重庆市七校高三数学上学期联考试卷 理（含解析）.doc

2015-2016学年重庆市七校高三（上）联考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1已知集合a=x|x21，b=x|y=，则ab=（）a（，1（1，2）b（，1（2，+）c（0，2d1，22已知i是虚数单位，若=，则z2016=（）aibic1d13“m0”是“函数y=2x2+mx+n在0，+）上单调”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分与不必要条件4下列不等式中成立的是（）a若ab，则ac2bc2b若ab，则a2b2c若ab0，则d若ab0，则a+b+5如图所示的程序框图，若输出的s=41，则判断框内应填入的条件是（）ak3？bk4？ck5？dk6？6请观察数列：1，1，2，3，5，（），13运用合情推理，括号里的数最可能是（）a8b9c10d117算法通宗是我国古代内容丰富的数学名医，书中有如下问题：“远望巍巍栽塔七层红灯点点倍加增，共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？”（）a3b4c5d68函数y=的图象大致是（）abcd9已知|=1，|=2，与的夹角为60，则+在方向上的投影为（）a2b1cd10已知函数f（x）=2sinxcosx+12cos2（x），（xr），则下列结论正确的是（）a周期t=2bf（x）向左平移后是奇函数c一个对称中心是（，0）d一条对称轴是x=11正项等比数列an中，存在两项使得，且a7=a6+2a5，则的最小值是（）abcd12已知f（x）是定义在r上且以3为周期的奇函数，当时，f（x）=ln（x2x+1），则函数f（x）在区间0，6上的零点个数是（）a3b5c7d9二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2016，则该数列的首项为14二项式（x+1）n（nn*）的展开式中x2的系数为15，则n=15设复数z=x+（y1）i（x，yr），若|z|1，则yx的概率为16函数y=f（x）为定义在r上的减函数，函数y=f（x1）的图象关于点（1，0）对称，实数x，y满足不等式f（x22x）+f（2yy2）0，m（1，2），n（x，y），o为坐标原点，则当1x4时， 的取值范围是三、解答题（共5小题，满分60分）17在数列an中，a1=1，an+1=an+c（c为常数，nn*），且a1，a2，a5成公比不为1的等比数列（1）求c的值；（2）设，求数列bn的前n项和sn18在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c， =（2a，1），=（2bc，cosc），且（1）求角a的值；（2）若abc的外接圆直径为，且b+c=4，求abc的面积19已知函数f（x）=x3x22x+c（1）当c=1时，求y=f（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（2）若当x1，2，不等式f（x）c2恒成立，求c的取值范围20下面的茎叶图记录了甲、乙两代表队各10名同学在一次数学竞赛中的成绩（单位：分），已知甲代表队数据的中位数为76，乙代表队数据的平均数是75（1）求x，y的值，并判断甲、乙两队谁的成绩更稳定？（不需要说明理由）（2）若分别从甲、乙两队随机各抽取1名成绩不低于80分的学生，求抽到学生中，甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率21已知函数f（x）=elnx，g（x）=e1f（x）（x+1）（e=2.718）（1）求函数g（x）的极大值；（2 ）求证：；（3）对于函数f（x）与h（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，b，使得f（x）kx+b和h（x）kx+b都成立，则称直线y=kx+b为函数f（x）与h（x）的“分界线”设函数，试探究函数f（x）与h（x）是否存在“分界线”？若存在，请加以证明，并求出k，b的值；若不存在，请说明理由选修4-1几何证明选讲22如图，o的半径ob垂直于直径ac，m为ao上一点，bm的延长线交o于n，过n点的切线交ca的延长线于p（）求证：pm2=papc；（）若o的半径为2，oa=om，求mn的长选修4-4：坐标系与参数方程23在平面直角坐标系xoy中，以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆c的圆心为极坐标：c（，），半径r=（1）求圆c的极坐标方程；（2）若过点p（0，1）且倾斜角=的直线l交圆c于a，b两点，求|pa|2+|pb|2的值选修4-5：不等式选讲24设函数f（x）=|x+2|x2|（i）解不等式f（x）2；（）当xr，0y1时，证明：|x+2|x2|2015-2016学年重庆市七校高三（上）联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1已知集合a=x|x21，b=x|y=，则ab=（）a（，1（1，2）b（，1（2，+）c（0，2d1，