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第七章 热学基础 7 1 如设单位摩尔气体的尺度约为 10 1m 量级 一个气体分子约为 10 9m 量级 试估算宏 观气体系统是由多大数量级的微观粒子组成的 7 2 较重的原子核可视为由质子 中子等组成的热学系统 试说明这里的 宏观系统 和 微观粒子 分别是谁 答 在此情况下 热学 系统指是原子核 这里 系统 宏观 说明它具有热力学属 性 而非一般意义上的宏观分类 7 3 无规则热运动首先由生物学家布朗在观察悬浮在水中的细小花粉颗粒运动时发现 有 人说 热运动就是指花粉颗粒的无规则运动 这种说法正确吗 进一步的 若将水加 热 花粉颗粒运动更加剧烈 这又说明了什么道理 答 不正确 热运动指的是水分子的无规则运动 当温度上升 水分子热运动加剧 从 而导致花粉运动加剧 7 4 讨论热力学第零定律在温度概念引进中的必要性 答 略 7 5 若一个物体的某种状态量与其物质的量成正比 该状态量属于广延量 若状态量与物 质的量没有关系 则属于强度量 试分析理想气体的三个状态量谁属于广延量 谁又 属于强度量 答 体积 面积 质量 内能等物理量与物质的量有关 因此是广延量 压强温度等物 理量与物质的量无关 因此是强度量 7 6 有一氧气瓶 其容积为 32 升 压力为 130 大气压 当压力降到 10 大气压时 就应重 新充气 某工厂若平均每天用 1 大气压下的氧气 400 升 试问 在温度不变的情况下 一瓶氧气能用多少天 解 设温度为 T 出厂氧气质量为 M1 最后质量为 M2 每天用氧气质量 M 故有 RT M vp 1 1 RT vp 1 1 M RT M vp 2 2 RT vp 2 2 M RT M vp RT vp M 天6 9 4001 32 10130 2121 vp vpp M MM M M t 7 7 测定气体摩尔质量的一种方法是 容积为 V 的容器内装满被测的气体 测出其压力为 P1 温度为 T 并称出容器连同气体的质量 M1 然后放出一部分气体 使压力降到 P2 温度仍不变 再称出容器连同气体的质量 M2 试由此求出该气体的摩尔质量 解 设容器本身的质量为 M 则二状态分别满足 RT MM VP 1 1 RT MM VP 2 2 联立求解 得 VPP TRMM 21 21 7 8 水银气压计混进了一个气泡 因此它的读数比实际的气压小些 当精确的气压计的水 银柱高为 768 毫米时 它的水银柱高只有 748 毫米 此时管中水银面到管顶的距离为 80 毫米 试问 此气压计的水银柱高为 734 毫米时 实际气压应是多少 把气泡中气 体当作理想气体 并设温度不变 解 设管的截面积为 S 混进管内气体的质量为 M 0 下标对应精确气压计值 又因是等温过程 RT M SlpSlp 2211 Q mmHgp20748768 1 mml80 1 mmHgp768 01 Q mml9473480748 2 mmHgp17 94 8020 2 PammHgp 5 02 10001 175117734 7 9 两个空气容器 A 和 B 经装有阀门的细管相联 容器 A 浸入温度保持为 t1 100 的水槽 中 而容器 B 浸入温度保持在 t1 20 的冷却剂中 开始时 两容器的空气彼此被阀 门分开 容器 A 中的压力等于 P1 5 33 104帕 容器 B 中的压力 P2 2 00 104帕 如 果 A 的容积 V1 250 厘米 3 而 B 的容积 V 2 400 厘米 3 求阀门打开后的稳定压力 解 开始时 1 1 11 RT M VP 2 2 22 RT M VP 打开活塞混合后 1 1 1 RT M PV 2 2 2 RT M PV 又 2121 MMMM 768mmHg 748mmHg 80mm 768mmHg 748mmHg 80mm 768mmHg 748mmHg 80mm 768mmHg 748mmHg 80mm 题 7 8 图 联立可解得 224 2 2 1 1 2 22 1 11 mmHg T V T V T VP T VP P 7 10 若太阳中心压强由 22 3 2 RGP 给出 其中 和 R 分别是太阳的平均密度和半径 