甘肃省天水市秦安二中高二数学上学期期中试卷 文（含解析）.doc

2015-2016学年甘肃省天水市秦安二中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共13小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案写在答题卡上）1不等式的解集为（）a（，0（1，+）b0，+）c0，1）（1，+）d（，01，+）2平面内有一长度为4的线段ab，动点p满足|pa|+|pb|=6，则点p的轨迹是（）a直线b射线c椭圆d双曲线3“m”是“方程x2+x+m=0有实数解”的（）a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件4在等差数列an中，a1+a5=8，a4=7，则a5等于（）a3b7c10d115已知中心在原点的双曲线c的右焦点为f（3，0），离心率等于，则c的方程是（）abcd6在abc中，内角a，b，c所对的边分别是a，b，c，若c2=（ab）2+6，c=，则abc的面积是（）abcd37设m、n为实数，若m+n=2，则3m+3n的最小值为（）a18b6c2d98下列命题中正确的是（）a的最小值是2b的最小值是2c的最大值是d的最小值是9在abc中，若b2sin2c+c2sin2b=2bccosbcosc，则abc是（）a等边三角形b等腰三角形c直角三角形d等腰直角三角形10如图，位于a处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的b处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的c处的乙船，现乙船朝北偏东的方向即沿直线cb前往b处救援，则cos=（）abcd11已知o为直角坐标系原点，p，q坐标均满足不等式组，则使cospoq取最小值时的poq的大小为（）abc2d12在abc中，角a，b，c所对边长分别为a，b，c，若a2+b2=2c2，则cosc的最小值为（）abcd13已知f（x）+f（1x）=2，an=f（0）+f（）+f（）+f（1）（nn*），则数列an的通项公式为（）aan=n1ban=ncan=n+1dan=n2二、填空题（每小题4分，共16分，将答案写在答题卡上）14对xr，kx2kx10是真命题，则k的取值范围是15若关于x的不等式2x23x+a0的解集为（m，1），则实数m=16已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，若其离心率为，焦距为8，则该椭圆的方程是17设f1和f2是双曲线y2=1的两个焦点，点p在双曲线上，且满足f1pf2=90，则f1pf2的面积是三、解答题（本大题共5小题，共48分）18解关于x的不等式x2+xa（a1）0，（ar）19（1）若x0，y0，x+y=1，求证： +4（2）设x，y为实数，若x2+y2+xy=1，求x+y的最大值20abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c已知a=3，cosa=，b=a+（）求b的值；（）求abc的面积21已知单调递增的等比数列an满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项（）求数列an的通项公式；（）设的前n项和sn22已知数列an满足a1=2，an+1=4an+2n+1（nn*）（1）令bn=+1，求证：数列bn为等比数列；（2）求数列an的通项公式；（3）求满足an240的最小正整数n2015-2016学年甘肃省天水市秦安二中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共13小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案写在答题卡上）1不等式的解集为（）a（，0（1，+）b0，+）c0，1）（1，+）d（，01，+）【考点】其他不等式的解法【专题】计算题；不等式的解法及应用【分析】先将此分式不等式等价转化为一元二次不等式组，特别注意分母不为零的条件，再解一元二次不等式即可【解答】解：不等式x（x1）0且x01x或x0，不等式的解集为：（，0（1，+）故选a【点评】本题考察了简单分式不等式的解法，一般是转化为一元二次不等式来解，但要特别注意转化过程中的等价性2平面内有一长度为4的线段ab，动点p满足|pa|+|pb|=6，则点p的轨迹