陕西省西工大附中高三数学第八次适应性试卷 理（含解析）.doc

2016年陕西省西工大附中第八次适应性数学试卷（理科）一选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1已知a为实数，若复数z=a23a4+（a4）i为纯虚数，则复数aai在复平面内对应的点位于（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限2已知双曲线x2+my2=1的虚轴长是实轴长的两倍，则实数m的值是（）a4bcd43在等比数列an中，若a4，a8是方程x24x+3=0的两根，则a6的值是（）abcd34命题“x0r，x0+10或x02x00”的否定形式是（）ax0r，x0+10或bxr，x+10或x2x0cx0r，x0+10且dxr，x+10且x2x05由曲线y=x2和曲线y=所围成的图形的面积为（）abcd +16一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体外接球的表面积为（）a50b100c200d3007在边长为2的正方体内部随机取一点，则该点到正方体8个顶点得距离都不小于1得概率为（）abcd18已知abc的三个顶点a，b，c的坐标分别为（0，1），（，0），（0，2），o为坐标原点，动点p满足|=1，则|+|的最小值是（）a1b1c +1d +19已知实数x，y满足则z=|x+4y|的最大值为（）a9b17c5d1510已知函数f（x）=asinxbcosx（a、b为常数，a0，xr）在x=处取得最小值，则函数y=|f（x）|是（）a最大值为b且它的图象关于点（，0）对称b最大值为a且它的图象关于点（，0）对称c最大值为b且它的图象关于直线x=对称d最大值为a且它的图象关于直线x=对称11已知点a是抛物线y=的对称轴与准线的交点，点b为该抛物线的焦点，点p在该抛物线上且满足|pb|=m|pa|，当m取最小值时，点p恰好在以a，b为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为（）abcd12设函数f1（x）=x2，f2（x）=，f3（x）=sinx，xi=（i=0，1，2，9），记ik=|fk（xi）fk（xi1）|，则（）ai1i2i3bi2i1i3ci3i2i1di1i3i2二填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填写在答题卡相应的位置）13已知cos（x）=，则cosx+cos（x）=14阅读如图所示程序框图，若输出的n=5，则满足条件的整数p共有个15若（x1）8=a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+a8（1+x）8，则a5=16设函数f（x）为（，0）上的可导函数，其导函数为f（x），且有2f（x）+xf（x）x2，则不等式（x+2016）2f（x+2016）9f（3）0的解集为三解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知等比数列an的前n项和sn=a2n3（a为常数）（1）求a及数列an的通项公式；（2）设bn=nan，求数列bn的前n项和tn18在四棱锥pabcd中，pa平面abcd，adbc，bc=2ad=4，ab=cd=（）证明：bd平面pac；（）若二面角apcd的大小为60，求ap的值19随机抽取某厂的某种产品400件，经质检，其中有一等品252件、二等品100件、三等品40件、次品8件已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元设1件产品的利润（单位：万元）为（）求的分布列；（）求1件产品的平均利润；（）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.75万元，则三等品率最多是多少？20已知双曲线c：（a0，b0）的右准线与一条渐近线交于点m，f是右焦点，若|mf|=1，且双曲线c的离心率（1）求双曲线c的方程；（2）过点a（0，1）的直线l与双曲线c的右支交于不同两点p、q，且p在a、q之间，若且，求直线l斜率k的取值范围21已知函数f（x）=ax，g（x）=lnx，其中ar，（e2.718）（1）若函数f（x）=f（x）g（x）有极值1，求a的值；（2）若函数g（x）=f（sin（x1）g（x）在区间（0，1）上为减函数，求a的取值范围；（3）证明：请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号选修4-1：几何证明选讲22如图，o的半径为6，线段ab与相交于点c、d，ac=4，bod=a，ob与o相交于点e（1）求bd长；（2）当ceod时，求证：ao=ad选修4-4；坐标系与参数方程23已知曲线c的参数方程为（为参数），以直角坐标系原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系（）求曲线c的极坐标方程；（）若直