G 为引力常数 试估算太阳中心的温度 假设其中心主要由氢原子核组成 第八章 热力学第一和第二定律 8 1 P1 120 大气压 体积 V1 1 0 升 温度 t1 27 的状态 经 1 绝热膨胀 2 等温膨 胀 3 自由膨胀 体积增至 V2 5 0 升 求这三个过程中气体对外所作的功及末状态 的压力值 解 1 绝热膨胀 2211 VPVP a PP V V P 6 1 2 1 2 1028 1 4 1 JVPVPA 4 2211 1044 1 1 1 2 2211 VPVP a PP V V P 6 1 2 1 2 1043 2 J V V VPA 4 1 2 11 1095 1ln 3 自由膨胀 T 不变 气体对外不作功 所以有0 A a P V VP P 6 2 11 2 1045 2 8 2 将 416 8 焦耳的热量传给标准状态下的 5 00 103千克的氢气 CV m 20 331 焦耳 摩尔 1 若体积不变 这热量变为什么 氢的温度为多少 2 若温度不变 这热量变为什么 氢的压力及体积变为多少 3 若压力不变 这热量变为什么 氢的温度和体积变为多少 解 1 V 不变 UAQ Q PaPJQ 5 1 10013 1 8 416 KT15 273 1 KgM 3 105 0 A TR M UQ 2 5 K R M Q T05 8 2 5 KT2 28105 815 273 2 T 不变 0 U 1 2 1 V V LnRT M AQ 077 1 1 1 2 MRT Q e V V 111 RT M VP Q 32 1 1 1 106 5m P MRT V 1003 6077 1106 5 322 2 mV 1041 9 2 11 2 Pa V VP P 3 P 不变 TC M Q P 85 5 2 7 K RM Q T 0 2797 515 273 2 KT 1 1 2 2 T V T V 32 1 2 11 21 1 2 12 1072 5m P MRT TP TMRT T T VV JVVPA6 121 211 JTR M U0 299 2 5 计算结果AUQ 是因为 Cp 和 Cv 近似取值 若取实验值331 20 v C 646 28 P C 可得 KT845 5 KT0 279 2 JU1 297 8 3 有 20 0 升的氢气 温度为 27 压强为 P 1 25 105帕 设氢气经 1 等温过程 2 先等压后绝热过程 3 先绝热后等压 4 先等压后等容变化到体积为 40 0 升 温 度为 27 的状态 试计算内能增量 对外作的功和外界传给氢气的热量 解 lV20 1 Q a PP 5 1 1025 1 KT300 1 lV40 2 KT300 2 TC M U v 1 等温过程 J V V VPWQ 3 1 2 11 1073 1ln 2 先等压后绝热 如图 因为绝热过程中 0 Q 13213132 AQQ 而 2 7 2 7 13 1 11 1313 TTR RT VP TTR M Q 31 3 3 1 1 T V T V V 1 3 2 绝热 等温 1 3 2 绝热 等温 p V 1 3 2 绝热 等温 1 3 2 绝热 等温 p 23 1 21 1 33 VTVT 7 365300 20 40 4 1 14 1 1 1 1 2 3 KT V V T 1916 3007 365 2 7 300 10201025 1 35 132132 JAQ 3 先绝热后等压 0 0 14214 UQQ 14242142 AQQ 同 2 4 4 1 2 T V T V 246 1 1 2 1 4 1 11 1 44 KT V V TVTVT 10575 1 3 142142 JAQ 4 先等压后等容 0 52 WQ 0152 U 12115152152 VVpAAQ 250010 2040 1025 1 35 J 8 4 如题 8 4 图所示 使一系统沿路径 ACB 从状态 A 变到状态 B 时 这系统吸收 335 焦 耳的热量 对外作了 126 焦耳的功 1 如果这系统经路径 ADB 作功 42 焦耳 系统 将吸收多少热量 2 要使系统沿曲线从状态 B 回到状态 A 外界需对系统作功 84 焦耳 