在知识网络的交汇点上设计和编拟试题的几个原则.pdf

2 4 中学数学月 刊 2 0 0 1年第 9期 在知识网络的 交汇点上设计和编拟试题的几个原则 单 文海 浙江省绍兴县柯桥 中学 3 1 2 0 3 0 纵观高考命题 改革的趋势 稳 中求新 适 当降低难度 变知识立意 为能力立意 注重各 分支 学科 间 的知识 联系 重视 知 识 的迁 移 知识 的应用 强调知识 的整 体性和综 合性 多 年来 高 考坚持 在 知识 网络 的交汇点 上设 计 和 编拟试题 旨在加 强对 能力 和素质 的考查 功能 突出能力立 意的导向作用 它要求考生 对课 程 内容能够 融会 贯通 把 重点放 在 系统 地 掌握课 程 内容 的内在联 系 上 放在 运用 分 析问题 的方法和解决 问题 的能力上 所谓 知识 的交汇 点主要 是指在数学不 同 的 内容 或不 同分支 间 或在数 学方 法上起 着 承上启 下 联 结和纽带作用 的知识 本文试提 出在 知识 网络交汇点上设计和 编拟试 题 的几个原 则 并编 拟和精 选 了部分 相应 的试题 为例供 教学参考 1立意 新颖 情 景好 题型 有创意 试 题 的设 计 力 求 新 情 景 新 立 意 新 角 度 新形 式 既能 考查基 础 知识 基本 技能 和 基本方法 又重视 知识 的迁移 体 现知识间的 联 系 作 用和 相互 转化 题 型不落 旧套 有创 意 注 意 知 识 和 能 力 的考 查 例 1 设点 P对应 的复数 是 3 3 i 以原 点为极 点 实轴 正 半 轴 为 极轴 建 立极 坐 标 系 那 么点 P 的极坐 标是 A 3 B 3 q 亡 c 3 竿 D 3 5 i t 分 析本 题 以复数 为依 托 以平 面上 的 点 为纽带 使 复数 直 角坐标 极 坐标 知识 融 为一体 主要 考查 点 的直角坐 标和极 坐标 的 互化关 系 点 的极 坐标 表示等知识 由于复数 3 3 i 对 应点 P 3 3 1D 一3 2 t a n 0 1 P 点 的极 坐 标 为 3 2 c 即 一3 v 2 竿 应选 B 例 2在复平 面上把 方程 z 一1的根 对 应的点 的集合记为 M 以 M 中的点为顶点的 三角形中 共有 个直 角三角形 分析这是一道在复数与排 列组合 知识 交汇点 上编拟 的试 题 主要考查 二项 方程 z 一 b的 z 个 根 的 几 何 意 义 及 排 列 组 合 等 知 识 角度新 依 托复数 方程 的知 识 把 排列 组 合 内容有机地融合在一起 由 于 z 一6的 个 根 均 匀 分 布 在 以 原 点 为 圆心 I b I 为半 径 的 圆上 所 以 M 中 1 O 个 点能 连成 5条不 同 的直径 共 有 5 C 4 0 个 直 角 三 角形 例 3已知复数 一1 一mi 7 z 0 一 z i 和 训 z i 其 中 z Y z 均 为实 数 i 为虚数单位 且对于任 意复数 有 W一 三 三 I WI 一2 I I 1 试求 z 的值 并 分别 写 出 z 和 用 z Y表示 的 关 系 式 2 将 z y 作 为点 P 的坐 标 z Y 作为点 Q的坐标 上述关 系式可 以看作是 坐 标平 面上点 的一个 变换 它将 平面 上 的点 P 变到这一平面 上的点 Q 当点 P在 直线 y z 1上移 动时 试求 点 P经变换 后 得到 的点 Q 的轨 迹 方 程 3 是否存 在这样 的直线 它上面的任一 点经上述 变换 后得 到的点仍在该直线上 若 存 在 试 求 出所 有直 线 若 不存 在 则说 明理 由 分析这是 一道 以复数 知识 为依托 点 的变换 为方法 方程 为 目标 在复数与解析几 何 知识交汇点上设 计 的试题 题型设 计新颖 别具一格 知识 浑然一体 反 映了知识 间的内 在联 系 较 好地体 现 了知识 的整体性 和综合 性 突 出对 分析 问题 的方法及 解决 