甘肃省兰州市西北师大附中高三数学上学期12月月考试卷 理（含解析）.doc

甘肃省兰州市西北师大附中2015届高 三上学期12月月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）如果（3+i）z=10i（其中i2=1），则复数z的共轭复数为（）a1+3ib13ic1+3id13i2（5分）已知集合a=x|x1，b=x|x22x0，则ab=（）ax|x0bx|x1cx|1x2dx|0x23（5分）已知向量=+3，=5+3，=3+3，则（）aa、b、c三点共线ba、b、d三点共线ca、c、d三点共线db、c、d三点共线4（5分）若函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c0）没有零点，则的取值范围是（）a（1，+）b1，+）c（2，+）d2，+）5（5分）设f（x）是定义在r上的奇函数，当x0时，f（x）=xex（e为自然数的底数），则f（ln6）的值为（）aln6+6bln66cln6+6dln666（5分）函数y=f（x）的图象如图所示观察图象可知函数y=f（x）的定义域、值域分别是（）a5，02，6），0，5b5，6），0，+）c5，02，6），0，+）d5，+），2，57（5分）执行如图所示的程序框图，会输出一列数，则这个数列的第3项是（）a870b30c6d38（5分）已知非零向量与满足且= 则abc为（）a等边三角形b直角三角形c等腰非等边三角形d三边均不相等的三角形9（5分）一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（）ab（4+）cd10（5分）已知函数f（x）=丨x2丨+1，g（x）=kx若方程f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（）a（0，）b（，1）c（1，2）d（2，+）11（5分）函数f（x）=sinxln（x2+1）的部分图象可能是（）abcd12（5分）设f（x）是定义在r上的奇函数，且f（2）=0，当x0时，有恒成立，则不等式x2f（x）0的解集是（）a（2，0）（2，+）b（2，0）（0，2）c（，2）（2，+）d（，2）（0，2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.13（5分）已知函数f（x）=则ff（）=14（5分）过双曲线的左焦点f（c，0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为e，延长fe交抛物线y2=4cx于点p，若e为线段fp的中点，则双曲线的离心率为15（5分）已知点a是不等式组所表示的平面区域内的一个动点，点b（2，1），o为坐标原点，则的最大值是16（5分）己知函数f（x）=，an为a1=1，d=2的等差数列，则f（a1）+f（a2）+f（a3）+f（a10）=三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）设函数（）求f（x）的最大值，并写出使f（x）取最大值是x的集合；（）已知abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c若求a的最小值18（12分）在各项均为正数的等比数列an中，a1=2，且2a1，a3，3a2成等差数列（） 求等比数列an的通项公式；（） 若数列bn满足bn=112log2an，求数列bn的前n项和tn的最大值19（12分）假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元）有如下的统计资料：使用年限x23456维修费用y2.23.85.56.57.0若由资料知y对x呈线性相关关系（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据最小二乘法求出线性回归方程=x+的回归系数，（3）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？b=，a=b20（12分）如图，已知四棱锥pabcd，底面abcd为菱形，pa平面abcd，abc=60，e，f分别是bc，pc的中点（1）证明：aepd；（2）若pa=ab=2，求二面角eafc的余弦值21（12分）已知函数f（x）=x2+a（x+lnx），x0，ar是常数（1）求函数y=f（x）的图象在点（1，f（1）处的切线方程；（2）若函数y=f（x）图象上的点都在第一象限，试求常数a的取值范围；（3）证明：ar，存在（1，e），使f（）=一、选做题（共1小题，满分10分）22（10分）选修41：几何证明选讲如图，已知圆上的，过c点的圆的切线与ba的延长线交于e点（）证明：ace=bcd；（）若be=9，cd=1，求bc的长【选修4-4：坐标系与参数方程】23已知圆锥曲线是参数）和定点，f1、f2是圆锥曲线的左、右焦点（1）求经过点f2且垂直地于直线af1的直线l的参数方程；（2）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线af2的极坐标方程【选修4-5：不等式选讲】24已知函数f（x）=|2x+1|+|2x3|（）求不等式f（x）6的解集；（）若关于x的不