线l的参数方程为，其中t为参数，求直线l被曲线c截得的弦长选修：不等式选讲24已知函数f（x）=|x|+|x1|，g（x）=|x4|+m（）解关于x的不等式gf（x）+1m0；（）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求实数m的取值范围2016年陕西省西工大附中第八次适应性数学试卷（理科）参考答案与试题解析一选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1已知a为实数，若复数z=a23a4+（a4）i为纯虚数，则复数aai在复平面内对应的点位于（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义【分析】根据复数是纯虚数求出a的值，结合复数的几何意义进行求解即可【解答】解：若复数z=a23a4+（a4）i为纯虚数，则得得a=1，则复数aai=1+i对应的坐标为（1，1）位于第二象限，故选：b2已知双曲线x2+my2=1的虚轴长是实轴长的两倍，则实数m的值是（）a4bcd4【考点】双曲线的标准方程【分析】双曲线x2+my2=1的标准方程为=1，由已知得2=22，由此能求出结果【解答】解：双曲线x2+my2=1的标准方程为=1，虚轴长是实轴长的两倍，2=22，解得m=故选：b3在等比数列an中，若a4，a8是方程x24x+3=0的两根，则a6的值是（）abcd3【考点】等比数列的性质【分析】解方程可得a4和a8，可得a62=a4a8，解之由a4，a6同号可得【解答】解：解方程x24x+3=0可得x=1，或x=3故a4=1，a8=3，或a4=3，a8=1故a62=a4a8=3，故a6=，又a52=a4a6，0，即a4，a6同号，又a40，故a6=故选c4命题“x0r，x0+10或x02x00”的否定形式是（）ax0r，x0+10或bxr，x+10或x2x0cx0r，x0+10且dxr，x+10且x2x0【考点】命题的否定【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“x0r，x0+10或”的否定形式是：xr，x+10且x2x0故选：d5由曲线y=x2和曲线y=所围成的图形的面积为（）abcd +1【考点】定积分在求面积中的应用【分析】绘制出积分区域，利用定积分的性质，求得阴影的面积可以转化为12【解答】解：由图形可知s=12=，故答案选：a6一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体外接球的表面积为（）a50b100c200d300【考点】由三视图求面积、体积【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为直角三角形，高为10的直三棱柱，且三棱柱外接球的半径是三棱柱对角线的一半，结合图形即可求出它的【解答】解：根据几何体的三视图，得该几何体是底面为直角三角形，且直角边长分别为6和8，高为10的直三棱柱，如图所示；所以该三棱柱外接球的球心为a1b的中点，因为a1b=10，所以外接球的半径为5，所以这个几何体外接球的表面积为=200故选：c7在边长为2的正方体内部随机取一点，则该点到正方体8个顶点得距离都不小于1得概率为（）abcd1【考点】几何概型【分析】根据题意，求出满足条件的点p所组成的几何图形的体积是多少，再将求得的体积与整个正方体的体积求比值即可【解答】解：符合条件的点p落在棱长为2的正方体内，且以正方体的每一个顶点为球心，半径为1的球体外；根据几何概型的概率计算公式得，p=1故选：d8已知abc的三个顶点a，b，c的坐标分别为（0，1），（，0），（0，2），o为坐标原点，动点p满足|=1，则|+|的最小值是（）a1b1c +1d +1【考点】平面向量的坐标运算【分析】设点p（x，y），则动点p满足|=1可得 x2+（y+2）2=1根据|+|=，表示点p（x y）与点q（，1）之间的距离显然点q在圆c x2+（y+2）2=1的外部，求得qc=，问题得以解决【解答】解：设点p（x，y），则动点p满足|=1可得 x2+（y+2）2=1根据+的坐标为（+x，y+1），可得|+|=，表示点p（x y）与点q（，1）之间的距离显然点q在圆c x2+（y+2）2=1的外部，求得qc=，|+|的最小值为qc1=1，故选：a9已知实数x，y满足则z=|x+4y|的最大值为（）a9b17c5d15【考点】简单线性规划【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的abc及其内部，设t=x+4y，将其对应的直线进行平移并观察直线在轴上的截距变化，可得17x+4y5，由此即得z=|x+4y|的最大值为17【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的abc及其内部，其中a（3，5），b（3，3），c（1，1）设t=f（x，y）=x+4y，将直线l：t=x+4y进行平移，f（3，5）=17，f（3，3）=15，f（1，1）=5，当l经过点c时，目标函数t