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专题一 排列与组合应用题 一 知识提要 1 排列与组合应用题 是高考的常见题型 且与后面学习的古典概型问题联系密切 高考中重点考查有附加条件的应用问题 解决的方法主要从以下三个方面考虑 1 以 元素为主 特殊元素优先考虑 2 以位置为主 特殊位置优先考虑 3 间接 法 暂不考虑附加条件 计算出排列或组合数 再减去不符合条件的情况 2 排列组合综合问题一般思路 先组合后排列 即先选元素后排列 同时注意按性 质分类或按时间的发生过程分步 3 解决首先纸条的排列 组合问题的一般策略有 1 特殊元素优先考虑安排的策略 2 正难则反 等价转化的策略 3 相邻问题捆绑处理策略 4 不相邻问题插空处理策略 5 定序问题 平均分组问题除法策略 6 小集团 排列问题宪政体后局部策略 7 分排问题直排处理策略 8 构造模型的策略 二 典型问题 一 排队问题 例 1 4 男 3 女坐在一排 分别求下列各种排法的种数 1 某人必须在中间 2 某两人必须站在两端 3 某人不在中间和两端 4 甲不在最左端且乙不能在最左端 5 甲乙两人必须相邻 6 甲乙两人不能相邻 7 甲乙两人必须相隔 1 人 8 4 男必须相邻 3 女也必须相邻 9 3 女不能相邻 10 甲必须在乙的左边 11 4 男不等高 按高矮顺序排列 点评 排队问题中常分为 在和不在 邻与不邻 顺序固定 等问题 变式练习 1 四个人参加一次聚会 若任意两人不同是到场 则甲比乙先到的情况有 种 若甲乙 丙三人中甲先到 其次是乙 丙最后到的情况有 种 2 三名男歌手 两名女歌手联合举行一场音乐会 演出的出场顺寻要求两名女歌手之间恰 有一名男歌手 不同的出场顺序有 种 3 有 6 名同学参加了演讲比赛 决出了第一至第六的名次 评委告诉甲 乙两位同学 你 们都没有拿到冠军 但甲不是最差 则这 6 名同学的排名顺序有 种 二 分组问题 1 弄清是否为平均分租 若是平均分组 则需用除法策略 分组后是否需分配 若分配则需要排列 先分组在排列 例 六本不同的书 按下列要求各有多少种不同的分法 分成三堆 一堆一本 一堆二本 一堆三本 平均分成三堆 每堆 本 分给甲 乙 丙 人 一人一本 一人二本 一人三本 平均分给甲乙丙三人 每人 本 分给甲乙丙三人 每人至少 本 三 放球问题 例 将四个编号为 的小球放入 个编号为 的盒子中 有多少种放法 每盒至少一球 有多少种放法 恰好有一个空盒 有多少种放法 每个盒内放一个球 并且恰好有一个球的编号与合资的编号相同 有多少种 放法 把 个不同的球改成 个相同的球 恰有一个空盒 有多少种放法 把 个不同的球改成 个相同的球 要求每个盒内的球数不少于它的编号 数 有多少种放法 解析 4 4 为全排列问题 共有 种方法 4 4 A 先将 个球分成三组 再将三组小球投入四个盒子中的三个盒子 个球的编号与盒子编号相同的选法有种 当 个球与 个盒子的编 1 4 C 号相同时 用局部列举法可知其余 个球的投放方法有 种 故共有 种 1 4 2C 5 先从四个盒子中选出 3 个盒子 再从 3 个盒子中选出一个盒子放入两个 球 余下的两个盒子各放一个 由于球是相同的即没有顺序 所以属于组 合问题 故共有 12 种 放法 31 43 C C 6 隔板法 先将编号 1 2 3 4 的 4 个盒子分别放入 0 1 2 3 个球 再把剩下的 14 个球分成四组 即在 14 个球的中间 13 个空挡种放入三块 隔板 共有 286 种 3 13 C 例 4 1 一条长椅上有 9 个座位 3 个人坐 若相邻的 2 人之间至少有 2 个空位 共有几 种不同的坐法 2 一个长椅上共有 7 个座位 4 人坐 要求 3 个空位中恰有 2 个空位相邻 有多 少种不同的坐法 注意 空位是相同的元素 无顺序的 解析 1 先将 3 人 用表示 与 4 张空椅子 用表示 排列如图 这时 A AA AA 共占据了 7 张椅子 还有 2 张空椅子分为两类 一 分开插入如图中箭头所示 从 4 个空挡中选出 2 个插入 有种插法 二 是 2 张绑在一起同时 A A A A 2 4 C 