等式f（x）|a1|的解集非空，求实数a的取值范围甘肃省兰州市西北师大附中2015届高三上学期12月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）如果（3+i）z=10i（其中i2=1），则复数z的共轭复数为（）a1+3ib13ic1+3id13i考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出解答：解：（3+i）z=10i（其中i2=1），=1+3i的共轭复数为13i故选：b点评：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题2（5分）已知集合a=x|x1，b=x|x22x0，则ab=（）ax|x0bx|x1cx|1x2dx|0x2考点：交集及其运算 专题：集合分析：求出b中不等式的解集确定出b，找出a与b的交集即可解答：解：由b中的不等式变形得：x（x2）0，解得：0x2，即b=x|0x2，a=x|x1，ab=x|1x2故选：c点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键3（5分）已知向量=+3，=5+3，=3+3，则（）aa、b、c三点共线ba、b、d三点共线ca、c、d三点共线db、c、d三点共线考点：向量的共线定理 专题：平面向量及应用分析：利用向量共线定理即可得出解答：解：=，a、b、d三点共线故选：b点评：本题考查了向量共线定理，属于基础题4（5分）若函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c0）没有零点，则的取值范围是（）a（1，+）b1，+）c（2，+）d2，+）考点：函数的零点与方程根的关系 专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用分析：利用函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c0）没有零点，可得b24ac，再利用基本不等式，即可求得的取值范围解答：解：函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c0）没有零点b24ac0b24aca，c0，（a+c）2=a2+c2+2ac4ac（a+c）2b2a+cb01的取值范围是（1，+）故选a点评：本题考查函数的零点，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题5（5分）设f（x）是定义在r上的奇函数，当x0时，f（x）=xex（e为自然数的底数），则f（ln6）的值为（）aln6+6bln66cln6+6dln66考点：函数奇偶性的性质；函数的值 专题：函数的性质及应用分析：由x0时的解析式，先求出f（ln6），再由f （x）是定义在r上的奇函数，f（x）=f（x），得到答案解答：解：当x0时，f （x）=xex，f（ln6）=ln6eln6=ln66，又f （x）是定义在r上的奇函数，f（ln6）=f（ln6）=ln6+6故选a点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数的值，其中熟练掌握奇函数的定义f（x）=f（x），是解答的关键6（5分）函数y=f（x）的图象如图所示观察图象可知函数y=f（x）的定义域、值域分别是（）a5，02，6），0，5b5，6），0，+）c5，02，6），0，+）d5，+），2，5考点：函数图象的作法；函数的值域 专题：作图题分析：函数的定义域即自变量x的取值范围，即函数图象的横向分布；函数的值域即为函数值的取值范围，即为函数图象的纵向分布，由图可直观的读出函数的定义域和值域解答：解：函数的定义域即自变量x的取值范围，由图可知此函数的自变量x5，02，6），函数的值域即为函数值的取值范围，由图可知此函数的值域为y0，+）故选c点评：本题考查了函数的概念与函数图象间的关系，函数的定义域与值域的直观意义，理解函数的定义域和值域的意义是解决本题的关键7（5分）执行如图所示的程序框图，会输出一列数，则这个数列的第3项是（）a870b30c6d3考点：程序框图 专题：计算题；算法和程序框图分析：根据已知的框图，可知程序的功能是利用循环计算数列an的各项值，并输出，模拟程序的运行结果，可得答案解答：解：当n=1时，a=3，故数列的第1项为3，n=2，满足继续循环的条件，a=32=6；当n=2时，a=6，故数列的第2项为6，n=3，满足继续循环的条件，a=65=30；当n=3时，a=30，故数列的第3项为30，故选：b点评：本题考查的知识点是程序框图，当程序的运行次数不多时，我们多采用模拟程序运行的方法得到程序的运行结果8（5分）已知非零向量与满足且= 则abc为（）a等边三角形b直角三角形c等腰非等边三角形d三边均不相等的三角形考点：三角形的形状判断 