大学物理C1第七章振动.pdf

第三篇振动和波动第三篇振动和波动 振动和波动是横跨物理学不同领域的一种非常 普遍而重要的运动形式 振动和波的基本原理是声 学 光学 电工学等科学技术部门的理论基础 振动和波动是横跨物理学不同领域的一种非常 普遍而重要的运动形式 振动和波的基本原理是声 学 光学 电工学等科学技术部门的理论基础 共同特征 共同特征 运动在时间 空间上的周期性运动在时间 空间上的周期性 振动 振动 任何物理量在某一定值附近随时间周期性变化任何物理量在某一定值附近随时间周期性变化 波动 波动 振动在空间的传播振动在空间的传播 掌握振动的规律是研究波动的前提掌握振动的规律是研究波动的前提 基基基基 本本本本 要要要要 求求求求 1 掌握掌握简谐振动的定义 回复力 动力学方程和 运动学方程 简谐振动的定义 回复力 动力学方程和 运动学方程 2 掌握掌握简谐振动的特征量 振动曲线简谐振动的特征量 振动曲线 3 掌握并熟练应用掌握并熟练应用旋转矢量法分析解决有关简谐振 动的问题 旋转矢量法分析解决有关简谐振 动的问题 4 理解理解简谐振动的能量简谐振动的能量 5 掌握掌握同方向同频率简谐振动的合成同方向同频率简谐振动的合成 6 了解了解拍现象 互相垂直简谐振动的合成拍现象 互相垂直简谐振动的合成 第七章振动第七章振动 7 了解了解阻尼振动和受迫振动阻尼振动和受迫振动 7 1 简谐振动的模型简谐振动的模型 回顾中学内容 简谐振动模型回顾中学内容 简谐振动模型 集中弹性集中弹性 集中质量集中质量 弹簧振子弹簧振子 M k 0 m弹 弹 0 则则x2比比x1较早达到正最大较早达到正最大 称称x2 比比x1 超前超前 或或x1 比比x2 落后落后 超前 落后以超前 落后以 的相位角来判断的相位角来判断 x2 T x o A1 A1 A2 A2 x1 t 2 超前于超前于1 0 t 0 o x x t t t 0 x A cos t 0 A r A r cos tAx v t x v d d t 0 t t t 0 x sin tR sin tvvx sin tA 2 2 d d t x a cos 2 tA n a cos 2 tR cos taa nx 7 3 简谐振动的描述简谐振动的描述 三 旋转矢量法三 旋转矢量法 7 3 简谐振动的描述简谐振动的描述 旋转矢量旋转矢量A与简谐振动的对应关系与简谐振动的对应关系 a 2Acos t 加速度加速度A端点的加速度在端点的加速度在ox上的投影上的投影 x Acos t 位移位移A在在ox上的投影上的投影 v Asin t 速度速度A端点的速度在端点的速度在ox上的投影上的投影 t 相位相位t时刻 时刻 A与与ox夹角夹角 T 2 振动周期旋转周期振动周期旋转周期 初相初相t 0时 时 A与与ox夹角夹角 角频率角速度角频率角速度 A 符号或表达式符号或表达式 振幅振幅 谐振动谐振动 模模 旋转矢量旋转矢量A 用旋转矢量用旋转矢量A在坐标轴上的投影描述简谐振动在坐标轴上的投影描述简谐振动 7 3 简谐振动的描述简谐振动的描述 旋转矢量法优点 直观地表达谐振动的各特征量 便于解题 特别是确定初相 便于振动合成 旋转矢量法优点 直观地表达谐振动的各特征量 便于解题 特别是确定初相 便于振动合成 2 3 0 2 0 0 v x 0 0 v x 0 0 v x 0 0 v x x 7 3 简谐振动的描述简谐振动的描述 利用旋转矢量利用旋转矢量 1 画出振动曲线图画出振动曲线图 O x t t 0s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3 x 69 12 理解振动曲线与旋转矢量之间的关系理解振动曲线与旋转矢量之间的关系 1 1 xt 20t 0A r A tA r t 0 x x 绕绕O点以角速度点以角速度 逆时针旋转的矢量 在逆时针旋转的矢量 在x 轴上的投影正好描述了一个简谐振动 轴上的投影正好描述了一个简谐振动 tA r 振幅矢量振幅矢量 t 相位相位 7 3 简谐振动的描述简谐振动的描述 2 求初相和相位求初相和相位 cos tAx 7 3 简谐振动的描述简谐振动的描述7 3 简谐振动的描述简谐振动的描述 3 比较同频率简谐振动的步调比较同频率简谐振动的步调 O x A1 A2 N M QP 1 2 点点Q的振动比点的振动比点P的振动超前 相位 的振动超前 相位 2 1 时间 时间 12 t 4 分析振动的合成 下面讲 分析振动的合成 下面讲 例2例2一质点在一质点在x轴上作简谐振动 振幅轴上作简谐振动 振幅A 4cm 周期 周期T 2s 其平衡位置取坐标原点 若 其平衡位置取坐标原点 若t 0时刻质点第一次 通过 时刻质点第一次 通过x 2cm处 且向处 且向x轴负方向运动 再过多久质点 第二次通过 轴负方向运动 再过多久质点 第二次通过x 2cm处 处 解 解 由旋转矢量法作图 由图可知质点振动的初相为 由旋转矢量法作图 由图可知质点振动的初相为 3 2 那么两次通过那么两次通过x 2cm处 即时 间由 处 即时 间由0到到t矢量间夹角为 所以矢量间夹角为 所以 3 2 s 3 2 32 3 2 T Tt 小结 小结 熟练运用旋转矢量法解决问题熟练运用旋转矢量法解决问题 x cm 2 v t 0 3 2 t 7 3 简谐振动的描述简谐振动的描述7 3 简谐振动的描述简谐振动的描述7 4 简谐振动的能量简谐振动的能量 无阻尼弹簧振子系统无阻尼弹簧振子系统 sin cos 