达到最大值；当l经过点b时，目标函数t达到最小值由此可得：174x+y5，即得z=|x+4y|的最大值为17故选：d10已知函数f（x）=asinxbcosx（a、b为常数，a0，xr）在x=处取得最小值，则函数y=|f（x）|是（）a最大值为b且它的图象关于点（，0）对称b最大值为a且它的图象关于点（，0）对称c最大值为b且它的图象关于直线x=对称d最大值为a且它的图象关于直线x=对称【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象【分析】由题意可得f（）=（ab）=，可得b=a0，代入化简y=|f（x）|=|asin（x+）|=asinx，可得三角函数的最值和对称性【解答】解：函数f（x）=asinxbcosx（a、b为常数，a0，xr）在x=处取得最小值，化简可得f（x）=asinxbcosx=sin（x），其中tan=，f（）=（ab）=0，平方可得（ab）2=（）2=a2+b2，故b=a0，f（x）=asinx+acosx=asin（x+）y=|f（x）|=|asin（x+）|=asinx，函数的最大值为a=b，关于（，0）对称故选：a11已知点a是抛物线y=的对称轴与准线的交点，点b为该抛物线的焦点，点p在该抛物线上且满足|pb|=m|pa|，当m取最小值时，点p恰好在以a，b为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为（）abcd【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质【分析】过p作准线的垂线，垂足为n，则由抛物线的定义，结合|pb|=m|pa|，可得=m，设pa的倾斜角为，则当m取得最小值时，sin最小，此时直线pa与抛物线相切，求出p的坐标，利用双曲线的定义，即可求得双曲线的离心率【解答】解：过p作准线的垂线，垂足为n，则由抛物线的定义可得|pn|=|pb|，|pb|=m|pa|，|pn|=m|pa|，则=m，设pa的倾斜角为，则sin=m，当m取得最小值时，sin最小，此时直线pa与抛物线相切，设直线pa的方程为y=kx1，代入x2=4y，可得x2=4（kx1），即x24kx+4=0，=16k216=0，k=1，p（2，1），双曲线的实轴长为|pa|pb|=2（1），双曲线的离心率为=+1故选：c12设函数f1（x）=x2，f2（x）=，f3（x）=sinx，xi=（i=0，1，2，9），记ik=|fk（xi）fk（xi1）|，则（）ai1i2i3bi2i1i3ci3i2i1di1i3i2【考点】数列的求和【分析】根据记ik=|fk（x1）fk（x0）|+|fk（x2）fk（x1）丨+|fk（x9）fk（x8）|，分别求出i1，i2，i3与1的关系，继而得到答案【解答】解：f1（x）=x2，在（0，1）是单调增函数，|f1（xi）f1（xi1）|=f1（xi）f1（xi1），i1=|f1（x1）f1（x0）|+|f1（x2）f1（x1）丨+|f1（x9）fk（x8）|，=f1（x1）f1（x0）+f1（x2）f1（x1）+f1（x9）f1（x8），=f1（x9）f1（x0），=f1（1）f1（0），=1；f2（x）=，在（0，1）是单调减函数，|f1（xi）f1（xi1）|=f1（xi1）f1（xi），i2=|f2（x1）f2（x0）|+|f2（x2）f2（x1）丨+|f2（x9）f2（x8）|，=f1（x0）f1（x9），=；f3（x）=sinx，在（0，）单调递增，在（，1）单调递增，且图象关于x=对称，i3=|f3（x1）f3（x0）|+|f3（x2）f3（x1）丨+|f3（x9）f3（x8）|，=f3（x1）f3（x0）+f3（x2）f3（x1）+f3（x5）f3（x4）+f3（x5）f3（x6）+f3（x7）f3（x9）+f3（x8）f3（x9），=f3（x5）f3（x0）+f3（x5）f3（x9），=2故答案为：a二填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填写在答题卡相应的位置）13已知cos（x）=，则cosx+cos（x）=1【考点】两角和与差的余弦函数【分析】由和差角的三角函数公式可得cosx+cos（x）=cosx+cosx+sinx=cos（x），代入已知数据可得【解答】解：cos（x）=，cosx+cos（x）=cosx+cosx+sinx=cosx+sinx=（cosx+sinx）=cos（x）=1故答案为：114阅读如图所示程序框图，若输出的n=5，则满足条件的整数p共有32个【考点】程序框图【分析】分析程序框图最后一次运行的情况，即可求出满足条件的整数p共有多少个【解答】解：模拟程序框图的运行过程，最后一次循环是：s=22+23+24=28，满足条件，sp；执行循环s=28+25=60，n=5，不满足条件，sp；终止循环，输出n=5；所以满足条件的整数p共有6028=32个故答案为：3215若（x1）8=a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+a8（