专题：计算题分析：通过向量的数量积为0，判断三角形是等腰三角形，通过=求出等腰三角形的顶角，然后判断三角形的形状解答：解：因为，所以bac的平分线与bc垂直，三角形是等腰三角形又因为，所以bac=60，所以三角形是正三角形故选a点评：本题考查向量的数量积的应用，考查三角形的判断，注意单位向量的应用，考查计算能力9（5分）一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（）ab（4+）cd考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题分析：几何体是一个组合体，是由半个圆锥和一个四棱锥组合成的几何体，圆柱的底面直径和母线长都是2，四棱锥的底面是一个边长是2的正方形，做出圆锥的高，根据圆锥和圆柱的体积公式得到结果解答：解：由三视图知，几何体是一个组合体，是由半个圆锥和一个四棱锥组合成的几何体，圆柱的底面直径和母线长都是2，四棱锥的底面是一个边长是2的正方形，四棱锥的高与圆锥的高相同，高是=，几何体的体积是=，故选d点评：本题考查由三视图求组合体的体积，考查由三视图还原直观图，本题的三视图比较特殊，不容易看出直观图，需要仔细观察10（5分）已知函数f（x）=丨x2丨+1，g（x）=kx若方程f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（）a（0，）b（，1）c（1，2）d（2，+）考点：函数的零点 专题：函数的性质及应用分析：画出函数f（x）、g（x）的图象，由题意可得函数f（x）的图象（蓝线）和函数g（x）的图象（红线）有两个交点，数形结合求得k的范围解答：解：由题意可得函数f（x）的图象（蓝线）和函数g（x）的图象（红线）有两个交点，如图所示：koa=，数形结合可得 k1，故选：b点评：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题11（5分）函数f（x）=sinxln（x2+1）的部分图象可能是（）abcd考点：函数的图象 专题：函数的性质及应用分析：首先判断出函数为奇函数，再根据零点的个数判断，问题得以解决解答：解：f（x）=sin（x）ln（x2+1）=（sinxln（x2+1）=f（x），函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，sinx存在多个零点，f（x）存在多个零点，故f（x）的图象应为含有多个零点的奇函数图象故选b点评：本题通过图象考查函数的奇偶性以及单调性，属于基础题12（5分）设f（x）是定义在r上的奇函数，且f（2）=0，当x0时，有恒成立，则不等式x2f（x）0的解集是（）a（2，0）（2，+）b（2，0）（0，2）c（，2）（2，+）d（，2）（0，2）考点：函数的单调性与导数的关系；奇偶函数图象的对称性；其他不等式的解法 专题：综合题；压轴题分析：首先根据商函数求导法则，把化为0；然后利用导函数的正负性，可判断函数y=在（0，+）内单调递减；再由f（2）=0，易得f（x）在（0，+）内的正负性；最后结合奇函数的图象特征，可得f（x）在（，0）内的正负性则x2f（x）0f（x）0的解集即可求得解答：解：因为当x0时，有恒成立，即0恒成立，所以在（0，+）内单调递减因为f（2）=0，所以在（0，2）内恒有f（x）0；在（2，+）内恒有f（x）0又因为f（x）是定义在r上的奇函数，所以在（，2）内恒有f（x）0；在（2，0）内恒有f（x）0又不等式x2f（x）0的解集，即不等式f（x）0的解集所以答案为（，2）（0，2）故选d点评：本题主要考查函数求导法则及函数单调性与导数的关系，同时考查了奇偶函数的图象特征二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.13（5分）已知函数f（x）=则ff（）=考点：函数的值 专题：计算题；函数的性质及应用分析：由函数f（x）=，知f（）=ln=1，由此能求出ff（）的值解答：解：函数f（x）=，f（）=ln=1，ff（）=f（1）=e1=故答案为：点评：本题考查分段函数的函数值的求法，是基础题解题时要认真审题，仔细解答14（5分）过双曲线的左焦点f（c，0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为e，延长fe交抛物线y2=4cx于点p，若e为线段fp的中点，则双曲线的离心率为考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：双曲线的右焦点的坐标为（c，0），利用o为ff的中点，e为fp的中点，可得oe为pff的中位线，从而可求|pf|，再设p（x，y），由勾股定理得出关于a，c的关系式，最后即可求得离心率解答：解：设双曲线的右焦点为f，则f的坐标为（c，0）抛物线为y2=4cx，则f为抛物线的焦点，由o为ff的中点，e为fp的中点，则oe为pff的中位线，即有oepf，|oe|=|pf|，由ef为圆x2+y2=a2的切线，则|oe|=a，则|pf|=2a，设p（x，y），则由抛物线的定义可得x+c=2a，x=2ac，y2=4c（2ac），又pfpf，|ff|=2c，由勾股定理得，y2+4a2+4a2=4c2，即4c（2ac）+4a2=4（c2a2）得e2e1=0，e=故答案为：点评：本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，考查抛物线的定义，考查直线和圆相切的条件，以及中位线定理的运用，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题15（5分）已知点a是不等式组所表示的平面区域内的一个