该系统是吸收还是放出热量 其数量是多少 3 如果 UD UA 40 焦耳 试 求沿 AD 及 DB 各吸收热量多少 解 热力学第一定律AQU 已知 JQACB335 已知系统对外界作功JAACB126 系统内能改变JJUUU ABBA 209 126335 1 根据热力学第一定律AQU 已知系统对外界作功JAADB42 系统内能改变JUUU AB 209 1 2 4 1 2 4 等温等温 p V 绝 热 绝 热 1 2 4 1 2 4 等温等温 p V 绝 热 绝 热 p 1 5 2 V p 1 5 2 V V P DA BC V P DA BC 题 8 4 图 JAUQ ADBADB 25120942 0251 JQADB 吸热 2 系统从 B 沿曲线到 A 对外界作功JA AB 82 系统内能改变JUUU BAAB 209 JAUQ ABABAB 29120982 是放热 3 系统内能改变JUUU ADAD 40 又已知系统对外界作功JAA ADADB 42 JAUQ ADADAD 824240 是吸热 JUUU ABAB 209 Q JUUU ADAD 40 Q JUUU DBDB 169 0 DB AQ JUQ DBDB 169 是吸热 8 5 题 8 5 图为一理想气体的可逆循环 其中 MN 为等温线 NK 为绝热线 请在表中填写 各分过程中各增量函数的符号 表示增加 表示减少 0 表示不变 解 1 等压膨胀0 0 0 ATV 0 0 AUQU 0 V dV RdTCdS v 2 等容过程0 0 AV 0 0 0 UQUT 0 T Q 3 等温压缩 0 0 0 0 UTAV 0 T S S 0 AQ 4 绝热过程0 0 0 0 UT 0 0 S T dA T dl dS Q W U T S 等压过程 KL 等容过程 LM 0 等温过程 MN 0 0 绝热过程 NK 0 0 8 6 下图所表示的是理想的狄塞尔 Diesel 内燃机的工作循环 它由两条绝热线 ab cd 和一条定压线 bc 一条定容线 da 组成 求其热机效率 解 0 cdab QQ绝热过程Q 吸热等压过程 bCPbc TTCQ Q 放热等容过程 daVbc TTCQ Q abcdabcdabcd QAU 0 又 bC ad bc dabc bc abcd TT TT Q QQ Q A 1 1 3 1 1 VTVTba ba 绝热Q Cb T V T V cb 23 等压Q 1 1 1 2 VTVTdc dC 绝热Q 2 3 V V TT Cb 1 1 2 V V TT Cd 1 1 3 2 3 1 1 3 V V V V T V V TT Cba 11 32 1 1 32 VVV VV TT TT bC ad V P a V2V1V3 b c d V P a V2V1V3 b c d 题 8 6 图 8 7 1 摩尔单原子理想气体进行如题 8 7 图所示的循环过程 其中 A B 为等温过程 B C 为等压过程 C A 为等容过程 已知 tA 200 VA 3 00 升 VB 6 00 升 求循环的热 效率 解 因为 TA TB 473 15K A B C B V V T T Q K T V V TT B B A BC 57 236 2 A B 过程吸热 KJ V V RTQ A B AAB 4 2725ln C A 过程吸热 KJRTTCQ CAVCA 8 2948 57 23615 473 5 1 B C 过程放热 KJRTTCQ BCPBC 5 491875 2365 2 3 13 1 CAAB BC QQ Q Q QQ 吸 放吸 8 8 有一动力暖气装置如下图所示 热机从温度为 t1的锅炉内吸热 对外作功带动一热机 制冷机自温度为 t3的水池中吸热传给暖气系统 t2 此暖气系统同时作为热机的冷却器 若 t1 210 t2 60 t3 15 煤的燃烧值为 H 2 09 107焦耳 千克 问锅炉每燃烧 1 0 千克的煤 暖气中的水得到的热量 Q 是多少 设两部机器都作卡诺可逆循环 解 由图知 1 2 1 1 T T Q A Q 1 1 21 Q T TT A 可得 1 1 2 12 Q T T AQQ 32 33 TT T A Q Q 所以A TT T