1+x）8，则a5=448【考点】二项式系数的性质【分析】依题意，（x1）8=（x+1）28，a5=c83（2）3从而可得答案【解答】解：（x1）8=a0+a1（1+x）+a2（x+1）2+a8（1+x）8，又（x1）8=（x+1）28，a5=c83（2）3=448，故答案为：44816设函数f（x）为（，0）上的可导函数，其导函数为f（x），且有2f（x）+xf（x）x2，则不等式（x+2016）2f（x+2016）9f（3）0的解集为（，2019）【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算【分析】通过观察2f（x）+xf（x）x2，不等式的左边像一个函数的导数，又直接写不出来，对该不等式两边同乘以x，由x0，可得到2xf（x）+x2f（x）x3，而这时不等式的左边是（x2f（x），所以构造函数f（x）=x2f（x），则能判断该函数在（，0）上是减函数这时f（x+2016）=（x+2016）2f（x+2016），f（3）=9f（3），而到这会发现不等式（x+2016）2f（x+2016）9f（3）0可以变成f（x+2016）f（3），从而解这个不等式便可，而这个不等式利用f（x）的单调性可以求解【解答】解：由2f（x）+xf（x）x2，（x0）；得：2xf（x）+x2f（x）x3即x2f（x）x30；令f（x）=x2f（x）；则当x0时，f（x）0，即f（x）在（，0）上是减函数；f（x+2016）=（x+2016）2f（x+2016），f（3）=9f（3）；即不等式等价为f（x+2016）f（3）0；f（x）在（，0）是减函数；由f（x+2016）f（3）得，x+20163，x2019；故答案为：（，2019）三解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知等比数列an的前n项和sn=a2n3（a为常数）（1）求a及数列an的通项公式；（2）设bn=nan，求数列bn的前n项和tn【考点】数列的求和；等比数列的通项公式【分析】（1）根据n2时，an=snsn1的关系即可求a及数列an的通项公式；（2）求出bn=nan，利用错位相减法即可求数列bn的前n项和tn【解答】解：（1）当n=1时，a1=s1=2a3，当n2时，an=snsn1=a2n3a2n1+3=a2na2n1=a2n1，an是等比数列，当n=1时，a1=2a3满足an=a2n1，即2a3=a211=a，得a=3，此时an=32n1（2）bn=nan，数列bn的前n项和tn满足，两式相减得得tn=332132232332n1+3n2n=+3n2n=3n2n32n+3=3（n1）2n+3即18在四棱锥pabcd中，pa平面abcd，adbc，bc=2ad=4，ab=cd=（）证明：bd平面pac；（）若二面角apcd的大小为60，求ap的值【考点】与二面角有关的立体几何综合题【分析】（）设o为ac与bd的交点，作debc于点e，证明boc=90，可得acbd由pa平面abcd得pabd，利用线面垂直的判定定理，可得bd平面pac；（）方法一：作ohpc于点h，连接dh，可得dho是二面角apcd的平面角，在rtpac中， =，可求ap的值；方法二：以o为原点，ob，oc所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系，求出平面pdc、平面pac的法向量，利用向量的夹角公式，结合二面角apcd的大小为60，可求ap的值【解答】（）证明：设o为ac与bd的交点，作debc于点e由四边形abcd是等腰梯形得ce=1，de=3，所以be=de，从而得dbc=bca=45，所以boc=90，即acbd由pa平面abcd得pabd，因为acpa=a，所以bd平面pac （）解：方法一：作ohpc于点h，连接dh由（）知do平面pac，故dopc所以pc平面doh，从而得pcoh，pcdh故dho是二面角apcd的平面角，所以dho=60在rtdoh中，由do=，得oh=在rtpac中， =设pa=x，可得=解得x=，即ap= 方法二：（） 由（）知acbd以o为原点，ob，oc所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系oxyz，如图所示由题意知各点坐标如下：a（0，0），b（，0，0），c（0，0），d（，0，0）由pa平面abcd，得paz轴，故设点p（0，t） （t0）设=（x，y，z）为平面pdc的法向量，由=（，0），=（，t） 知取y=1，得=（2，1，）又平面pac的法向量为=（1，0，0），于是|cos，|=解得t=，即ap= 19随机抽取某厂的某种产品400件，经质检，其中有一等品252件、二等品100件、三等品40件、次品8件已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元设1件产品的利润（单位：万元）为（）求的分布列；（）求1件产品的平均利润；（）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.75万元，则三等品率最多是多少？