是ob延长线上一点，且bd=ob，直线md与圆o相交于点m，t（不与a，b重合），连结mc，mb，ot（）求证： mtco四点共圆；（）求证：md=2mc考点：与圆有关的比例线段 专题：综合题；推理和证明分析：（1）由切割线定理可得dtdm=dbda，结合题中中点条件利用半径作为中间量进行代换，即可得证；（2）利用四点共圆的性质及圆周角定理，可得mb是dmc的平分线，即可证明结论解答：证明：（）因md与圆o相交于点t，设dn与圆o相切于点n，由切割线定理dn2=dtdm，dn2=dbda，得dtdm=dbda，设半径ob=r（r