A TT T AQQ 32 2 32 3 32 1 1 1 21 32 2 2 Q T TT TT T Q kgJQ 1024 6 7 V P A B C V P A B C 题 8 7 图 1 Q 1 T 2 T 3 T 2 Q Q2 3 Q A 1 Q 1 T 2 T 3 T 2 Q Q2 3 Q A 题 8 8 图 1 321 312 1 321 212 1 2 22 Q TTT TTT Q TTT TTT T T QQQ 8 9 试求 1 千克的水在 1 大气压下进行如下过程的熵变 已知在 1 大气压下水的熔解热是 333kJ kg 汽化热是 2256kJ kg 等压热容是 4 2kJ kg K 1 100 水汽化为 100 的水蒸汽 2 0 的水转变为 100 的水蒸汽 3 水结成冰的过程中的熵变 解 1 1atm 1 013 105Pa 水等温汽化设为准静态过程 KJ T QM S 1005 6 15 373 1007 4 1018 1 3 4 3 2 可逆 2 0 的水升温至 100 水的过程 可设计为在一个大气压下的等压准静态过程 273 373 ln 1018 3 75 1018 1 3 373 273 3 373 273 1 T dTC T QM S P 可逆 KJSSS 1036 7 1005 610305 1 333 21 3 水结成冰的过程视为等温准静态过程 KJ T QM S 1023 1 273 1001 6 1018 1 3 3 3 可逆 8 10 一摩尔氧气原处于标准状态 经 1 准静态等温过程体积膨胀至 4 倍 2 先经准静 态等压过程体积膨胀至 4 倍 然后再经等容冷却至 1 中达到的末态 分别计算在这 两个过程中熵的增量 解 解法 1 可逆 B A AB T Q SSQ 等温等温 B A B A AB T PdV T Q SS 4lnln R V V R V RdV A B B A 等温 等容等压 B C C A AB T Q T Q SS 等容等压 B C V C A P T dTC T dTC ln ln ln ln CBVACP TTCTTC BA TT Q ACCA TVTV Q 4 AC VVQ V P 1 2 A B C V P 1 2 A B C 题 8 10 图 代入上式得 CAAB TRTRSSlnln KJR T T R A C 5 114lnln 解法 2 把熵作为状态参量的函数表达式推导出来 再将初末两态的参量值代入 从而算出 熵变 00 0 lnln V V R T T CSS V 题中 A B 态同在一条等温线上 且体积之比为 1 4 的一摩尔氧原子 A B A B VAB V V R T T CSSlnln 4lnlnR V V RSS A B AB 8 11 将 1 0 摩尔的氢气和 1 0 摩尔的氮气装在相邻的两个容器中 其压力和温度均为 P 和 T 如果把两个容器连通 使氢气和氮气相互混合 求总熵变 解 根据熵的可加性可分别求氢气 氮气的熵变 再求其和 氢 氮气分子混合前 后温度相同 氢气初态 P T V 末态 P1 T 2V 在初末态之间设计准静态等温过程求氢气熵变 00 0 lnln V V R T T CSS V Q 2ln 101 RSS 同理 可求氮气熵变 2ln 202 RSS 开焦耳 5 112ln2 202101 RSSSS 8 12 推导理想气体的宏观熵变的表达式 P dP R T dT C V dV C P dP C V dV R T dT CdS PPVV 解 理想气体准静态可逆过程 PdV T dTC M TT dW T dV dS V 11 R M VT P RT M PV 1 8 13 强光照射物体 可以使物体的温度上升 导致物体内能的改变 试问这一过程属于热 量传递还是广义的作功 答 属于广义的作功 原因是强光 如红外线 本身并不是热 所以并非热量传递 8 14 储气瓶中的二氧化碳急速喷出 瓶口处会出现固态的二氧化碳 干冰 为什么 答 压缩气体喷出对外界作功 气体冷却变为干冰 8 15 日常生活中有 摩擦生热 的提法 从物理上讲正确的表述是什么 答 正确的说法是由于摩擦作功 使系统温度升高或内能增加 8 16 有人说 