函数与函数的定义域.doc

高等教育成人考试函授教育毕业论文函数与函数的定义域专 业：数学与应用数学班 级：2007级数学本科（2）班姓 名：王维录学 号：200725080237指导教师：联系电话：完稿时间：2008.12内容摘要： 函数作为高中数学的主线，贯穿于整个数学的始终。函数的定义域是构成函数的两大要素之一，在解函数题中强调函数定义域对解题结论有很大影响，在解题过程中，强调函数定义域能够培养学生思维的严密性、灵活性、敏捷性。关键词： 函数关系式与定义域 函数最值与定义域 函数值域与定义域 函数单调性与定义域 函数增减性与定义域函数与函数的定义域函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础，高中数学以函数为纲，从学科整体高度和思维价值高度，深入理解函数、掌握函数，不仅有利于整体把握高中数学知识，促进知识交汇点的融通，实现能力要求，而且有利于实现数学考试说明中强调的“重视教材，回归教材”，走“以提升能力和知识迁移为核心，以质量胜数量”的学习、复习之路。“概念是入门的先导，理论是数学的精华”，思路和方法是数学精髓的集中体现。现从函数的定义域，帮助同学们既掌握系统完整的函数基础知识，又掌握驾驭知识的思维认识方法。函数的定义域是构成函数的两大要素之一，函数的定义域（或变量的允许值范围）似乎是非常简单的，然而在解决问题中不加以注意，常常会使人误入歧途。在解函数题中强调定义域对解题结论的作用与影响，对提高学生的数学思维品质是十分有益的。一、函数关系式与定义域函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数关系式可能是错误。如：例1.某单位计划建筑一矩形围墙，现有材料可筑墙的总长度为100m，求矩形的面积S与矩形长X的函数关系式？解：设矩形的长为X米，则宽为（50X）米，由题意得：s=x(50-x)故函数关系式为：s=x(50-x)如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量的范围。也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量取负数或不小于50的数时，S的值是负数。即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量的范围：0x50即：函数关系式为：s=x(50-x) (0x50)这个例子说明，在用函数方法解决实际问题时，必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响。若考虑不到这一点，就体现出学生思维缺乏严密性。若注意到定义域的变化，就说明学生的解题思维过程体现出较好思维的严密性。我们知道，根据函数的定义，所谓“给定一个函数”，就应该指明这个函数的定义域和对应法则（此时值域也往往随着确定），不指明这两点是不能算给定了一个函数的。那么为什么又在给定函数之后来求它的定义域呢？这个由于用解析式表示函数时，我们约定：如果不单独指出函数的定义域是什么集合，那么函数的定义域就是能使这个式子有意义的所有实数的集合。有这个约定，我们在用解析式给出函数的对应法则的同时也就给定了定义域，而求函数的定义域就是在这个意义之下写出使式子有意义的所有实数组成的集合。二、函数最值与定义域函数的最值是指函数在给定的定义域区间上能否取到最大（小）值的问题。如果不注意定义域，将会导致最值的错误。如：例2：求函数y=x2-2x-3在-2,5上的最值。解：因为y=x2-2x-3=(x2-2x+1)-4=(x-1)2-4 所以当x=1时ymin=-4初看结论，本题似乎没有最大值，只有最小值。产生这种错误的根源在于学生按照求二次函数最值的思路，而没有注意到已知条件发生变化。这是思维呆板性的一种表现，也说明学生思维缺乏灵活性。其实以上结论只是对二次函数y=ax2+bx-+c在R上适用，而在指定的定义域区间p,q上，它的最值应分如下情况：（1） 当-b/2ap时，y=f(x)在p,q单调递减函数,f(x)min=f(q);f(x)max=f(p)（3） 当p-b/2aq时，y=f(x)在p,q上最值情况是： f(x)max=maxf(p),f(q).即最大值是中最大的一个值。故本题还要继续做下去：-215f(-2)=(-2)2-2(-2)-3=-3 F(5)=52-25-3=12f(x)max=maxf(-2),f(5)=f(5)=12函数y=x2-2x-3在-2,5上的最小值是-4，最大值是12.这个例子说明，在函数定义域受到限制时，若能注意定义域的取值范围对函数最值的影响，并在解题过程中加以注意，便体现出学生思维的灵活性。三、函数值域与定义域函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，函数值也随之而定。因此在求函数值域时，应注意函数定义域。如：例3. 求函数y=4x-5+2x-3的值域。错解：令t=2x3,则2x=t2+3 y=2(t2+3)-5+t=2t2+t+1=2(t+1 )2+ 故所求的函数值域是 ,+)剖析：经换元后，应有t0，而函数y=2t2+t+1在0，+)上是增函数，所以当t=0时，ymin=1故所求的函数值域是1,+以上例子说明，变量的允许值范围是何等的重要，若能发现变量隐含的取值范围。精细地检查解题思维的过程，就可以避免以上错误结果的产生。也就是说，学生若能在解好题目后，经验已经得到的结果，善于找出和改正自己的错误，善于精细地检查思维过程，便体现出良好的思维批判性。四、函数单调性与定义域函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性的知识是研究具体函数的单调性理论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性；同时在利用函数图象来研究函数性质的数行结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学，利用函数的单调性的定义证明具体函数的单调性是对单数单调性概念的深层理解。函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。如：例4：指出函数f(x)=log2(x2+2x)的单调区间。解：先求定义域：x2+2x0 x0或x-2函数定义域为(-，-2)Y(0,+).令u=x2+2x，知在x(-,-2)上时，u为减函数，在x(0,+)上时，u为增函数。又f(x)=log2u在0,+)是增函数函数f(x)=log2(x2+2x)在(-,-2)上是减函数，在上(0,+)是增函数。即函数f(x)=log2(x2+2x)的单调递增区间(0,+)，单调递减区间是(-,-2)。如果在做题时，没有定义域的两个区间上分别考虑函数的单调性，就说明学生对函数单调性的概念一知半解没有理解，在做练习或作业时，只是对题型套公式，而不去领会理解方法的实质，也说明学生的思维缺乏深刻性。五、函数奇偶性与定义域判断函数的奇偶性，应先考虑函数的定义域区间是否关于坐标原点成中心对称，如果定义域区间是关于坐标原点不成中心对称，则函数就无奇偶性可谈。否则要用奇偶性定义加以判断。如：例5：判断函数y=x3,x-1,3的奇偶性.解：2-1,3而-2-1,3定义域区间-1,3关于坐标原点不对称 函数y=x3,x-1,3是非奇非偶性函数。若学生像以上这样的过程解完这道题目，就很好地体现出学生解题思维的敏捷性如果学生不注意函数定义域，那么判断函数的奇偶性得出如下错误结论：f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x)函数y=x3,x-1,3是奇函数。错误剖析：因为以上做法是没有判断该函数的定义域区间是否关于原点成中心对称的前提下直接加以判断所造成，这是学生极易忽视的步骤，也是造成结论错误的原因。综上所述，函数作为中学数学教学的核心内容，函数的定义域应用极为广泛，隐含在许多问题当中，在求解函数函数关系式、最值（值域）、单调性、奇偶性等问题中，若能判断函数的定义区域精细地检查思维过程，思辨函数定义域有无改变（指对定义域为R来说），对解题结果有无影响，就能提高学生质疑辨析思维能力，进而有利于培养学生思维的创造性。有利于