动点，点b（2，1），o为坐标原点，则的最大值是考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：设a（x，y），z=，求出z的大小，根据z的几何意义即可得到结论解答：解：设a（x，y），则=（2，1）+（x，y）=（x2，y+1），则=，设z=，则z的几何意义为点a到定点m（2，1）的距离，作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知当点a位于c点时，cm的距离最大，由，解得，即c（1，2），则z=，故答案为：点评：本题主要考查线性规划的应用，根据向量模的运算，利用数形结合是解决本题的关键16（5分）己知函数f（x）=，an为a1=1，d=2的等差数列，则f（a1）+f（a2）+f（a3）+f（a10）=100考点：数列的求和 专题：函数的性质及应用；等差数列与等比数列分析：由已知写出等差数列的通项公式，然后由f（x）=得到f（x）+f=20，则f（a1）+f（a2）+f（a3）+f（a10）可求解答：解：an为a1=1，d=2的等差数列，an=1+2（n1）=2n1又f（x）=，f（x）+f=f（a1）+f（a2）+f（a3）+f（a10）=f（1）+f（3）+f（17）+f（19）=520=100故答案为：100点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了函数f（x）=的性质，关键是能够推出f（x）+f=20，是中档题三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）设函数（）求f（x）的最大值，并写出使f（x）取最大值是x的集合；（）已知abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c若求a的最小值考点：余弦定理；三角函数的化简求值；正弦函数的定义域和值域 专题：计算题分析：（）把函数解析式第一项利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，合并整理后，再利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，由余弦函数的值域得到余弦函数的最大值为1，可得出函数f（x）的最大值，并根据余弦函数的图象与性质得出此时x的范围，即可确定出使f（x）取最大值是x的集合；（）由f（b+c）=，将b+c代入第一问化简后的式子中，利用诱导公式化简后得到cos（2a）的值，由a为三角形的内角，得出2a的范围，利用特殊角的三角函数值求出a的度数，进而确定出cosa的值，再利用余弦定理表示出a2=b2+c22bccosc，利用完全平方公式化简后，将b+c及cosc的值代入，并利用基本不等式求出bc的最大值，可得出a的最小值解答：解：（）f（x）=cos（2x）+2cos2x=（cos2xcos+sin2xsin）+（1+cos2x）=cos2xsin2x+1=cos（2x+）+1，（3分）1cos（2x+）1，即cos（2x+）最大值为1，f（x）的最大值为2，（4分）要使f（x）取最大值，cos（2x+）=1，即2x+=2k（kz），解得：x=k（kz），则x的集合为x|x=k（kz）；（6分）（）由题意，f（b+c）=cos2（b+c）+1=，即cos（22a+）=，化简得：cos（2a）=，（8分）a（0，），2a（，），则有2a=，即a=，（10分）在abc中，b+c=2，cosa=，由余弦定理，a2=b2+c22bccos=（b+c）23bc=43bc，（12分）由b+c=2知：bc=1，当且仅当b=c=1时取等号，a243=1，则a取最小值1（14分）点评：此题考查了余弦定理，三角函数的化简求值，余弦函数的图象与性质，基本不等式，两角和与差的余弦函数公式，二倍角的余弦函数公式，特殊角的三角函数值，以及余弦函数的定义域与值域，熟练掌握定理及公式是解本题的关键18（12分）在各项均为正数的等比数列an中，a1=2，且2a1，a3，3a2成等差数列（） 求等比数列an的通项公式；（） 若数列bn满足bn=112log2an，求数列bn的前n项和tn的最大值考点：等差数列与等比数列的综合 专题：等差数列与等比数列分析：（）设数列an的公比为q，由等差中项和等比数列的通项公式列出方程，结合题意求出q的值，再代入等比数列的通项公式化简；（）由（）和题意化简 bn，并判断出数列bn是等差数列，求出首项和公差，代入等差数列的前n项和公式，再对tn进行配方，根据二次函数的性质求出它的最大值解答：解：（）设数列an的公比为q，an0因为2a1，a3，3a2成等差数列，所以2a1+3a2=2a3，即，所以2q23q2=0，解得q=2或（舍去），又a1=2，所以数列an的通项公式（）由题意得，bn=112log2an=112n，则b1=9，且bn+1bn=2，故数列bn是首项为9，公差为2的等差数列，所以=（n5）2+25，所以当n=5时，tn的最大值为25点评：本题考查等差中项和等比数列的通项公式，等差数列的前n项和公式，以及利用二次函数的性质求出等差数列的前n项和的最大值，注意n的取值范围19（12分）假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元）有如下的统计资料：使用年限x23456维修费用y2.23.85.56.57.0若由资料知y对x呈线性相关关系（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据最小二乘法求出线性回归方程=x+的回归系数，（3）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？