0 0 tAv tAx 以平衡位置为坐标原点以平衡位置为坐标原点 x ox 0 sin 2 1 sin 2 1 2 1 222222 k tkAtmAmvE 振动系统动能 振动系统动能 孤立谐振动系统机械能守恒孤立谐振动系统机械能守恒 以弹簧振子所在水平面为重力势能零点以弹簧振子所在水平面为重力势能零点 x ox 0 7 4 简谐振动的能量简谐振动的能量 cos 2 1 2 1 222 P tkAkxE 振动系统势能 振动系统势能 恒量 恒量 2 2 1 kAEEE kp 振动系统机械能 振动系统机械能 倍的变化频率为倍的变化频率为2 pk xEE 彼此变化步调相反彼此变化步调相反 pk E E E t 曲线曲线 能量随时间的变化能量随时间的变化 E x曲线曲线 能量随空间的变化能量随空间的变化 7 4 简谐振动的能量简谐振动的能量 例3例3一个弹簧振子 弹簧的劲度系数一个弹簧振子 弹簧的劲度系数k 25N m 当物 体以初动能 当物 体以初动能0 2J和初势能和初势能0 6J振动时 求 振动时 求 1 振幅 振幅 2 位移是多大时势能和动能相等 位移是多大时势能和动能相等 3 位移是振幅的一半时 势能是多少 位移是振幅的一半时 势能是多少 解 解 1 由孤立谐振动系统机械能守恒可知由孤立谐振动系统机械能守恒可知 2 2 1 00 kAEEE PK 得振幅为 得振幅为 k EE A PK 2 00 25 6 02 0 2 m 253 0 7 4 简谐振动的能量简谐振动的能量 2 由题意由题意 22 1 2 E kxEP 所以位移为所以位移为 3 当时 势能为当时 势能为 2 A x 小结 小结 掌握能量表达式及其与振动物理量间的关系掌握能量表达式及其与振动物理量间的关系 k E x k EE PK 00 25 6 02 0 179 0 m 2 8 1kA 2 2 2 1A kEP E 4 1 2 0 J 7 4 简谐振动的能量简谐振动的能量 解析方法 解析方法 设两个振动具有相同频率 同 一直线上运动 有不同的振幅和初相位 设两个振动具有相同频率 同 一直线上运动 有不同的振幅和初相位 一 同一直线上同频率谐振动的合成一 同一直线上同频率谐振动的合成 cos 111 tAtx cos 222 tAtx 21 txtxtx tAA cos coscos 2211 tAA sin sinsin 2211 tAtA sinsincoscos cos tA 结论 结论 仍然是同频率 的简谐振动 仍然是同频率 的简谐振动 合振幅合振幅 cos 2 1221 2 2 2 1 AAAAA式中 式中 2211 2211 coscos sinsin arctan AA AA 7 5 简谐振动的合成简谐振动的合成 几何方法几何方法 x y 1 A v 1 2 A v 2 22cos A 22sin A 11sin A 11cos A A v 21 AAA vvv 平行四边形整体旋 转 其对角线为简谐振 动的旋转矢量 合振动 仍为该直线上同一频率 的谐振动 平行四边形整体旋 转 其对角线为简谐振 动的旋转矢量 合振动 仍为该直线上同一频率 的谐振动 cos 2 1221 2 2 2 1 AAAAA其中 其中 2211 2211 coscos sinsin arctan AA AA cos cos 221121 tAtAxxx cos tA 7 5 简谐振动的合成简谐振动的合成 L 2 1 02 12 kk 21 AAA 合振幅最大合振幅最大 2 A v A v 1 A v 1 讨论 讨论 cos 2 1221 2 2 2 1 AAAAA 合振动的强弱与两分振动相位差的关系合振动的强弱与两分振动相位差的关系 7 5 简谐振动的合成简谐振动的合成 1 A v 2 A v A v 2121 AAAAA k 12 一般情况 一般情况 3 2 2 A v A v 1 A v L 2 1 0 12 12 kk 21 AAA 合振幅最小合振幅最小 7 5 简谐振动的合成简谐振动的合成 多个同一直线上同频率谐振动的合成多个同一直线上同频率谐振动的合成 多边形法则多边形法则 n AAAA vvvv 21 特例 特例 0 min A封闭多边形 封闭多边形 n AAAA 21max 直线 直线 7 5 简谐振动的合成简谐振动的合成 例例 教材教材P222 例例7 5 1 同一直线上同一直线上n个同频率谐振动 其振幅相等而初相 依次相差一个恒量 求合振动 按多边形法则叠加 个同频率谐振动 其振幅相等而初相 依次相差一个恒量 求合振动 按多边形法则叠加 n aaaA vvv v 21 构成正多边形一部分 设该正多边形外接圆半径 构成正多边形一部分 设该正多边形外接圆半径R 1 a r n a r 2 a r A r R C O n M P x 2 sin 2 sin 1 n aA 2 sin2 n RA 2 sin2 1 Ra 7 5 简谐振动的合成简谐振动的合成 合振动最弱 合振动最弱 n k 2 多边形闭合多边形闭合A 0 2 1 0k nkk 合振动最强 合振动最强 k2 多边形直线多边形直线 1 naA 2 1 2 1 2 1 n n COMCOP 2 1 cos 2 sin 2 sin cos 1 n t n a tAx 1 a r n a r 2 a r A r R C O n M P x 7 5 简谐振动的合成简谐振动的合成7 6 阻尼振动受迫振动阻尼振动受迫振动 阻尼振动位移时间曲线阻尼振动位移时间曲线 A A