（全国通用）高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第六节 双曲线习题 理.doc

第六节双曲线基础达标一、选择题(每小题5分,共30分)1.双曲线=1的一条渐近线的倾斜角为30,则双曲线的离心率为()a.b.c.d.21.a【解析】由题意可知,双曲线的焦点在x轴上,且一条渐近线的斜率是,所以,即e2=,故e=.2.已知圆x2+y2-10x+24=0的圆心是双曲线=1(a0)的一个焦点,则此双曲线的渐近线方程为()a.y=xb.y=xc.y=xd.y=x2.b【解析】因为圆心(5,0)是双曲线的一个焦点,所以a2+9=25,a0,解得a=4,所以渐近线方程为y=x=x.3.(2015西北师大附中三诊)已知双曲线=1(a0,b0)的左、右焦点分别为f1,f2,以f1,f2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4),则此双曲线的方程为()a. =1b. =1c. =1d. =13.c【解析】由题意可得c=5, ,则b2=a2=25-a2,解得a2=9,b2=16,故该双曲线的方程为=1.4.(2015新课标全国卷)已知a,b为双曲线e的左、右顶点,点m在e上,abm为等腰三角形,且顶角为120,则e的离心率为()a.b.2c.d.4.d【解析】设双曲线方程为=1(a0,b0),且不妨设点m在第一象限,则由题意得m(2a, a),则=1,所以a=b,所以e=.5.已知点f1,f2分别是双曲线=1(a0,b0)的左、右焦点,过f1且垂直于x轴的直线与双曲线交于a,b两点,若abf2是锐角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是()a.(1,)b.(,2)c.(1+,+)d.(1,1+)5.d【解析】由abf2是锐角三角形,得af2f1,所以af1f1f2,即2c,c2-a22ac,即为e2-2e-11,解得1e0,b0)的两支及其两条渐近线从左到右依次交于a,b,c,d不同的四点,则下列一定成立的是()a.|ad|=2|bc|b.|ab|=|bc|=|cd|c.d.6.c【解析】设直线l为y=kx+m.联立方程组得(b2-a2k2)x2-2kma2x-a2m2-a2b2=0.联立方程组得(b2-a2k2)x2-2kma2x-a2m2=0.xa+xd=xb+xc,即线段ad与线段bc的中点重合,故|ab|=|cd|,.二、填空题(每小题5分,共10分)7.若双曲线x2-ky2=1的一个焦点是(3,0),则实数k=.7.【解析】该双曲线的标准方程为x2-=1,所以1+=9,解得k=.8.(2015镇江调研)若双曲线=1(a0,b0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的,则该双曲线的渐近线方程是.8.y=x【解析】双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离d=b,焦距为2c,则由题意可得b=2c,4b2=c2=a2+b2,3b2=a2, ,所以该双曲线的渐近线方程为y=x=x.三、解答题(共20分)9.(10分)求过和(4,-3)两点的双曲线的标准方程.9.【解析】设双曲线方程为mx2-ny2=1(mn0).由题意得解得所以所求双曲线方程为=1.10.(10分)已知定圆m:(x-2)2+y2=8,动圆p过点n(-2,0),且与定圆m外切,求动圆p的圆心的轨迹方程.10.【解析】因为动圆p过点n,所以|pn|是圆p的半径,又因为动圆p与圆m外切,所以|pm|=|pn|+2,即|pm|-|pn|=2.故点p的轨迹是以m,n为焦点,实轴长为2的双曲线的左支.因为实半轴长a=,半焦距c=2,所以虚半轴长b=.从而动圆p的圆心的轨迹方程为=1(x-).高考冲关1.(5分)过双曲线=1(a0,b0)的右顶点a作斜率为-1的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为b,c.若,则此双曲线的离心率是()a.b.c.d.1.c【解析】由题意可得-a,直线l:y=-x+a与渐近线y=x相交于点b,与渐近线y=-x相交于点c,又,则,得b=2a,b2=c2-a2=4a2,c=a,所以离心率e=.2.(5分)(2015湖州二模)已知椭圆c1: =1(a1b10)和双曲线c2: =1(a20,b20)有相同的焦点f1,f2,且椭圆c1与双曲线c2在第一象限的交点为p,若2=|2(o为坐标原点),则双曲线c2的离心率的取值范围是()a.(,+)b.(2,+)c.(,+)d.(3,+)2.b【解析】设p(x,y),f2(c,0),则由2=|2可得x=,分别代入椭圆和双曲线方程可得y2=,y2=,且=c2,则c2,可得),解得e1e2=2,e2=,因为e1(0,1),所以e2(2,+).3.(5分)(2015安庆三模)若以a,b为焦点的双曲线经过点c,且|ab|=|ac|,cos abc=,则该双曲线的离心率为()a.b.2c.3d.3.c【解析】不妨设点a,b分别为左、右焦点,实半轴长为a,半焦距为c,若点c在双曲线的左支上,设bc中点为d,则由定义知|bd|=|bc|= (2c+2a)=c+a,在rtabd中,由cos abc=,得,e=-3,不可能,故c在双曲线的右支上,设bc中点为d,则由双曲线定义知|bd|=|bc|= (2c-2a)=c-a,在rtabd中,cos abd=,故,得e=3.4.(5分)(2015重庆巴蜀中学三诊)已知f是双曲线=1的左焦点,点a(1,3),p是双曲线右支上的动点,则|pf|+|pa|的最小值为.4.11【解析】双曲线的右焦点f(5,0),由于点p是双曲线右支上的动点,则|pf|+|pa|=2a+|pf|+|pa|6+|fa|=11,当且仅当f,p,a三点共线时取等号,故|pf|+|pa|的最小值为11.5.(5分)(2015江苏高考)在平面直角坐标系xoy中,p为双曲线x2-y2=1右支上的一个动点.若点p到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立,则实数c的最大值为.5.【解析】如图,x-y=0为双曲线x2-y2=1的一条渐近线.设点p到直线x-y+1=0的距离为d,直线x-y=0与直线x-y+1=0的距离为d1,由渐近线的性质,可知dd1=,又因为dc恒成立,所以c的最大值为.6.(5分)设双曲线=1(a0,b0)的右焦点为f,过点f作与x轴垂直的直线l交两渐近线于a,b两点,与双曲线的其中一个交点为p,设o为坐标原点,若=m+n (m,nr),且mn=,则该双曲线的离心率为.6.【解析】不妨设点a在第一象限,由已知可得a,b,代入=m+n,解得p(m+n)c,(m-n) ,代入双曲线方程,化简得4e2mn=1,所以e2=,解得e=.7.(10分)已知椭圆x2+=1的左、右两个顶点分别为a,b.曲线c是以a,b两点为顶点,离心率为的双曲线.设点p在第一象限且在曲线c上,直线ap与椭圆相交于另一点t.(1)求曲线c的方程;(2)设p,t两点的横坐标分别为x1,x2,证明:x1x2=1.7.【解析】(1)依题意可得a(-1,0),b(1,0).设双曲线c的方程为x2-=1(b0),因为双曲线的离心率为,所以,即b=2.所以双曲线c的方程为x2-=1.(2)解法1:设点p(x1,y1),t(x2,y2)(xi0,yi0,i=1,2),直线ap的斜率为k(k0),则直线ap的方程为y=k(x+1),联立方程组整理得(4+k2)x2+2k2x+k2-4=0