2【考点】对数函数的单调性与特殊点；交集及其运算【专题】计算题；集合【分析】求出a中不等式的解集确定出a，求出b中x的范围确定出b，找出a与b的交集即可【解答】解：由a中不等式x21，解得：x1或x1，即a=（，11，+），由b中y=，得到1log2x0，解得：0x2，即b=（0，2，则ab=1，2，故选：d【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2已知i是虚数单位，若=，则z2016=（）aibic1d1【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】计算题；规律型；函数思想；转化法；数系的扩充和复数【分析】利用复数的除法运算法则化简复数，然后利用复数的单位幂运算求解即可【解答】解： =i，z=i，z2016=（i）2016=1故选：c【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数单位的幂运算，是基础题3“m0”是“函数y=2x2+mx+n在0，+）上单调”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分与不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】函数思想；综合法；简易逻辑【分析】根据二次函数的性质得到函数的对称轴结合函数的单调性求出即可【解答】解：若函数y=2x2+mx+n在0，+）上单调，则对称轴x=0，解得：m0，m0是m0的充分不必要条件，故选：a【点评】本题考查了二次函数的性质，考查充分必要条件，是一道基础题4下列不等式中成立的是（）a若ab，则ac2bc2b若ab，则a2b2c若ab0，则d若ab0，则a+b+【考点】不等式比较大小【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用【分析】在a中，当c=0时，ac2=bc2；在b中，当a，b为负数时，a2b2；在c中，举出反例；在d中，若ab0，则，由此得到d正确【解答】解：在a中，若ab，则ac2bc2，当c=0时取“=”号，故a错误；在b中，若ab，则当a，b为负数时，a2b2，故b错误；在c中，若ab0，则不成立，例如：32，则，故c错误；在d中，若ab0，则，a+b+，故d正确故选：d【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用5如图所示的程序框图，若输出的s=41，则判断框内应填入的条件是（）ak3？bk4？ck5？dk6？【考点】程序框图【专题】算法和程序框图【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输入s的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案【解答】解：程序在运行过程中各变量值变化如下表： k s 是否继续循环循环前 1 0第一圈 2 2 是第二圈 3 7 是第三圈 4 18 是第四圈 5 41 否故退出循环的条件应为k4？故答案选：b【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：分支的条件循环的条件变量的赋值变量的输出其中前两点考试的概率更大此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误6请观察数列：1，1，2，3，5，（），13运用合情推理，括号里的数最可能是（）a8b9c10d11【考点】归纳推理【专题】计算题；函数思想；试验法；推理和证明【分析】由已知可得：该数列从第三项开始，每一项等于前两项的和，进而得到答案【解答】解：由已知可得：该数列从第三项开始，每一项等于前两项的和，由3+5=8得，括号里的数最可能的是8，故选：a【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）7算法通宗是我国古代内容丰富的数学名医，书中有如下问题：“远望巍巍栽塔七层红灯点点倍加增，共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？”（）a3b4c5d6【考点】等差数列的前n项和【专题】计算题；应用题；转化思想；等差数列与等比数列【分析】设出尖头灯的盏数，由题意可知灯的盏数自上而下构成等比数列，且公比为2，然后由等比数列的前7项和等于381列式计算即可【解答】解：由题设尖头a盏灯根据题意由上往下数第n层就有2n1a盏灯，所以一共有（1+2+4+8+16+32+64）a=381盏灯，即a=381 