插入 有种插法 再考虑 3 人可交换有种方法 共有 60 种 1 4 C 3 3 A 213 443 CCA 2 插空法 点评 解决组合应用题的总体思路是 1 整体分类 从集合的意义讲 分类要做到各类的并集等于全集 以保证分类的不遗漏 任意两类的交集等于空寂 以保证分步的不重复 2 局部分步 整体分类以后 对每一类进行局部分步 分步要做到步步连续 以保证分 步的不遗漏 同时步骤要独立 以保证分步的不重复 3 辩证地看待 元素 与 位置 元素和位置是解题者视具体情况而定的 比如有时 把人看做 位置 而作为看做 元素 问题更容易解决 4 注意要理解题设中的 有且仅有 至多 至少 全是 都不是 不都是 等词语的确切含义 常用逆向思维 等价转化 间接法 等思想方法 四 抽样问题 例 5 某班有 40 名学生 其中正 副班长各一名 现派 5 名学生完成一项工作 共有多少种不同的选法 正 副班长都必须参加 有多少种选法 正 副班长只有一人参加 有多少种选法 正 副班长最多有一人参加 有多少种选法 正 副班长至少有一人参加 有多少种选法 正 副班长不都参加 有多少种选法 若上题中选出五人分别完成不同的 5 项任务 结果如何 五 涂色问题 先选色 在排列 例 6 1 某城市中心广场建造一个花圃 花圃分 6 个部分 如图示 现在栽种四种不同 颜色的花 每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同色的花 不同的栽种方法有 种 2 椭圆的长短轴把椭圆分成了 4 块 现用 5 种不同的颜色改 4 块涂色 要求共边 的两块颜色互异 每块只涂一色 共有多少种涂法 六 组数问题 例 7 用数字 0 1 2 3 4 5 组成一下数字 分别求可组成的数字的个数 四位数 无重复数字的四位数 无重复数字的四位偶数 无重复数字且能被 5 整除的四位数 无重复数字且能被 3 整除的四位数 无重复数字且能被 6 整除的四位数 将组成的无重复数字的四位数由小到大排列 问第 85 个数是多少 比 3405 小的数有几个 跟踪练习 1 2010 全国卷全国卷 2 文数 文数 9 将标号为 1 2 3 4 5 6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封 中 若每个信封放 2 张 其中标号为 1 2 的卡片放入同一信封 则不同的方法共有 A 12 种 B 18 种 C 36 种 D 54 种 2 20102010 全国卷全国卷 2 2 理数 理数 6 将标号为 1 2 3 4 5 6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信 封中 若每个信封放 2 张 其中标号为 1 2 的卡片放入同一信封 则不同的方法共有 A 12 种 B 18 种 C 36 种 D 54 种 3 2010 重庆文数 10 某单位拟安排 6 位员工在今年 6 月 14 日至 16 日 端午节假期 值班 每天安排 2 人 每人值班 1 天 若 6 位员工中的甲不值 14 日 乙不值 16 日 则不 同的安排方法共有 A 30 种 B 36 种 C 42 种 D 48 种 4 2010 重庆理数 重庆理数 9 某单位安排 7 位员工在 10 月 1 日至 7 日值班 每天 1 人 每人值 班 1 天 若 7 位员工中的甲 乙排在相邻两天 丙不排在 10 月 1 日 丁不排在 10 月 7 日 则不同的安排方案共有 A 504 种 B 960 种 C 1008 种 D 1108 种 5 5 20102010 北京理数 北京理数 4 8 名学生和 2 位第师站成一排合影 2 位老师不相邻的排法种数 为 A 82 89 A A B 82 89 A C C 82 87 A A D 82 87 A C 6 2010 四川理数 四川理数 10 由 1 2 3 4 5 6 组成没有重复数字且 1 3 都不与 5 相邻的 六位偶数的个数是 A 72 B 96 C 108 D 144 7 7 20102010 天津理数 天津理数 10 如图 用四种不同颜色给图中的 A B C D E F 