只有温度改变时 才有吸热或放热现象 这种说法正确吗 试举例说明之 答 不正确 如等温膨胀 压缩 等过程中 又如相变过程 8 17 微元 dW dQ 和 dU 与具体微元过程有关吗 微元 T dQ 呢 答 dW 和 dQ 与具体过程有关 dU 和 T dQ 与具体过程无关 8 18 参考 4 2 节关于开尔文表述与克劳修斯表述等价性的证明 试用反证法证明卡诺定理 与克劳修斯表述的等价性 答 参见旧版教材 289 页 8 19 等温膨胀过程的熵变大于零 有人说这表明此过程是不可逆过程 这种说法正确吗 答 不正确 等温膨胀过程 并非一个循环过程 所以用熵变是否为零不能表明是否为 可逆过程 8 20 基于克劳修斯表述证明两条绝热线不可能相交 答 反证法 若两条绝热线相交 则违背克劳修斯表述 8 21 定 义 状 态 量 焓PVUH 对 准 静 态 且 只 有 压 强 作 功 的 过 程 证 明 VdPTdSdH 并说明该量在等压过程中的物理意义 答 由VdPPdVdUPVddUdH 又由热力学基本方程PdVdUTdS 所以 VdPTdSdH 显然 在等压条件下 有TdSdQdH 即等压条件下 焓这一状态量的变化反 映了热量传递的多少 8 22 据载 一小孩在夏季午睡时由于长时间压着一个一次性打火机 导致火机破裂 其皮 肤轻度冻伤 试思考其中的物理原因 答 打火机中液体发生气化相变 吸收热量导致小儿冻伤 8 23 一般来说 物体吸热 放热 温度上升 下降 其热容量为正值 但是 对于自引 力系统 热容量可能取负值 试以第一章例 1 3 为例说明之 答 以第一章例 1 3 的自引力系统为例 星体向外放热后 损失的能量要靠星体不断塌 缩以释放引力势能来补偿 但星体收缩导致压强增加 使温度升高直至 点燃 核燃料继续核反应 在上述热学平衡机制中 恒星放热导致温度上升 故而此过程 中热容量为负值 V dV R T dT C V dV R T dT CdS VmV 第九章 热平衡态的统计规律 9 1 一氦氖气体激光管 工作时管内温度是 27 压力是 2 4 毫米汞高 氦气与氖气的压 强比是 7 1 问管内氦气和氖气的分子数密度各是多少 解 7 1 7 2 1 21 p p pppQ 3 0 8 4 2 8 2 mmHg p p 1 2 1 mmHgp 1076 6 322 1 111 m KT p nKTnp 1066 9 321 222 mnKTnp 9 2 水蒸气分解成同温度的氢气和氧气 内能增加百分之几 不计分子的振动自由度 解 222 22OHOH Q 所以 2 摩尔的水分解成 2 摩尔的氢和 1 摩尔的氧气 RT i U 2 Q RTU OH 2 2 6 2 RTUH 2 2 5 2 RTUO 1 2 5 2 0 0 25 12 1215 2 222 OH OHOH U UUU 9 3 一能量为 1012电子伏特 1 电子伏特 1 602 10 19焦耳 的宇宙射线粒子射入一氖管中 氖管中含有氖气 0 1 摩尔 如果宇宙射线粒子的能量全部被氖气分子所吸收 问氖气 温度将升高多少度 解 10 2 3 12 evTRUE 内能Q 1 0 Q k R E T 7 1028 1 3 2 9 4 2 0 克的氢气装在容积为 20 升的容器内 当容器内压力为 1 20 105帕时 氢分子的平 均平动动能是多少 总内能是多少 解 k MR pv T8 288 Q JkT k 21 1098 5 2 3 pVJRTV M U 2 5 100 6 2 5 3 9 5 飞机在起飞前 舱中的压力计指示为 1 0 大气压 温度为 27 起飞后 压力计指示 为 0 80 大气压 温度仍为 27 试计算飞机距地面的高度 空气的平均摩尔质量 29 10 3千克 摩尔 解 3 1029 0e z RT g PP Q 1957 ln 0 m RT g p p z 9 6 我国的拉萨市海拔约为 3600 米 设大气温度处处相同 1 当海平面上的气压为 1 大 气压时 求拉萨的气压 温度按 27 计 2 若某人在海平面上每分钟呼吸 17 次 问他在拉萨应呼吸多少次 才能吸入同样质量的空气 解 1 30031 8 36008 91029 00 3 ePePP z RT g