解得：a=3故选：a【点评】本题考查了简单的演绎推理，考查了等比数列的前n项和公式，是简单的计算题8函数y=的图象大致是（）abcd【考点】函数的图象【专题】函数的性质及应用【分析】根据函数的定义域，取值范围和取值符号，进行排除即可【解答】解：函数的定义域为x|x0，排除a当x时，y+，排除b，当x+时，x33x1，此时y0，排除d，故选：c【点评】本题主要考查函数图象的识别，根据函数的性质结合极限思想是函数图象的基本方法9已知|=1，|=2，与的夹角为60，则+在方向上的投影为（）a2b1cd【考点】平面向量数量积的运算【专题】计算题；平面向量及应用【分析】求出向量a，b的数量积，再求（）=2，由+在方向上的投影为，计算即可得到【解答】解：|=1，|=2，与的夹角为60，则=|cos60=1=1，则（）=+=1+1=2，则+在方向上的投影为=2故选a【点评】本题考查平面向量的数量积的坐标表示和性质，考查向量的投影的求法，考查运算能力，属于基础题10已知函数f（x）=2sinxcosx+12cos2（x），（xr），则下列结论正确的是（）a周期t=2bf（x）向左平移后是奇函数c一个对称中心是（，0）d一条对称轴是x=【考点】三角函数中的恒等变换应用【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的图像与性质【分析】先利用二倍角公式和三函数恒等式求出f（x）=sin（2x），由此利用正弦函数性质能求出结果【解答】解：f（x）=2sinxcosx+12cos2（x），（xr），f（x）=sin2xcos（2x）=sin2x（cos2xcos+sin2xsin）=sin（2x），f（x）的周期t=，故a错误；f（x）向左平移后，得到y=，是奇函数，故b正确；f（x）的对称中心（，0），kz，故c错误；f（x）的对称轴方程为x=+，kz，故d错误故选：b【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意二倍角公式、三函数恒等式和三角函数性质的合理运用11正项等比数列an中，存在两项使得，且a7=a6+2a5，则的最小值是（）abcd【考点】等比数列的通项公式；基本不等式【专题】等差数列与等比数列【分析】设正项等比数列的公式为q，已知等式a7=a6+2a5两边除以a5，利用等比数列的性质化简求出q的值，利用等比数列的通项公式表示出am与an，代入已知等式=4a1，求出m+n=6，将所求式子变形后，利用基本不等式即可求出所求式子的最小值【解答】解：正项等比数列an中，设公比为q，a7=a6+2a5，=+2，即q2q2=0，解得：q=2或q=1（舍去），am=a12m1，an=a12n1，=4a1，aman=a122m+n2=16a12，即m+n2=4，m+n=6，列举（m，n）=（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）即有+=2，2，5当m=2，n=4， +的最小值为故选a【点评】此题考查了等比数列的通项公式，等比数列的性质，以及基本不等式的运用，熟练掌握通项公式是解本题的关键12已知f（x）是定义在r上且以3为周期的奇函数，当时，f（x）=ln（x2x+1），则函数f（x）在区间0，6上的零点个数是（）a3b5c7d9【考点】根的存在性及根的个数判断【专题】函数的性质及应用【分析】由f（x）=ln（x2x+1）=0，先求出当时的零点个数，然后利用周期性和奇偶性判断f（x）在区间0，6上的零点个数即可【解答】解：因为函数为奇函数，所以在0，6上必有f（0）=0当时，由f（x）=ln（x2x+1）=0得x2x+1=1，即x2x=0解得x=1因为函数是周期为3的奇函数，所以f（0）=f（3）=f（6）=0，此时有3个零点0，3，6f（1）=f（4）=f（1）=f（2）=f（5）=0，此时有1，2，4，5四个零点当x=时，f（）=f（）=f（）=f（），所以f（）=0，即f（）=f（）=f（）=0，此时有两个零点，所以共有9个零点故选d【点评】本题主要考查函数零点的判断，利用函数的周期性和奇偶性，分别判断零点个数即可，综合性较强二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2016，则该数列的首项为4【考点】等差数列的通项公式【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列【分析】由题意可得：21010=2016+a1，解出即可得出【解答】解：由题意可得：21010=2016+a1，解得a1=4，故答案为：4【点评】本题考查了等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题14二项式（x+1）n（nn*）的展开式中x2的系数为15，则n=6【考点】二项式定理的应用【专题】转化思想；综合法；二项式定理【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出n、r的关系，再根据展开式中x2的系数为15，求得n的值【解答】解：二项式（x+1）n（nn*）的展开式的通项公式为tr+1=xnr，令nr=2，求得r=n2再根据=15，求得n=6，故答案为：6【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题15设复数z=x+（y1）i（x，yr），若|z|1，则yx的概率为【考点】复数求模；古典概型及其概率计算公式【专题】数形结合；数形结合法；概率与统计；数系的扩充和复数【分析】由题意易得所求概率为弓形的面积与圆的面积之比，分别求面积可得【解答】解：复数z=x+（y1）i（x，yr）且|z|1，|z|=1，即x2+（y1）2 