b=，a=b考点：散点图；线性回归方程 专题：计算题；作图题；概率与统计分析：（1）由表描点，作出散点图；（2）由表格中的数据代入公式求回归系数，；（3）代入回归方程求估计值解答：（1）作其散点图如右图：（2）=4，=5；则b=1.23，a=b=51.234=0.08；（3）=1.23x+0.08，则使用年限为10年时，维修费用是1.2310+0.08=12.38万元点评：本题考查了散点图的作法及回归直线的方程的求法及应用，属于基础题20（12分）如图，已知四棱锥pabcd，底面abcd为菱形，pa平面abcd，abc=60，e， f分别是bc，pc的中点（1）证明：aepd；（2）若pa=ab=2，求二面角eafc的余弦值考点：与二面角有关的立体几何综合题；空间中直线与直线之间的位置关系 专题：空间角分析：（1）由已知条件推导出aead，aepa，由此能证明ae平面pad，从而得到aepd（2）以a为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角eafc的余弦值解答：（1）证明：四棱锥pabcd，底面abcd为菱形，abc=60，e，f分别是bc，pc的中点，abc是等边三角形，aebc，aead，pa平面abcd，ae平面abcd，aepa，aead=a，ae平面pad，pd平面pad，aepd（2）解：由（1）知ae、ad、ap两两垂直，以a为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，e，f分别为bc，pc的中点，pa=ab=2，a（0，0，0），b（，1，0），c（，1，0），d（0，2，0），p（0，0，2），e（，0，0），f（），设平面aef的一个法向量为，则取z1=1，得=（0，2，1），bdac，bdpa，paac=a，bd平面afc，为平面afc的一法向量又，cos=二面角eafc为锐角，所求二面角的余弦值为点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用21（12分）已知函数f（x）=x2+a（x+lnx），x0，ar是常数（1）求函数y=f（x）的图象在点（1，f（1）处的切线方程；（2）若函数y=f（x）图象上的点都在第一象限，试求常数a的取值范围；（3）证明：ar，存在（1，e），使f（）=考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用 专题：计算题；证明题；分类讨论；导数的综合应用分析：（1）求出函数f（x）的导数，求出切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程；（2）讨论a=0，a0，a0，运用对数函数的性质，以及分离参数，构造函数应用导数求极值、最值，即可得到a的范围；（3）设函数g（x）=f（x）=2x（e+1）+，计算g（1），g（e），讨论当ae（e1）2或时，由零点存在定理，即可得证；当时，求出g（x）的最小值，判断它小于0，再由零点存在定理，即可得证解答：（1）解：函数f（x）=x2+a（x+lnx）的导数f（x）=2x+a（1+），f（1）=1+a，f（1）=2+2a，则函数y=f（x）的图象在点（1，f（1）处的切线为y（1+a）=（2+2a）（x1），即y=（1+a）（2x1）；（2）解：a=0时，f（x）=x2，因为x0，所以点（x，x2）在第一象限，依题意，f（x）=x2+a（x+lnx）0；a0时，由对数函数性质知，x（0，1）时，lnx（，0），alnx（，0），从而“x0，f（x）=x2+a（x+lnx）0”不成立；a0时，由f（x）=x2+a（x+lnx）0得，设，g（x）=+，x（0，1）1（1，+）g（x）0+g（x）极小值则g（x）g（1）=1，从而，1a0；综上所述，常数a的取值范围1a0（3）证明：直接计算知，设函数g（x）=f（x）=2x（e+1）+，当ae（e1）2或时，0，因为y=g（x）的图象是一条连续不断的曲线，所以存在（1，e），使g（）=0，即（1，e），使f（）=；当时，g（1）、g（e）0，而且g（1）、g（e）之中至少一个为正，由均值不等式知，等号当且仅当时成立，所以g（x）有最小值，且，此时存在（1，e）（或），使g（）=0 综上所述，ar，存在（1，e），使f（）=点评：本题考查导数的综合应用：求切线方程和求单调区间、极值和最值，同时考查函数的零点存在定理，以及分类讨论的思想方法，属于综合题一、选做题（共1小题，满分10分）22（10分）选修41：几何证明选讲如图，已知圆上的，过c点的圆的切线与ba的延长线交于e点（）证明：ace=bcd；（）若be=9，cd=1，求bc的长考点：圆的切线的性质定理的证明；相似三角形的判定 专题：证明题分析：（i）由同圆中等圆弧的性质可得abc=bcd由弦切角定理可得ace=abc，即可得出证明（ii）利用弦切