【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【分析】（i）的所有可能取值有6，2，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列（ii）由的分布列，能求出1件产品的平均利润（iii）设技术革新后的三等品率为x，求出此时1件产品的平均利润为e（x）=4.76x（0x0.29），由此能求出三等品率最多为1%【解答】（满分12分）解：（i）的所有可能取值有6，2，1，2，故的分布列为：6212p0.630.250.10.02（ii）由的分布列，得：1件产品的平均利润为：e=60.63+20.25+10.1+（2）0.02=4.34（万元）（iii）设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为e（x）=60.7+2（10.70.01x）+x+（2）0.01=4.76x（0x0.29）依题意，e（x）4.75，即4.76x4.75，解得x0.01三等品率最多为1%20已知双曲线c：（a0，b0）的右准线与一条渐近线交于点m，f是右焦点，若|mf|=1，且双曲线c的离心率（1）求双曲线c的方程；（2）过点a（0，1）的直线l与双曲线c的右支交于不同两点p、q，且p在a、q之间，若且，求直线l斜率k的取值范围【考点】圆锥曲线的综合；双曲线的标准方程【分析】（1）利用双曲线的右准线与一条渐近线交于点m，可求点m的坐标，由|mf|=1，可得方程，借助于离心率及几何量的关系，从而求出双曲线的方程；（2）将直线与双曲线的方程联立可得（12k2）x24kx4=0，从而可有，即且k0，再根据且，有，从而可求k的取值范围【解答】解：（1）由对称性，不妨设m是右准线与一渐近线的交点，其坐标为m（），|mf|=1，又，解得a2=2，b2=1，所以双曲线c的方程是；（2）设直线l的斜率为k，则l的方程为y=kx+1，设点p（x1，y1），q（x2，y2），由得：（12k2）x24kx4=0，l与双曲线c的右支交于不同的两点p、q，且k0又且p在a、q之间，x1=x2且，=在上是减函数（f（）0），由于，由可得：，即直线l斜率取值范围为21已知函数f（x）=ax，g（x）=lnx，其中ar，（e2.718）（1）若函数f（x）=f（x）g（x）有极值1，求a的值；（2）若函数g（x）=f（sin（x1）g（x）在区间（0，1）上为减函数，求a的取值范围；（3）证明：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值【分析】（1）f（x）=axlnx，（x0），对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值即可得出；（2）解法1：由函数g（x）=f（sin（x1）g（x）=asin（x1）lnx在区间（0，1）上为减函数，可得在（0，1）上恒成立在（0，1）上恒成立，设，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出；解法2：由函数g（x）=f（sin（x1）g（x）=asin（x1）lnx在区间（0，1）上为减函数，可得对x（0，1），（*）恒成立，由x（0，1），可得cos（x1）0，对a分类讨论：当a0时，（*）式显然成立；当a0时，（*）式在（0，1）上恒成立，设h（x）=xcos（x1），利用其单调性即可得出（3）证法1：由（2）知，当a=1时，g（x）=sin（x1）lnxg（1）=0，sin（x1）lnx对任意的kn*有，可得，因此，利用对数的运算性质、“累加求和”即可得出；证法2：利用导数先证明当时，sinxx，由于对任意的kn*，而可得，利用“累加求和”即可证明【解答】解：（1）f（x）=axlnx，（x0），若a0，则对任意的x（0，+）都有f（x）0，即函数f（x）在（0，+）上单调递减，函数f（x）在（0，+）上无极值；若a0，由f（x）=0得，当时，f（x）0；当时，f（x）0，即函数f（x）在单调递减，在单调递增，函数f（x）在处有极小值，=，a=1（2）解法1：函数g（x）=f（sin（x1）g（x）=asin（x1）lnx在区间（0，1）上为减函数，且当x（0，1）时，cos（x1）0，在（0，1）上恒成立在（0，1）上恒成立，设，则，当x（0，1）时，sin（x1）0，cos（x1）0，h（x）0在（0，1）上恒成立，即函数h（x）在（0，1）上单调递减，当x（0，1）时，h（x）h（1）=1，a1解法2：函数g（x）=f（sin（x1）g（x）=asin（x1）lnx在区间（0，1）上为减函数，对x（0，1），（*）恒成立，x（0，1），cos（x1）0，当a0时，（*）式显然成立；当a0时，（*）式在（0，1）上恒成立，设h（x）=xcos（x1），易知h（x）在（0，1）上单调递增，h（x）h（1）=1，0a1，综上得a（，1（3）证法1：由（2）知，当a=1时，g（x）=sin（x1）lnxg（1）=0，s