1，点（x，y）在（0，1）为圆心1为半径的圆及其内部，而yx表示直线y=x左上方的部分，（图中阴影弓形）所求概率为弓形的面积与圆的面积一般的之比，所求概率p=故答案为：【点评】本题考查几何概型，涉及复数以及圆的知识，属基础题16函数y=f（x）为定义在r上的减函数，函数y=f（x1）的图象关于点（1，0）对称，实数x，y满足不等式f（x22x）+f（2yy2）0，m（1，2），n（x，y），o为坐标原点，则当1x4时， 的取值范围是0，12【考点】平面向量数量积的运算；函数单调性的性质【专题】平面向量及应用【分析】设p（x，y）为函数y=f（x1）的图象上的任意一点，关于（1，0）对称点为（2x，y），可得f（2x1）=f（x1），即f（1x）=f（x1）由于不等式f（x22x）+f（2yy2）0化为f（x22x）f（2yy2）=f（y22y），再利用函数y=f（x）为定义在r上的减函数，可得x22xy22y，即或由于1x4，可画出可行域由m（1，2），n（x，y），o为坐标原点，利用数量积运算可得=x+2y=t进而得出答案【解答】解：设p（x，y）为函数y=f（x1）的图象上的任意一点，关于（1，0）对称点为（2x，y），f（2x1）=f（x1），即f（1x）=f（x1）不等式f（x22x）+f（2yy2）0化为f（x22x）f（2yy2）=f（112y+y2）=f（y22y），函数y=f（x）为定义在r上的减函数，x22xy22y，化为（x1）2（y1）2，即或又1x4，画出可行域m（1，2），n（x，y），o为坐标原点， =x+2y=t化为由图可知：当直线经过点a（4，2）时，t取得最小值0当直线经过点b（4，4）时t取得最大值4+24，即12综上可得： 的取值范围是0，12故答案为：0，12【点评】本题综合考查了函数的对称性、单调性、线性规划的可行域及其最值、直线的平移等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题三、解答题（共5小题，满分60分）17在数列an中，a1=1，an+1=an+c（c为常数，nn*），且a1，a2，a5成公比不为1的等比数列（1）求c的值；（2）设，求数列bn的前n项和sn【考点】数列的求和；等比数列的性质【专题】计算题【分析】（1）利用递推关系判断出数列an为等差数列，将a1，a2，a5用公差表示，据此三项成等比数列列出方程，求出c（2）写出bn，据其特点，利用裂项的方法求出数列bn的前n项和sn【解答】解：（1）an+1=an+can+1an=c数列an是以a1=1为首项，以c为公差的等差数列a2=1+c，a5=1+4c又a1，a2，a5成公比不为1的等比数列（1+c）2=1+4c解得c=2或c=0（舍）（2）由（1）知，an=2n1=【点评】求数列的前n项和时，应该先求出通项，根据通项的特点，选择合适的求和方法18在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c， =（2a，1），=（2bc，cosc），且（1）求角a的值；（2）若abc的外接圆直径为，且b+c=4，求abc的面积【考点】正弦定理；平行向量与共线向量【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形；平面向量及应用【分析】（1）由题意，利用向量平行的坐标表示可得关于cosa 的方程，从而可求cosa，进而可求a（2）由正弦定理可求a，再由余弦定理可得：22=b2+c22bccos60，及b+c=4，联解得bc=4，利用三角形面积公式即可得解【解答】（本题满分为12分）解：（1）由，得：2acosc=2bc，由正弦定理得：2sinacosc=2sinbsinc=2sin（a+c）sinc=2sinacosc+2cosasincsinc，又sinc0，cosa=，解得a=（2）由abc的外接圆直径为，所以由正弦定理=，所以a=2，再由余弦定理可得：22=b2+c22bccos60.又因为b+c=4，联解得bc=4，所以abc的面积的面积为： bcsin60=【点评】本题主要考查了向量平行的坐标表示，正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的综合应用，考查了转化思想和计算能力，属于中档题19已知函数f（x）=x3x22x+c（1）当c=1时，求y=f（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（2）若当x1，2，不等式f（x）c2恒成立，求c的取值范围【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题【专题】综合题；函数思想；综合法；导数的综合应用【分析】（1）把c=1代入函数解析式，求出原函数的导函数，得到f（0），然后由直线方程的点斜式得答案；（2）求出函数f（x）在x1，2上的最大值，由最大值小于c2求得使不等式f（x）c2恒成立的c的取值范围【解答】解：（1）当c=1时，f（x）=x3x22x+1，则f（x）=3x2x2，在（0，1）处的切线斜率为f（0）=2，故切线方程是：y1=2（x0），即2x+y1=0；（2）f（x）=3x2x2=（x1）（3x+2），当x（，），（1，+）时，f（x）0，当x（）时，f（x）0，当x=时，f（x）有极大值，又f（2）=2+c，当x1，2时，f（x）的最大值为f（2）=2+c，对于x1，2，f（x）c2恒成立，2+cc2，解得c1或c2【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数求函数的最值，训练了恒成立问题的解决方法，是中档题20下面的茎叶图记录了甲、乙两代表队各10名同学在一次数学竞赛中的成绩（单位：分），已知甲代表队数据的中位数为76，乙代表队数据的平均数是75（1）求x，y的值，并判断甲、乙两队谁的成绩更稳定？