问题 的能 力 的考 查 易 知 维普资讯 2 0 0 1年第 9期 中学数学 月刊 2 5 一 长 2 Q点 的轨 迹方程 为 3 1 x 1 3 y 4 0 3 假设 存在直线 Ax C一0 A B 不 同时为零 则 Ax C一0 由题意 A z 了 B 了 x y C一0 即 A 了 B z 了A B y C一0 它应与直线 Ax B C一0重合 若 AB C 0 一1 由 一1 得 B一0 此与 ABC 0矛盾 所 以在 AB C 0时 这样 的直线 不存 在 若 A 0 B 0或 B一 0 A 0 此 时 易 知 这样 的直线 也不 存在 若 c 一 0 AB 0 则 A Z 3 B 一 一 B l 即 l十 丁一 IJ 了 鲁 一 2 鲁 一 了 一 0 百A 一 一 或 鲁 一 此 时 直 线 为 z 或 Y 一 一 z 综之 存 在直线 一 z及 一一 符合条件 2揭 示知识 间的 内在 联 系 综 合有 度 难度 适宜 试题 的设 计和编拟要 充分体现各知识 间 的内在联 系 突 出对知识 体 系 中起 支撑作 用 的主干知 识 的考 查 这些 内容常 常处在 知识 网络 的交汇点上 起到联结 和纽带的作用 使 问题 具有较好 的整 体性和综合性 同时 必须 注意试题 的难度 和效度 做到综合有度 难易 适 宜 例 4 函数 厂 z 的图象 与直线 z 一1 的交点个数 为 A 0 B 1 C 2 D 0或 1 分 析 这是 在 函数与方程知识交 汇点上 编拟 的一道试题 突出对 函数 的概念 定义域 的考 查 应 选 D 2 2 例 S 如 图 1 A B 分 别是 椭 圆 一1 n 6 0 长 短轴 的端点 F F 是椭 圆 的 左 右 焦 点 M 是 椭 圆 上 的 一 点 且 MOF BA O O为原点 1 求 椭 圆 的 离心率 2 设 n是 椭 圆上 任 意 一 点 求 F QF 的取 值范 围 Jp 3 当 QFz 上 图 1 AB时 延 长 QF 与 椭 圆交 于 另 一 点 P 若 F P Q 的面 积 为 2 0 3 Q 是 椭 圆上 的 点 求 此 椭 圆 的方 程 分析试题 以相似 三角形 中的几何关系 为依托 充分 揭示 了知识 间的内在联 系 突 出 对 主干知识 的考查 本 题 中余 弦定 理 和基 本 不等式 等知 识融合 自然 既 体现 了知识 的整 体性和综合性 又注意到难度 的控制 处理恰 如其 份 1 A OM Fl ABO b z f一 6 n 一 号 一 孚 2 设 I QF I 一 n I QF I 则 m 一 2 口 c o s QF 一 一 二墨 二垒 2 ran 4 b z 一 2 ra n 2 b 一 一 一L Z7 2 n z 口 z c O s F QF 一 1 0 当且仅 当 n 时等号成立 即 0 C O S 1 维普资讯 2 6 中学数学月 刊 2 0 0 1年第 9期 故 F Q F 的取值范围是 0 要 3 b c n 一 c 椭 圆 方 程 为 x z 十 yZ 一1 又 PQ L AB 足 P Q 一 r 直线 P Q y 一 2 x c 代 入椭 圆方程得 5 x 一 8 c z 十2 C 2 0 由弦长公 式得 I PQI 一 6 f Fc 又 点 F 到 直线 PQ 的距 离 2 c s 一 z l P Q l 一 半 而 r 一 2 O r f 2 2 5 故椭 圆方程 为 x 5 0 z 2 y i 5 z 1 例 6 已知 函数 f 厂 z z E E o 1 厂 z I f E E1 E L 其 中 f z 一一2 x I 1 z 一2 x 2 1 设 y f z z E 1 的反函数 为 y g z 日 l 一 1 日 2 一 g a 1 日 一 g a 一 求 数列 n 的通 项公式 并求l i ma 2 若 z E E o 去 z 一厂 z o f x 一 z