是（）a直线b射线c椭圆d双曲线【考点】椭圆的定义【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】直接由椭圆的定义可得点p的轨迹【解答】解：由题意可知，动点p在以a、b为焦点、长轴等于6的椭圆上，且a=3，c=2，b2=a2c2=94=5点p的轨迹是椭圆，且方程为故选：c【点评】本题考查椭圆的定义，是基础的会考题型3“m”是“方程x2+x+m=0有实数解”的（）a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】简易逻辑【分析】结合一元二次方程的判别式以及充分必要条件的定义，先证明充分性，再证明必要性【解答】解：先证明充分性：m，=14m0，方程x2+x+m=0有实数解，是充分条件；再证明必要性：方程x2+x+m=0有实数解，=14m0，m，不是必要条件，故选：a【点评】本题考查了充分必要条件，考查了一元二次方程根的判别式，是一道基础题4在等差数列an中，a1+a5=8，a4=7，则a5等于（）a3b7c10d11【考点】等差数列的通项公式【专题】等差数列与等比数列【分析】设出等差数列的公差，由已知条件列式求出公差，则a5可求【解答】解：设公差为d，则，解得，a1=2，d=3，a5=a1+4d=2+34=10故选c【点评】本题考查了等差数列的通项公式，是基础的运算题5已知中心在原点的双曲线c的右焦点为f（3，0），离心率等于，则c的方程是（）abcd【考点】双曲线的标准方程【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设出双曲线方程，利用双曲线的右焦点为f（3，0），离心率为，建立方程组，可求双曲线的几何量，从而可得双曲线的方程【解答】解：设双曲线方程为（a0，b0），则双曲线c的右焦点为f（3，0），离心率等于，c=3，a=2，b2=c2a2=5双曲线方程为故选b【点评】本题考查双曲线的方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题6在abc中，内角a，b，c所对的边分别是a，b，c，若c2=（ab）2+6，c=，则abc的面积是（）abcd3【考点】余弦定理【专题】解三角形【分析】将“c2=（ab）2+6”展开，另一方面，由余弦定理得到c2=a2+b22abcosc，比较两式，得到ab的值，计算其面积【解答】解：由题意得，c2=a2+b22ab+6，又由余弦定理可知，c2=a2+b22abcosc=a2+b2ab，2ab+6=ab，即ab=6sabc=故选：c【点评】本题是余弦定理的考查，在高中范围内，正弦定理和余弦定理是应用最为广泛，也是最方便的定理之一，高考中对这部分知识的考查一般不会太难，有时也会和三角函数，向量，不等式等放在一起综合考查7设m、n为实数，若m+n=2，则3m+3n的最小值为（）a18b6c2d9【考点】基本不等式【专题】不等式【分析】根据基本不等式和指数幂的运算即可得到答案【解答】解：m+n=2，3m+3n2=2=6，当且仅当m=n=1时取等号故选：b【点评】本题考查基本不等式的应用，注意检验等号成立的条件，式子的变形是解题的关键8下列命题中正确的是（）a的最小值是2b的最小值是2c的最大值是d的最小值是【考点】基本不等式【专题】计算题【分析】根据基本不等式的使用范围：正数判断a不对，利用等号成立的条件判断b不对，根据判断c正确、d不对【解答】解：a、当x=1时，f（1）=2，故a不对；b、=2，当且仅当时取等号，此时无解，故最小值取不到2，故b不对；c、x0，当且仅当时等号成立，故c正确；d、x0，当且仅当时等号成立，则，故d不对；故选d【点评】本题考查了基本不等式的应用，利用基本不等式求函数的最值，注意“一正、二定、三相等”的验证9在abc中，若b2sin2c+c2sin2b=2bccosbcosc，则abc是（）a等边三角形b等腰三角形c直角三角形d等腰直角三角形【考点】三角形的形状判断【专题】计算题【分析】利用正弦定理化简已知的等式，根据sinbsinc不为0，在等式两边同时除以sinbsinc，移项后再根据两角和与差的余弦函数公式化简，可得出cos（b+c）=0，根据b和c都为三角形的内角，可得两角之和为直角，从而判断出三角形abc为直角三角形【解答】解：根据正弦定理=2r，得到a=2rsina，b=2rsinb，c=2rsinc，代入已知的等式得：（2rsinb）2sin2c+（2rsinc）2sin2b=8r2sinbsinccosbcosc，即sin2bsin2c+