中科院自动化所考博数学试题(2007年-2012年).pdf

中国科学院自动化研究所 中国科学院自动化研究所 2008 年招收攻读博士学位研究生入学统一考试试题 2008 年招收攻读博士学位研究生入学统一考试试题 科目名称 数学 科目名称 数学 考生须知 考生须知 1 本试卷满分为 100 分 全部考试时间总计 180 分钟 2 所有答案必须写在答题纸上 写在试题纸上或草稿纸上一律无效 一 设矩阵 200 111 113 A 求 i A e ii 其中t属于实数 iii 关于 的导数 tA e tA et 二 求矩阵的 QR 正交三角 分解 041 111 032 B 三 证明矩阵 211 2 111 4 111 2 nnn Cnnn n nnn L L MMMM L 能够相似于对角矩阵 且C的特征值都是实数 四 设2维随机变量 X Y的分布密度为 xxy g x y 301 0 0其它 x 1 求边缘分布密度 XY gxgy 2 求条件分布密度 g x yg y x 五 设随机变量X的分布密度为 x f xex 2 1 求E Var E Var XXXX 2 求Cov Corr XXXX 3 X与 X是否独立 为什么 六 设 N XXX 12 和 M Y YY 12 分别是来自正态总体 N 2 1 和 N 2 2 的样 本 其中 12是已知的 1 求常数c d 使得 cXdY 为 的无偏估计 并使其方差达到最小 在所有形如aXbY 的无偏估计类中最小 2 基于估计 求 的置信系数为 1的置信区间 科目名称 数学 第 2 页 共 2 页 科目名称 数学 1 中国科学院自动化研究所 2009 年招收攻读博士学位研究生入学统一考试试题 科目名称 数学 中国科学院自动化研究所 2009 年招收攻读博士学位研究生入学统一考试试题 科目名称 数学 考生须知 考生须知 1 本试卷满分为 100 分 全部考试时间总计 180 分钟 2 所有答案必须写在答题纸上 写在试题纸上或草稿纸上一律无效 一 设矩阵 0101 1010 0101 1010 A 1 求矩阵A的特征多项式和最小多项式 2 求正交 酉 矩阵P 使得APP 1 为对角矩阵 二 设矩阵 j j3 0 2 1 A 52 23 B 其中1 2 j 求矩阵A和B的以下各范数 1 2 和 F 三 设C为复数域 nm 阶的矩阵 nm C A 列向量 m k C bb 1 对 m C上 的某种范数 证明向量 n C x使得 k i i Cn 1 2 min bAx x 成立的充要条件是x为方程 k i i k 1 1 bAx的最小二乘解 科目名称 数学 2 四 设 12 n X XX是n个相互独立且服从同一正态分布 2 N 的随机变量 记 1 n i i XXn 请回答下述问题 a X 与 2 1 n i i XX 是否相互独立 b n X 服从何种分布 c 22 1 n i i XX 服从何种分布 d 2 1 1 n i i n nXXX 服从何种分布 五 设随机变量X Y独立 X有概率密度 f x Y只取两个值 0 a和 1 a且 00 pP Ya 11 pP Ya 求XY 的概率密度 六 1 设随机变量X只取 0 1 上的值 证明 1 4Var X 并指出等号成立 的情况 2 将上述结果推广到只取 a b上的值的情形 七 设 12 n X XX是来自正态总体 2 N 的样本 其中 2 均未知 证明 1 n i i XXn 是 的最小方差无偏估计 中国科学院自动化研究所 中国科学院自动化研究所 2010 年招收攻读博士学位研究生入学统一考试试卷 2010 年招收攻读博士学位研究生入学统一考试试卷 科目名称 数学 科目名称 数学 考生须知 考生须知 本试卷满分为 100 分 全部考试时间总计 180 分钟 一 在R3中 L是由向量和向量 T 0 2 1 T1 1 0 张成的子空间 1 求正交投影矩阵PL 2 求向量沿L T 3 2 1 x T到L的投影 二 设是复数域上的一个 j A 1021 1104 8 0520 33 矩阵 1 估计矩阵A的特征值范围 2 隔离矩阵A的特征值 三 设是实数域上的一个 1100 0110 0011 1001 A33 矩阵 1 利用 Hermite 标准型求矩阵A的 1 逆 2 利用满秩分解求矩阵A的 Moore Penrose 逆 A 3 当时 方程组 T 0 1 0 1 b bAx 是否相容 若方程组相容 求其通解和极小 范数解 若方程组不相容 求其极小范数最小二乘解 科目名称 数学 第 1 页 共 2 页 四 有 n 个人各填写一份登记表并交一张照片 现在把登记表及照片任意地装入 n 个有姓名的档案袋中 每袋只允许装入一份登记表及一张照片 求 1 没有一袋的登记表及照片都装对的概率 0 nP 2 恰有r袋 1 nr 的登记表及照片都装对的概率 nPr 3 并证明有 1 lim 0 nP n 1 0 limnrnPr n 五 在半径为 R 中心在坐标原点的圆周上任取一点 求 1 该点的直角坐标的分布密度 2 连接该点与所成的弦的长度的分布密度 0 R 六 设 n 2