o 求 z o 分析这是依 托分段 函数 联 结反 函数 数列 方 程等处 于 函数 网络交 汇点上 的各 知 识设 计 编拟 的一 道试题 难 度适 宜 揭示 了 知识 间的 内在 联系 体 现 了知识 的整体性 和 综合性 1 g z 一 1一 1 z 1 一 吉 一 即 一 2一一 吉 n 一 一 2 又 n 一 号 一 1 口 一 2十 1 一 1 或 利用 归 纳 方法 并J l i m a 一号 2 z E E 0 去 z 一f x o 一一2 z 一去 十1 吉 1 从而 z 一f x 一 厶 1 2 x l 十2 4 z o 一 即 4 x 3 5 x o 十1 0 厶 1 z 一1 舍 或 z 一 3 反映初 高等 数学在 思想方法上的交汇和 衔 接 思 维 价 值 高 试 题 的 设 计 和 编 拟 应 尽 量 顾 及 初 高 等 数学 在 内容 思想方法 上的交汇衔接 具 有较 高 的思 维价值 能 客观反 映考 生的学 习潜 能 和整 体素质 突 出命 题 的指导 思想 和考查 功 能 同时 数 学思想 蕴涵在 数学 的发 生 发展 和应 用过程 之 中 是数 学知识 在更 高层 次上 的抽 象和概 括 是考查考 生能力 的必 由之路 例 7 已知 函数 厂 z 一日 z t b x 十c z十 d的图象如 图 2 则 A 6 一 O O 0 B 6 0 1 C 6 1 2 D b E 2 十 O O O V 分 析这 是 一 图 2 析问题的方法和解决 问题 的能力 f 一 0 a十 b 十c 十 d一 0 8 a 4 b 2 c d 0 n 一 b c 一一 2 6 d 0 一 一 一 6 厂 z 一 一 鲁 z 6 z 2 一 警 z 一 一 z z一 1 z 2 两边 同次项系数 得 b 一3 a 故 b O 应选 A 维普资讯 2 0 0 1 年第 9期 中学数学月 刊 2 7 例 8 设 厂 z 一z 如 c g z 一 2 x 1 若 厂 z 和 g z 在 A 去 2 上满 足 当 z z A 时 有 厂 z f x g z g z o 且 f x o g z o 试求 厂 z 在 上的 最大值 2 试 问 当 6 0 g z 一z 圭 3 当 且仅 当 z一1时 g z 一g m i n z 一3 厂 z 也 在 z一 1时取 得 最 小 值 f 1 一3 又 1 1 2 厂 z 一 x 1 3 故 f m z 一 厶 厂 2 4 2 假 设 不 存 在 一1 1 上 的 z 使 得 l 厂 z l l b l 即对 一1 1 上 的任一个 z 恒 有 l 厂 z l l b l 特别 应有 l 厂 1 l I 1 6 c l l b l 一 b l 厂 一1 l l 1 6 c I 一6 由 得 b l 6 c 一6 即 0 1 c 一 2 6 一 b 1一 b c 一 3 b 又 b 一 2 I 1 6 c l 一6 这与 矛 盾 故 当 6 一2时 在 B 上 总存 在 一个 z 使得 l 厂 z l l b 1 例 9设 函数 厂 z 的定义 域为 R 对任 意 z 1 z 2 R z1 z 2 都 有 l f x 1 一f x 2 l l z 1 一z 2 l 厂 2 一2 若 数列 n 满 足 n 1 f a 一2 a 一 口 口 N 求证 当 N 时 a n 口 计1 2 分析 这是一道 以连续 函数 的变量关 系 为背 景 以数列 为依 托 不 等 式 的证 明 为 目 标 数 学归 纳法 为手段 在 数列 数学归 纳法 与不等 式 的知识交 汇 点上设 计编 拟 的试题 主要考 查分析 和运用 知识 的能 力 思 维价 值 高 利用数学归纳法证 明 1 当 z 一1时 l f a 一厂 2 I 1 日 一 2 f l 一 l 厂 日 1 一 2 l 即 l 厂 日 1 3 1 2 a 2 a 1 3 1 日 2 2