（全国通用）高考数学二轮复习 第2部分 大专题综合测4 立体几何与空间向量 理（含解析）.doc

4立体几何与空间向量(理)时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2015青岛市质检)某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是()a2bc.d3答案d解析依题意，由三视图还原出原几何体的直观图如图所示，原几何体为四棱锥，且其底面积为2(12)3，高为x，所以其体积v3x3，所以x3.2(2015陕西理，5)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()a3b4c24d34答案d解析由空间几何体的三视图可知该几何体为竖着放的半个圆柱，圆柱底面半径为1，高为2，所以几何体的表面积s22234.故本题正确答案为d3一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积是()a6b12 c24 d36答案b解析由三视图知该几何体为有一条侧棱与底面垂直的四棱锥，体积v(43)312.4如图，设平面ef，ab，cd，垂足分别是b、d，如果增加一个条件，就能推出bdef，这个条件不可能是下面四个选项中的()aacbacefcac与bd在内的射影在同一条直线上dac与、所成的角相等答案d解析因为bd是ac在平面内的射影，所以只需得到acef，那么由三垂线定理的逆定理可得bdef.对于选项a，因为ac，efacefbdef.选项b，因为acef，所以bdef.对于选项c，可得平面abdc，所以bdef.对于选项d，ac与、所成的角相等，无法保证acef.综上知选d5设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题不正确的是()a若mn，m，n，则nb若m，则m或mc若mn，m，n，则d若m，则m答案d解析对于选项d，当直线m位于平面内且与平面，的交线平行时，直线m，显然m与平面不垂直，因此选项d不正确6已知正四面体abcd，设异面直线ab与cd所成的角为，侧棱ab与底面bcd所成的角为，侧面abc与底面bcd所成的角为，则()abcd答案b解析如图，设底面bcd的中心为点o，连接ao，bo，易知abo，取bc的中点e，连接ae、oe，易知aeo，在正三角形bcd中，oboe，因此0.7如图，在abc中，abac，若adbc，则ab2bdbc；类似地有命题：在三棱锥abcd中，ad平面abc，若a点在平面bcd内的射影为m，则有ssbcmsbcd上述命题是()a真命题b增加条件“abac”才是真命题c增加条件“m为bcd的垂心”才是真命题d增加条件“三棱锥abcd是正三棱锥”才是真命题答案a解析因为ad平面abc，所以adae，adbc，在ade中，ae2mede，又a点在平面bcd内的射影为m，所以am平面bcd，ambc，所以bc平面ade，所以bcde，将sabc、sbcm、sbcd分别表示出来，可得ssbcmsbcd，故选a.8(2015德州市期末)如图所示，在长方体abcda1b1c1d1中，ab2，ad3，aa12，点p是b1c的三等分点且靠近点c，则异面直线ap和dd1所成的角为()a.bcd答案c解析如图，过点p作pnbc于点n，连接an，则pnbb1，而dd1bb1，所以dd1pn，所以apn就是异面直线ap和dd1所成的角因为点p是b1c的三等分点且靠近点c，且ab2，ad3，aa12，所以pnbb1，bnbc2.在rtabn中，an2，在rtanp中，tanapn，所以apn.9(2015浙江文，7)如图，斜线段ab与平面所成的角为60，b为斜足，平面上的动点p满足pab30，则点p的轨迹是()a直线b抛物线c椭圆d双曲线的一支答案c解析考查1.圆锥曲线的定义；2.