atmP 66 0 66 0 0 2 RT M VpVp 2211 pVVp 17 00 0 00 26 17 V p pV V 26 次 分 9 7 试说明下列各函数式的物理意义 f u 是麦克斯韦速率分布函数 1 dvN dN vf Q为平衡态下的气体分子出现在 v 附近单位速率间隔中的几率或者说 其速率在 u 附近单位速率间隔中的分子数占总分子数的比率 2 N dN dvvf 为平衡态下的气体分子出现在速率 v 附近 dv 速率间隔中分子数占总分 子数的百分比 3 dNdvvNf 为平衡态下的气体分子出现在速率 v 附近 dv 速率间隔中分子数 4 2 1 2 1 v v v v N dN dvvf为平衡态下分子速率在 v 1到 v2 速率间隔中分子数占总分子数的 百分比 5 2 1 2 1 v v v v dNdvvNf为平衡态下分子速率在 v1到 v2速率间隔中的分子数 6 N vdN dvvvf v v v v 2 1 2 1 无明确的物理意义 7 2 1 2 1 v v v v vdNdvvNvf为平衡态下分子速率在 v1到 v2区间的所有分子速率之和 9 8 设 N 个粒子系统的速率在v v dv 内的分子数为 0 v v dN kdvdN 为常数 Vv 0 kvV 1 试画出速率分布函数图 2 用 N 和 V 定出常数 k 3 用 V 表示v和方均根速率 vrms 解 1 速率分布函数如图所示 2 1 00 V dv N k dvvfQ V N k 3 V dv N k vdvvvfv 00 Q 22 2 V V N N V v V rms dv N k vdvvfvv 0 2 0 22 Q 33 3 V V N N V vrms 9 9 导体中自由电子的运动 可看作类似于气体分子的运动 故称电子气 设导体中共有 N 个自由电子 其中电子的最大速率为 uF 称为费米速率 电子在 u u du 之间的概 率为 0 0 4 2 F F uu uuduu N A N dN 1 画出分布函数图 2 用 N uF定出常数 A 3 求电子气中的电子的平均平动动能 k 解 1 分布函数如图所示 2 14 00 2 F u NduAuduuf Q f u u V f u u V 1 速率分布函数图 o u f u uF u uF o u f u uF u uF 1 分布函数图 3 3 4 3 1 3 14 F F u N Au N A 即 3 0 34 3 42 du u u du N Au duuf F Q 24 0 3 0 22 5 33 F u F u uduu u duufuu FF Q Fk um 5 3 2 1 2 9 10 在麦克斯韦速率分布中求速率在 vp vp 0 01vp之间的分子数占总分子数的百分比 解 2 4 2 u u e uduN dN uf p u u p p Q duuuu p 01 0Q 因此 速率在 vp vp 0 01vp之间的分子数占总分子数的百分比 83 001 0 4 01 0 4 12 2 eu u u e u duuf N N p p u u p p 9 11 设 H2的温度为 300 求速度大小在 3000 米 秒到 3010 米 秒之间的分子数 与速 度大小在 vp到 vp 10 米 秒之间的分子数 N2之比 解 因为v 很小dvv dvve KT NdNN KT mv 2 22 3 2 2 4 2 2 2 2 2 2 1 2 22 2 2 p v vv p KT mv KT mv v v e ve ve N N p p 1076 4 102 57331 8222 26 3 2 m RT m KT vp 78 0 2 1 N N 9 12 若一宇宙飞船的体积 V 27 米 3 舱内压力 p 0 1 大气压 温度取与 300 v米 秒相应 的值 在飞行中被一陨石击中而在壁上形成一面积为 1 厘米 2 的小孔 以致舱内空气 逸出 问经多久舱内压力将降到 0 1 p e p 设温度不变 解 t 时刻舱内压强为 p 舱外为真空 dt 时 舱内净减分子数dts vn dN 4 又因为 V N n nkTp kTsdt V vn kT V dN dnkTdp 4 得 t p p dt