六个点涂色 要求每个点涂一种颜色 且图中每条 线段的两个端点涂不同颜色 则不同的涂色方法用 A 288 种 B 264 种 C 240 种 D 168 种 答案 D 8 8 20102010 全国卷全国卷 1 1 理数 理数 6 某校开设A类选修课 3 门 B类选择 课 4 门 一位同学从中共选 3 门 若要求两类课程中各至少选一门 则不同的选法共有 A 30 种 B 35 种 C 42 种 D 48 种 9 2010 四川文数 四川文数 9 由 1 2 3 4 5 组成没有重复数字且 1 2 都不与 5 相邻的 五位数的个数是 A 36 B 32 C 28 D 24 10 2010 浙江理数 浙江理数 17 有 4 位同学在同一天的上 下午参加 身高与体重 立定跳远 肺活量 握力 台阶 五个项目的测试 每位同学上 下午各测试一个项目 且不重复 若上午不测 握力 项目 下午不测 台阶 项目 其余项目上 下午都各测试一人 则不同的 安排方式共有 种 用数字作答 11 11 20102010 江西理数 江西理数 14 将 6 位志愿者分成 4 组 其中两个各 2 人 另两个组各 1 人 分 赴世博会的四个不同场馆服务 不同的分配方案有 种 用数字作答 12 20102010 全国卷全国卷 1 1 文数 文数 15 某学校开设 A 类选修课 3 门 B 类选修课 4 门 一位同学 从中共选 3 门 若要求两类课程中各至少选一门 则不同的选法共有 种 用数字作答 参考答案 1 1 解析解析 B B 本题考查了排列组合的知识 本题考查了排列组合的知识 先从先从 3 3 个信封中选一个放个信封中选一个放 1 1 2 2 有有 3 3 种不同的选法 再从剩下的种不同的选法 再从剩下的 4 4 个数中选两个放一个信个数中选两个放一个信 封有封有 2 4 6C 余下放入最后一个信封 余下放入最后一个信封 共有共有 2 4 318C 2 答案 B 命题意图 本试题主要考察排列组合知识 考察考生分析问题的能力 解析 标号 1 2 的卡片放入同一封信有种方法 其他四封信放入两个信封 每个信封 两个有种方法 共有种 故选 B 3 解析 法一 所有排法减去甲值 14 日或乙值 16 日 再加上甲值 14 日且乙值 16 日的排 法 即 221211 645443 2C CC CC C 42 法二 分两类 甲 乙同组 则只能排在 15 日 有 2 4 C 6 种排法 甲 乙不同组 有 112 432 1 C CA 36 种排法 故共有 42 种方法 4 解析 分两类 甲乙排 1 2 号或 6 7 号 共有 4 4 1 4 2 2 2AAA 种方法 甲乙排中间 丙排 7 号或不排 7 号 共有 4 3 3 1 3 1 3 4 4 2 2 AAAAA 种方法 故共有 1008 种不同的排法 5 答案 6 解析 先选一个偶数字排个位 有 3 种选法 若 5 在十位或十万位 则 1 3 有三个位置可排 3 22 32 A A 24 个 若 5 排在百位 千位或万位 则 1 3 只有两个位置可排 共 3 22 22 A A 12 个 算上个位偶数字的排法 共计 3 24 12 108 个 答案 C 7 解析 本题主要考查排列组合的基础知识与分类讨论思想 属于难题 1 B D E F 用四种颜色 则有 4 4 1 124A 种涂色方法 2 B D E F 用三种颜色 则有 33 44 2 22 1 2192AA 种涂色方法 3 B D E F 用两种颜色 则有 2 4 2 248A 种涂色方法 所以共有 24 192 48 264 种不同的涂色方法 8 9 解析 如果 5 在两端 则 1 2 有三个位置可选 排法为 2 22 32 A A 24 种 如果 5 不在两端 则 1 2 只有两个位置可选 3 22 22 A A 12 种 共计 12 24 36 种 答案 A 10 解析 本题主要考察了排列与组合的相关知识点 突出对分类讨论思想和数学思维能 力的考察 属较难题 11 答案 1080 解析 考查概率 平均分组分配问题等知识 重点考查化归转化和应用知识的意识 先 分组 考虑到有 2 个是平均分组 得 2211 6421 22