线面位置关系由题可知，当p点运动时，在空间中，满足条件的ap绕ab旋转形成一个圆锥，用一个与圆锥高成60角的平面截圆锥，所得图形为椭圆故选c.10(2015济南市模拟)类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论：垂直于同一个平面的两条直线互相平行；垂直于同一条直线的两条直线互相平行；垂直于同一个平面的两个平面互相平行；垂直于同一条直线的两个平面互相平行则正确的结论是()abcd答案d解析显然正确；对于，在空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行，也可以异面或相交；对于，在空间中垂直于同一个平面的两个平面可以平行，也可以相交(如长方体相邻两侧面与底面)11(2014郑州市质检)如图，四边形abcd中，abadcd1，bd，bdcd将四边形abcd沿对角线bd折成四面体abcd，使平面abd平面bcd，则下列结论正确的是()aacbdbbac90cca与平面abd所成的角为30d四面体abcd的体积为答案b解析取bd的中点o，abad，aobd，又平面abd平面bcd，平面abd平面bcdbd，ao平面bcd，cdbd，oc不垂直于bd假设acbd，oc为ac在平面bcd内的射影，ocbd，矛盾，ac不垂直于bd，a错误；cdbd，平面abd平面bcd，cd平面abd，ac在平面abd内的射影为ad，abad1，bd，abad，abac，b正确；cad为直线ca与平面abd所成的角，cad45，c错误；vabcdsabdcd，d错误，故选b12(2014唐山市二模)直三棱柱abca1b1c1的所有顶点都在半径为的球面上，abac，aa12，则二面角baa1c的余弦值为()abc.d答案d解析如图，设球心为o，底面abc外接圆的圆心为o，则oaoboc，oo1，oaoboc1，bc，abc为正三角形，二面角baa1c的平面角bac60，二面角baa1c的余弦值为.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)13(2015枣庄四校联考)在正三棱锥pabc中，m，n分别是pb，pc的中点，若截面amn平面pbc，且三棱锥pabc的侧面积为s1，底面积为s2，则_.答案2解析取线段bc的中点d，连接pd交mn于h，连接ad，ah.因为m，n分别是pb，pc的中点，所以h为pd的中点，ahmn，又平面amn平面pbc，平面amn平面pbcmn，所以ah平面pbc，从而ah垂直且平分pd，则paad，设aba，则paada，所以侧面积s1a2，底面积s2a2，则2.14.(2015胶东示范校质检)如图，在平面四边形abdc中，已知abbc，cdbd，abbc，现将四边形abdc沿bc折起，使平面abc平面bdc，设e，f分别为棱ac，ad的中点，若cd2，bcd60，则vabfe_.答案解析因为平面abc平面bdc，abbc，所以ab平面bdc，所以abcd，又cdbd，abbdb，所以dc平面abd，因为e，f分别为棱ac，ad的中点，所以ef平面abd，所以vabfeveabf，在rtbcd中，cd2，bcd60，所以bd2，bc4，又abbc，所以ab4，因为e，f分别为棱ac，ad的中点，所以ef1，所以vabfeveabf1sabf(sabd)24.15设c是aob所在平面外的一点，若aobbocaoc，其中是锐角，而oc和平面aob所成角的余弦值等于，则的值为_答案60解析作cc1平面aob于点c1，c1a1oa于点a1，c1b1ob于点b1，连接oc1，则coc1为直线oc与平面aob所成的角，且oc1是aob的平分线，设oa1x，则oc，oc1，易求得coscoc1，即2cos2cos10，解之得cos或cos(舍去)，故30，所以60.16如图，正方形bcde的边长为a，已知abbc，将直角abe沿be边折起，a点在面bcde上的射影为d点，则翻折后的几何体中有如下描述：ab与de所成角的正切值是；vbace的体积是a3；abcd；平面eab平面ade；直线ba与平面ade所成角的正弦值为.其中正确的叙述有_(写出所有正确结论的编号)答案解析由题意可得如图所示的几何体，对于，ab与de所成角为abc，在abc中，acb90，aca，bca，所以tanabc，故正确；对于，vbacevaecbaaaa3，故正确；明显错误；对于，因为ad平面bcde，所以adbe，又因为debe，所以be平面ade，可得平面eab平面ade，故正确；对于，由可知，bae即为直线ba与平面ade所成的角，在abe中，aeb90，aba，bea，所以sinbae，故正确三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本题满分10分)如图，直三棱柱abca1b1c1中，abc是等边三角形，d是bc的中点(1)求证：直线a1db1c1；(2)判断a1b与平面adc1的位置关系，并证明你的结论解析(1)在直三棱柱abca1b1c1中，aa1平面abc，所以aa1bc，在等边abc中，d是bc中点，所以adbc，因为在平面a1ad中，a1aada，所以bc平面a1ad，又因为a1d平面a1ad，所以a1dbc，在直三棱柱abca1b1c1中，四边形bcc1b1是平行四边形，所以b1c1bc，所以，a1db1c1.