湖南长沙同升湖实验学校高三数学提高系列3 文.doc

2015文科数学提高系列（三） 一、选择题1已知集合，若，则等于a.9 b.8 c.7 d.62已知平面向量则的取值范围是a b c d 3如图，已知双曲线：的右顶点为为坐标原点，以为圆心的圆与双曲线的某渐近线交于两点.若且，则双曲线的离心率为a b c d4已知角均为锐角，且a3 b c d5如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为（ ）a. b.c. d.6若，其中，并且，则实数对表示平面上不同点的个数为（ ）a.60个 b.70个 c.90个 d.120个二、填空题7设p是函数图象上的动点，则点p到直线的距离的最小值为 8已知数列则 ，数列an的通项公式为 9在直角坐标系xoy中，直线的参数方程为（t为参数），以原点o为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c的极坐标方程为，则直线和曲线c的公共点有 个三、解答题10如图，直三棱柱中，、分别为和上的点，且.（1）求证：当时，；（2）当为何值时，三棱锥的体积最小，并求出最小体积.11在单调递增数列中，且成等差数列，成等比数列，（）（）求证：数列为等差数列；（）求数列的通项公式.（）设数列的前项和为，证明：，12已知动圆q过定点，且与直线相切，椭圆的对称轴为坐标轴，点为坐标原点，是其一个焦点，又点在椭圆上.（）求动圆圆心的轨迹的标准方程和椭圆的标准方程；（）若过的动直线交椭圆于点，交轨迹于两点，设为 的面积，为的面积，令,试求的最小值.13已知函数,，且为偶函数设集合（）若，记在上的最大值与最小值分别为,求;（）若对任意的实数，总存在，使得对恒成立，试求的最小值.参考答案1c【解析】， ，若，则，则.考点：集合的运算.2b【解析】试题分析：由于，所以向量对应的点在以为圆心，1为半径的圆上，由于圆心到原点的距离为2，所以的取值范围是为考点：向量的几何意义3b【解析】试题分析：取pq的中点d，连接ad，则，且，因为，则，由于，则，则，则，选b.考点：求离心率4a【解析】试题分析：由于均为锐角，则，考点：凑角求值5a.【解析】试题分析：直观图如图所示四棱锥，故此棱锥的表面积为，故选a.考点：空间几何体的表面积计算.6c【解析】试题分析：记a=x|x=a0+a110+a2100，求实数对（x，y）表示坐标平面上不同点的个数也就是要找x+y=636在a中的解的个数，按10进制位考察即可解：记a=x|x=a0+a110+a2100，实数对（x，y）表示坐标平面上不同点的个数等价于要找x+y=636在a中的解的个数，按10进制位考察即可首先看个位，a0+a0=6，有5种可能再往前看：a1+a1=3且a2+a2=6，有25=10种可能，a1+a1=13且a2+a2=5，有24=8种可能，所以一共有（10+8）5=90个解，对应于平面上90个不同的点故选c点评：本题考查排列、组合及其简单计数问题，解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化，属于中档题7【解析】试题分析：设点p到直线的距离为，易得在上单调递减，在上单调递增，所以考点：导数及其应用8，【解析】试题分析：当，当时，；，利用累乘法得：考点：累乘法求数列通项公式；91【解析】试题分析：将直线的参数方程为转化为直角坐标方程，将曲线c的极坐标方程为两边同时乘以，可得，整理可得，即由两点间距离公式圆心（2,2）到直线的距离为，因而此时直线与圆相切，故只有一个公共点考点：10（1）详见解析；（2）时，有最小值为.【解析】试题分析：（1）时，平行四边形为正方形，由已知得，由此即可证明；（2）设，则，由已知可得到面距离即为的边，从而可得，将其进一步转化为关于的函数，则只需求出函数最值，因此能求出当时，即时，有最小值为.试题解析：（1），分别为和的中点，又，且三棱柱为直三棱柱，平行四边形为正方形， 2分，为的中点，且三棱柱为直三棱柱，平面， 4分 又， 平面， 平面，； 6分（2）设，则，由已知可得到面距离即为的边，所对应的高， 8分（）， 10分当时，即时，有最小值为. 12分考点：1.线面垂直的判定和性质；2.空间几何体体积的计算；3.二次函数的最值.11（1）紧扣等差数列定义证明，（2）当为偶数时，当为奇数时.（3）证明见解析【解析】试题分析：要证明数列为等差数列，只需证明成立，由于数列首项为正，数列为单调递增，说以，由成等差数列，得（1），由因为，成等比数列，则，于是代入（1）式整理得：得证；先求，备用，由于数列为等差数列，可借助等差数列通项公式求出，再由求出，最后分为奇数和偶数两种情况表达，由于数列的通项公式分为奇数和偶数两种情况表达的，所以需要合在一起，合成公式是，合成后对进行放缩，这里技巧很重要，再求，最后利用裂项相消法求和达到证明不等式的目的；试题解析：（）因为数列为单调递增数列，所以（）.由题意成等差数列，成等比数列，得,，于是，化简得，所以数列为等差数列.（）又，所以数列的首项为，公差为，所以，从而.结合可得.因此，当为偶数时，当为奇数时.（2）所以数列的通项公式为：.因为,所以;则有，所以， 考点：数列与不等式12（1），；（2）；【解析】试题分析：（1）点不再直线上，到定点的距离与到一条定直线距离相等的点的轨迹为抛物线，定点为抛物线的焦点，定直线为抛物线的准线，求出抛物线的方程为，而椭圆的焦点，过，说明有，得出椭圆的方程；第二步由于直线的斜率存在，可设直线斜截式方程，与椭圆方程联立方程组，消去得关于的一元二次方程，利用设而不求思想，设出交点坐标，利用根与系数关系，写出，求出弦长，在求出到直线的距离，求出，再把直线方程与抛物线联立，消去得关于一元二次方程，同样可求出面积，最后求出的最大值；试题解析：（1）设圆心为，依题意，圆心到定点与直线的距离相等，由抛物线的定义易得动点q的轨迹m的标准方程为：，又依题意可设椭圆n的标准方程为显然有椭圆n的标准方程为 （2）显然直线m的斜率存在，不妨设直线m的直线方程为：， 联立椭圆n的标准方程，有，设则有：又a（0,2）到直线m的距离，； 再将式联立抛物线方程，有，同理易得 ，当 考点：1.定义法求轨迹方程；2.设而不求思想；3.弦长公式；4.求最值； 13【解析】试题分析:先利用函数为偶函数，求出，由于二次函数，在区间上求出最大值和最小值,求出；第二步令，由x的范围找出t范围，因，得的最大值为，从题意分析：在上，总存在连个点，使得成立，只需证明在a上对任意的t成立即可；试题解析：（1）为偶