sin2csin2b=2sinbsinccosbcosc，又sinbsinc0，sinbsinc=cosbcosc，cosbcoscsinbsinc=cos（b+c）=0，又b和c都为三角形的内角，b+c=90，则abc为直角三角形故选c【点评】此题考查了三角形的形状判断，涉及的知识有正弦定理，两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，正弦定理解决了边角的关系，是本题的突破点，学生在化简求值时特别注意角度的范围10如图，位于a处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的b处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的c处的乙船，现乙船朝北偏东的方向即沿直线cb前往b处救援，则cos=（）abcd【考点】已知三角函数模型的应用问题【专题】综合题；压轴题【分析】利用余弦定理求出bc的数值，正弦定理推出acb的余弦值，利用cos=cos（acb+30）展开求出cos的值【解答】解：如图所示，在abc中，ab=40，ac=20，bac=120，由余弦定理得bc2=ab2+ac22abaccos120=2800，所以bc=20由正弦定理得sinacb=sinbac=由bac=120知acb为锐角，故cosacb=故cos=cos（acb+30）=cosacbcos30sinacbsin30=故选b【点评】本题是中档题，考查三角函数的化简求值，余弦定理、正弦定理的应用，注意角的变换，方位角的应用，考查计算能力11已知o为直角坐标系原点，p，q坐标均满足不等式组，则使cospoq取最小值时的poq的大小为（）abc2d【考点】简单线性规划的应用【专题】计算题；压轴题【分析】画出不等式组式组，对应的平面区域，利用余弦函数在0，上是减函数，再找到poq最大时对应的点的坐标，就可求出cospoq的最小值【解答】解：作出满足不等式组，因为余弦函数在0，上是减函数，所以角最大时对应的余弦值最小，由图得，当p与a（7，1）重合，q与b（4，3）重合时，poq最大此时kob=，k0a=7由tanpoq=1poq=故选d【点评】本题属于线性规划中的拓展题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与原点（0，0）围成的角的问题，注意夹角公式的应用12在abc中，角a，b，c所对边长分别为a，b，c，若a2+b2=2c2，则cosc的最小值为（）abcd【考点】余弦定理【专题】计算题；压轴题【分析】通过余弦定理求出cosc的表达式，利用基本不等式求出cosc的最小值【解答】解：因为a2+b2=2c2，所以由余弦定理可知，c2=2abcosc，cosc=故选c【点评】本题考查三角形中余弦定理的应用，考查基本不等式的应用，考查计算能力13已知f（x）+f（1x）=2，an=f（0）+f（）+f（）+f（1）（nn*），则数列an的通项公式为（）aan=n1ban=ncan=n+1dan=n2【考点】数列的求和【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列【分析】由f（x）+f（1x）=2，an=f（0）+f（）+f（）+f（1），“倒叙相加”即可得出【解答】解：f（x）+f（1x）=2，an=f（0）+f（）+f（）+f（1），2an=f（0）+f（1）+f（）+f（）+f（1）+f（0）=2（n+1），an=n+1故选：c【点评】本题考查了数列“倒叙相加”求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题（每小题4分，共16分，将答案写在答题卡上）14对xr，kx2kx10是真命题，则k的取值范围是4k0【考点】全称命题；一元二次不等式的应用【专题】计算题；分类讨论；转化思想【分析】对k=0与k0，k0，分别利用xr，kx2kx10是真命题，求出k的范围【解答】解：当k=o时，对xr，kx2kx10，10即是真命题，成立当k0时，对xr，kx2kx10是真命题，必有=（k）2+4k0，解得，4k0，当k0时，对xr，kx2kx10是真命题，显然不成立综上，4k0故答案为：4k0【点评】本题考查不等式的解法，恒成立问题，考查转化思想，分类讨论15若关于x的不等式2x23x+a0的解集为（m，1），则实数m=【考点】一元二次不等式的应用【分析】由不等式2x23x+a0的解集为（ m，1）可知：x=m，x=1是方程2x23x+a=0的两根根据韦达定理便可分别求出m和a的值【解答】解：由不等式2x23x+a0的解集为（ m，1）可知：x=m，x=1是方程2x23x+a=0的两根由韦达定理得：，解得：m=，a=1【点评】本题考查一元二次不等式的解法16已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，若其离心率为，焦距为8，则该椭圆的方程是+=1【考点】椭圆的标准方程【专题】计算题【分析】依题意可知c，进而根据离心率求得a，进而根据b2=a2c2求得b20，则椭圆方程可得【解答】解：由题意知，2c=8，c=4，e=，a=8，从而b2=a2c2=48，方程是+=1故答案为+=1【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程解题的关键是熟练掌握椭圆标准方程中a，b和c之间的关系17设f1和f2是双曲线y2=1的两个焦点，点p在双曲线上，且满足f1pf2=90，则f1pf2的面积是1【考点】双曲线的应用；双曲线的简单性质【专题】计算题【分析】设|pf1|=x，|pf2|=y，根据根据双曲线性质可知xy的值，再根据f1pf2=90，求得x2+y2的值，进而根据2xy=x2+y2（xy）2求得xy，进而可求得f1pf2的面积【解答】解：设|pf1|=x，|pf2|=y，（xy）根据双曲线性质可知xy=4，f1pf2=90，x2+y2=202xy=x2+y2（xy）2=4xy=2f1pf2的面积为xy=1故答案为：1【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质要灵活运用双曲线的定义及焦距、实轴、虚轴等之间的关系三、解答题（本大题共5小题，共48分）18解关于x的不等式x2+xa（a1）0，（ar）【考点】一元二次不等式的解法【专题】不等式的解法及应用【分析】本题可以先对不等式左边进行因式分解，再对相应方程根的大小进行分类讨论，得到本题结论【解答】解：关于x的不等式x2+xa（a1）0，（x+a）（x+1a）0，当aa1，即时，xa1或xa，当a1a，即a时，xa或xa1，当a1=a，即时，x，当时，原不等式的解集为：x|xa1或xa，当a时，原不等式的解集为：x|xa或xa1，当时，原不等式的解集为：x|x，xr【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，还考查了分类讨论的数学思想，本题难度不大，属于基础题19（1）若x0，y0，x+y=1，求证： +4（2）设x，y为实数，若x2+y2+xy=1，求x+y的最大值【考点】基本不等式【专题】不等式的解法及应用【分析】（1）由题意可得+=（+）（x+y）=2+，由基本不等式可得；（2）由题意和基本不等式可构造关于x+y的不等式，解不等式可得【解答】解：（1）证明：x0，y0，x+y=1，+=（+）（x+y）=2+2+2=4当且仅当=即x=y=时取等号+4；（2）x2+y2+xy=1，（x+y）2xy=1，（x+y）21=xy，解关于x+y的不等式可得0x+yx+y的最大值为【点评】本题考查基本不等式求最值和证明不等式，属基础题20abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c已知a=3，cosa=，b=a+（）求b的值；（）求abc的面积【考点】正弦定理【专题】解三角形【分析】（）利用cosa求得sina，进而利用a和b的关系求得sinb，最后利用正弦定理求得b的值（）利用sinb，求得cosb的值，进而根两角和公式求得sinc的值，最后利用三角形面积公式求得答案【解答】解：（）cosa=，sina=，b=a+sinb=sin（a+）=cosa=，由正弦定理知=，b=sinb=3（）sinb=，b=a+cosb=，sinc=sin（ab）=sin（a+b）=sinacosb+cosasinb=（）+=，s=absinc=33=【点评】本题主要考查了正弦定理的应用解题过程中结合了同角三角函数关系，三角函数恒等变换的应用，注重了基础知识的综合运用21已知单调递增的等比数列an满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项（）求数列an的通项公式；（）设的前n项和sn【考点】等差数列与等比数列的综合；数列的求和【专题】计算题【分析】（i）根据a3+2是a2，a4的等差中项和a2+a3+a4=28，求出a3、a2+a4的值，进而得出首项和a1，即可求得通