（不需要说明理由）（2）若分别从甲、乙两队随机各抽取1名成绩不低于80分的学生，求抽到学生中，甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率【考点】古典概型及其概率计算公式；茎叶图【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计【分析】（1）按大小数列排列得出x值，运用平均数公式求解y，（2）判断甲乙两队各随机抽取一名，种数为34=12，列举得出甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的有80，80；82，80；88，80；88，86；88，88种数为3+1+1=5，运用古典概率求解【解答】解：（1）因为甲代表队的中位数为76，其中已知高于76的有77，80，82，88，低于76的有71，71，65，64，所以x=6；因为乙代表队的平均数为75，其中超过75的差值为5，11，13，14，和为43，少于75的差值为3，5，7，7，19，和为41，所以y=3；甲队成绩较为稳定（2）甲队中成绩不低于80的有80，82，88；乙队中成绩不低于80的有80，86，88，89，甲、乙两队各随机抽取一名，种数为，其中甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的有80，80；82，80；88，80；88，86；88，88种数为3+1+1=5，所以甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率为【点评】本题考察了茎叶图的运用，进行数据的分析解决实际问题，考察了计算能力，准确度21已知函数f（x）=elnx，g（x）=e1f（x）（x+1）（e=2.718）（1）求函数g（x）的极大值；（2 ）求证：；（3）对于函数f（x）与h（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，b，使得f（x）kx+b和h（x）kx+b都成立，则称直线y=kx+b为函数f（x）与h（x）的“分界线”设函数，试探究函数f（x）与h（x）是否存在“分界线”？若存在，请加以证明，并求出k，b的值；若不存在，请说明理由【考点】利用导数研究函数的极值【专题】综合题【分析】（1）对于含有对数函数的函数的极值问题，往往利用导数研究，故先求出g（x）的导函数，通过解不等式令g（x）0解决（2）由题意得：“lnxx1，（当且仅当x=1时等号成立）”，令t=x1得：tln（t+1），取，原问题转化成一个数列问题解决（3）设，原问题转化为研究此函数的单调性问题，利用导数知识解决【解答】解：（），令g（x）0，解得：0x1，令g（x）0，解得：x1，函数g（x）在（0，1）上递增，（1，+）上递减，g（x）极大=g（1）=2（）证明：由（1）知x=1是函数g（x）极大值点，也是最大值点，g（x）g（1）=2，即lnx（x+1）2lnxx1，（当且仅当x=1时等号成立）令t=x1得：tln（t+1），取，则，迭加得（）设，则当时，f（x）0，函数f（x）单调递减；当时，f（x）0，函数f（x）单调递增是函数f（x）的极小值点，也是最小值点，函数f（x）与h（x）的图象在处有公共点设f（x）与h（x）存在“分界线”且方程为：令函数，）由在xr恒成立，即在r上恒成立，成立，故）下面再证明：恒成立设，则当时，（x）0，函数（x）单调递增；当时，（x）0函数（x）单调递减时（x）取得最大值0，则（x0）成立综上）和）知：且，故函数f（x）与h（x）存在分界线为，此时另解：令f（x）=h（x），则，探究得两函数图象的交点为，设存在“分界线”且为：，令函数，再证：h（x）u（x）0恒成立；f（x）u（x）0恒成立证法同上）和【点评】本题考查了对数函数的导数运算，研究函数的最值问题考查应用所学导数的知识、思想和方法解决实际问题的能力，建立函数式、解方程、不等式、最大值等基础知识选修4-1几何证明选讲22如图，o的半径ob垂直于直径ac，m为ao上一点，bm的延长线交o于n，过n点的切线交ca的延长线于p（）求证：pm2=papc；（）若o的半径为2，oa=om，求mn的长【考点】与圆有关的比例线段【专题】计算题；证明题【分析】（）做出辅助线连接on，根据切线得到直角，根据垂直得到直角，即onb+bnp=90且obn+bmo=90，根据同角的余角相等，得到角的相等关系，得到结论（）本题是一个求线段长度的问题，在解题时，应用相交弦定理，即bmmn=cmma，代入所给的条