（三轮考前体系通关）高考数学二轮复习简易通 23 立体几何问题 理 新人教A版.doc

第三辑立体几何问题通关演练a组(建议用时：45分钟)1已知四棱锥p-abcd的底面abcd是等腰梯形，abcd，且acbd，ac与bd交于o，po底面abcd，po2，ab2cd2，e，f分别是ab，ap的中点(1)求证：acef；(2)求二面角f-oe-a的余弦值(1)证明e，f分别是ab，ap的中点ef是apb的中位线，efpb，由已知可知po平面abcd，poac，又acbd，又bdopo，ac面pob.又pb平面pob，acpb，acef.(2)解如图建立空间直角坐标系依题意知，oaob2，ocod1，则a(0，2,0)，b(2,0,0)，c(0,1,0)，d(1,0,0)，p(0,0,2)，(1，1,0)，(0，1,1)，设平面oef的法向量为m(x，y，z)，则解得m(1,1,1)平面oae的法向量为n(0,0,1)，cos m，n.故二面角f-oe-a的余弦值为.2如图，直三棱柱abc-a1b1c1中，abc是等边三角形，d是bc的中点(1)求证：a1b平面adc1；(2)若abbb12，求a1d与平面ac1d所成角的正弦值(1)证明因为三棱柱abc-a1b1c1是直三棱柱，所以四边形a1acc1是矩形连接a1c交ac1于o，则o是a1c的中点，又d是bc的中点，所以在adc1中，oda1b，因为a1b平面adc1，od平面adc1，所以a1b平面adc1.(2)解因为abc是等边三角形，d是bc的中点，所以adbc.以d为原点，建立如图所示空间坐标系d-xyz.由已知abbb12，得d(0,0,0)，a(，0,0)，a1(，0,2)，c1(0，1,2)则(，0,0)，(0，1，2)，设平面ac1d的法向量为n(x，y，z)，由得取z1，则x0，y2，n(0,2,1)，又(，0,2)，cos ，n，设a1d与平面adc1所成角为，则sin |cos ，n|，故a1d与平面adc1所成角的正弦值为.3如图，四边形abcd为矩形，pd平面abcd，pdqa，qaadpd.(1)求证：平面pqc平面dcq；(2)若二面角q-bp-c的余弦值为，求的值(1)证明设ad1，则dq，dp2，又pdqa，pdqaqd45，在dpq中，由余弦定理可得pq.dq2pq2dp2，pqdq，又pd平面abcd，pddc，cdda，dapdd，cd平面adpq.pq平面adpq，cdpq，又cddqd，pq平面dcq.又pq平面pqc，所以平面pqc平面dcq.(2)解如图，以d为坐标原点，da，dp，dc所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系d-xyz.设ad1，abm(m0)依题意有d(0,0,0)，c(0,0，m)，p(0,2,0)，q(1,1,0)，b(1,0，m)，则(1,0,0)，(1,2，m)，(1，1,0)，设n1(x1，y1，z1)是平面pbc的法向量，则即因此可取n1(0，m,2)设n2(x2，y2，z2)是平面pbq的法向量，则即可取n2(m，m,1)又二面角q-bp-c的余弦值为，|cos n1，n2|.整理得m47m280.又m0，解得m1.因此，所求的值为1.通关演练b组(建议用时：45分钟)1在正三棱柱abc-a1b1c1中，ab2，aa1，点d为ac的中点，点e在线段aa1上(1)当aeea112时，求证debc1；(2)是否存在点e，使二面角d-be-a等于60，若存在求ae的长；若不存在，请说明理由(1)证明连接dc1，因为abc-a1b1c1为正三棱柱，所以abc为正三角形，又因为d为ac的中点，所以bdac，又平面abc平面acc1a1，所以bd平面acc1a1，所以bdde.因为aeea112，ab2，aa1，所以ae，ad1，所以在rtade中，ade30，在rtdcc1中，c1dc60，所以edc190，即eddc1，又bddc1d，所以ed平面bdc1，bc1面bdc1，所以edbc1.(2)解假设存在点e满足条件，设aeh.取a1c1的中点d1，连接dd1，则dd1平面abc，所以dd1ad，dd1bd，分别以da，db，dd1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系d-xyz，则a(1,0,0)，b(0，0)，e(1,0，h)，所以(0，0)，(1,0，h)，(1，0)，(0,0，h)，设平面dbe的一个法向量为n1(x1，y1，z1)，则令z11，得n1(h,0,1)，同理，平面abe的一个法向量为n2(x2，y2，z2)，则n2(，1,0)cos n1，n2cos 60.解得h，故存在点e，当ae时，二面角d-be-a等于60.2如图，在四棱锥p-abcd中，平面pac平面abcd，且paac，paad2.四边形abcd满足bcad，abad，abbc1.点e，f分别为侧棱pb，pc上的点，且.(1)求证：ef平面pad.(2)当时，求异面直线bf与cd所成角的余弦值；(3)是否存在实数，使得平面afd平面pcd？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由(1)证明由已知，efbc，又bcad，efad，而ef平面pad，ad平面pad，ef平面pad.(2)解因为平面abcd平面pac，平面abcd平面pacac，且paac，pa平面abcd.paab，paad.又abad，pa，ab，ad两两垂直如图所示，建立空间直角坐标系abbc1，paad2，a(0,0,0)，b(1,0,0)，c(1,1,0)，d(0,2,0)，p(0,0,2)，当时，f为pc中点，f，(1,1,0)，设异面直线bf与cd所成的角为，cos |cos ，|.故异面直线bf与cd所成角的余弦值为.(3)解设f(x0，y0，z0)，则(x0，y0，z02)，(1,1，2)，又(，22)，设平面afd的一个法向量为m(x1，y1，z1)，则即令z1，得m(22,0，)设平面pcd的一个法向量为n(x2，y2，z2)则即取y21，则x21，z21，n(1,1,1)，由mn，得mn(22,0，)(1,1,1)220，解得.3在等腰梯形abcd中，adbc，adbc，abc60，n是bc的中点，将梯形abcd绕ab旋转90，得到梯形abcd(如图)(1)求证：ac平面abc；(2)求证：cn平面add；(3)求二面角a-cn-c的余弦值(1)证明adbc，n是bc的中点，adnc，又adbc，四边形ancd是平行四边形，andc，又abc60，abbnad，四边形ancd是菱形，acbdcb30，bac90，即acab，又平面cba平面abc，平面cba平面abcab，ac平面abc.(2)证明adbc，adbc，adada，bcbcb，平面add平面bcc，又cn平面bcc，cn平面add.(3)解ac平面abc，ac平面abc.如图建立空间直角坐标系，设ab1，则b(1,0,0)，c(0，0)，c(0,0，)，n，(1,0，)，(0，)，设平面