(2)在直三棱柱abca1b1c1中，四边形acc1a1是平行四边形，在平行四边形acc1a1中连接a1c，交ac1于点o，连接do.故o为a1c的中点在三角形a1cb中，d为bc中点，o为a1c中点，故doa1b因为do平面adc1，a1b平面adc1，所以，a1b平面adc1，故a1b与平面adc1平行18(本题满分12分)(2015山西太原市模拟)如图，四棱锥pabcd的底面abcd是平行四边形，dab60，ab2ad2，pd平面abcd(1)求证：adpb；(2)若bd与平面pbc的所成角为30，求四面体pbcd的体积解析(1)证明：在abd中，dab60，ab2ad2，由余弦定理得bd2ab2ad22abadcosdab3，ab2ad2bd2，adb90，adbd，pd平面abcd，pdad，ad平面pbd，adpb；(2)过d作depb，垂足为e，abcd是平行四边形，adbc，由(1)得ad平面pbd，bc平面pbd，平面pbc平面pbd，de平面pbc，bd与平面pbc的所成角为dbe30，由(1)得bd，dpbdtandbe1，vpbcdsbcddpbdbcdp.19(本题满分12分)(2014成都一诊)如图，po平面abcd，点o在ab上，eapo，四边形abcd为直角梯形，bcab，bccdbopo，eaaocd(1)求证：pe平面pbc；(2)直线pe上是否存在点m，使dm平面pbc，若存在，求出点m；若不存在，说明理由(3)求二面角ebda的余弦值解析(1)证明：eaop，ao平面abp，点a，b，p，e共面po平面abcd，po平面peab平面peab平面abcd，bc平面abcd，bcab，平面peab平面abcdab，bc平面peab，pebc.由平面几何知识知pepb，又bcpbb，pe平面pbc.(2)点e即为所求的点，即点m与点e重合取pb的中点f，连接ef、cf、de，延长pe交ba的延长线于h，则e为ph的中点，o为bh的中点，ef綊ob，又ob綊cd，efcd，且efdc，四边形dcfe为平行四边形，所以decf.cf在平面pbc内，de不在平面pbc内，de平面pbc.(3)由已知可知四边形bcdo是正方形，显然od、ob、op两两垂直，如图建立空间直角坐标系，设dc1，则b(0,1,0)，d(1,0,0)，e(0，)，设平面bde的一个法向量为n1(x，y，z)，(1，1,0)，(0，)，即取y1，则x1，z3，从而n1(1,1,3)取平面abd的一个法向量为n2(0,0,1)cosn1，n2，故二面角ebda的余弦值为.20(本题满分12分)(2015江西省质检)已知斜四棱柱abcda1b1c1d1的底面是矩形，侧面cc1d1d垂直于底面abcd，bc2abdc12，bd12.(1)求证：平面ab1c1d平面abcd；(2)点e是棱bc的中点，求二面角a1aed的余弦值解析(1)连接cd1，设cd1dc1f，则f是cd1，dc1的中点，因为底面abcd是矩形，所以bccd，又平面abcd平面cc1d1d，所以bc平面cc1d1d，所以bccd1，由bd12，bc2，得cd12，cf.在dfc中，dfdc11，cd1.所以cd2df2cf2，所以dfdc，又bc平面cc1d1d得dfbc，所以df平面abcd，df平面ab1c1d，所以平面ab1c1d平面abcd；(2)由(1)可以点d为原点，da，dc，dc1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则平面dae的法向量n(0,0,2)，设平面a1ae的法向量为m(x，y，z)，因为(2,0,0)，(1,1,0)，(0，1,2)，所以(1,1,0)，由m0得xy0，由m0得y2z0，令z1，得m(2,2,1)，所以cosm，n，即所求二面角的余弦值为.21(本题满分12分)如图，边长为1的正方形abcd中，点e、f分别为ab、bc的中点，将bef剪去，将aed、dcf分别沿de、df折起，使a、c两点重合于点p，得一三棱锥如图所示(1)求证：pdef；(2)求三棱锥pdef的体积；(3)求de与平面pdf所成角的正弦值解析(1)依题意知图折前adae，cdcf，折起后pdpe，pfpd，pepfp，pd平面pef.又ef平面pe