对称法在高考中的运用.doc

“化繁为简”系列文章之一：对称法在高考中的运用洛阳市第二中学 王春旺 邮编471003 联系电于物质世界存在某些对称性，使得物理学理论也具有相应的对称性，从而使对称现象普遍存在于各种物理现象和物理规律中应用这种对称性不仅能帮助我们认识和探索物质世界的某些基本规律，而且也能帮助我们去求解某些具体的物理问题。应用对称性去求解某些具体的物理问题的思维方法在物理学中称为物理解题中的对称法。物理中对称现象比比皆是，对称表现为研究对象在结构上的对称性、作用的对称性、物理过程在时间上和空间上的对称性、物理量在分布上的对称性及作用效果的对称性等物理解题中的对称法，就是从对称性的角度去分析物理过程，利用对称性解决物理问题的方法。在物理试题中迷人的对称现象也经常出现，有些题目初看起来难以下手，其实分析解决时，只要透过现象抓住本质，利用对称的特点采取一些变通，常常会使复杂的问题简单化。利用对称法解题的关键是敏锐地抓住事物在某一方面的对称性，这些对称性往往就是通往答案的捷径，直接抓住问题的实质，就可出奇制胜，快速简便地求解问题 一对称法在静力学中的应用对称解读：在静力学中，若结构具有对称性，则受力就具有对称性，我们可以利用对称法进行思维，简化运算。 例1.图1如图1所示，有n个大小为F的共点力，沿着顶角为120的圆锥体的母线方向。相邻两个力的夹角均相等。求这n个力的合力大小。解析：将每个力沿圆锥体的对称线方向和平行于底面的方向分解，得到n个沿着对称线方向的分力和n个平行于底面方向的分力。每个沿着对称线方向的分力大小都等于F/2，所以n个沿着对称线方向的分力的合力大小为。另一方面，由于对称性，n个平行于底面方向的分力的合力为零。所以本题所求n个力的合力大小等于。二对称法在抛体运动中的应用对称解读：物体做斜抛运动时，其向斜上运动阶段和向斜下运动阶段具有对称性。物体做平抛运动时，若碰撞到竖直的障碍物后反弹（没有机械能损失），则小球与竖直的障碍物碰撞前后的速度关于墙壁对称，碰撞后的轨迹与无竖直的障碍物时小球做平抛运动的轨迹关于竖直的障碍物对称。图2例2.（08江苏物理）抛体运动在各类体育运动项目中很常见，如乒乓球运动。.现讨论乒乓球发球问题，设球台长2L、网高h，乒乓球反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反，且不考虑乒乓球的旋转和空气阻力。.（设重力加速度为g）（1）若球在球台边缘O点正上方高度为h1处以速度v1水平发出，落在球台的P1点（如图2中实线所示），求P1点距O点的距离x1.（2）若球在O点正上方以速度v2水平发出，恰好在最高点时越过球网落在球台的P2点（如图2中虚线所示），求v2的大小.（3）若球在O点正上方水平发出后，球经反弹恰好越过球网且刚好落在对方球台边缘P3处，求发球点距O点的高度h。【解析】.(1)设发球时飞行时间为t1，根据平抛运动规律 h1=gt12/2，x1=v1t1，图2A联立解得P1点距O点的距离 x1=v1(2)设发球高度为h2，飞行时间为t2，同理根据平抛运动规律h2=gt22/2，x2=v2t2，且h2=h，2x2=L联立解得 (3)如图2B所示，发球高度为h3,飞行时间为t3，同理根据平抛运动规律得，图2B图2h3=gt32/2，x3=v3t3且3x3=2L设球从恰好越过球网到最高点的时间为t，水平距离为s，有h3h=gt2/2，s=v3t， 由几何关系知，x3+s=L联立上述6式解得h3=。三对称法在简谐运动中的应用对称解读： 图3物体做简谐运动时，其物体在平衡位置两侧的位移、加速度、回复力、动能、势能和速度的大小关于平衡位置具有对称性。例3. 如图3所示，轻弹簧的一端固定在地面上，另一端与木块B相连，木块A放在木块B上，两木块质量均为m , 在木块A上施有竖直向下的力F，整个装置处于静止状态。（1）突然将力F撤去，若运动中A、B不分离，则A、B共同运动到最高点时，B对A的弹力有多大?(2)要使A、B不分离，力F应满足什么条件?【解析】 力F撤去后，系统做简谐运动，该运动具有对称性，该题利用最高点与最低点的对称性来求解，化繁为简、简洁明了。（1）最高点与最低点有相同大小的回复力（合外力），只是方向相反。在最低点，即原来平衡的系统在撤去力F的瞬间，受到的合外力等于F，方向竖直向上；当到达最高点时，系统受到的合外力也等于F，方向竖直向下，设在最高点AB的加速度为a，由牛顿第二定律得F=2ma，物体A，受到重力和B对A的弹力FB，由牛顿第二定律得mg-FB=ma，联立解得： FB= mg-F/2。(2)力F越大越容易分离，讨论恰好不分离的临界情况，也利用最高点与最低点回复力的对称性。在最高点时A、B间恰好不分离时，虽接触但无弹力，A只受重力，故此时A简谐运动的回复力向下，大小为mg.。那么，在最低点时，即刚撤去力F时，A受的回复力方向竖直向上，大小也应等于mg，其加速度a=g。对AB系统，设在最低点AB的加速度为a，由牛顿第二定律得F=2ma，联立解得F=2mg。所以，要使A、B不分离，力F应满足什么条件时F2mg。四对称法在电场中的应用对称解读：带电薄板和点电荷的电场都具有对称性。等量异号（或同号电荷）的电场具有对称性。带电量相等的异号带电粒子在同一电场中运动轨迹具有对称性。图4例4.（05上海物理）如图4，带电量为+q的点电荷与均匀带电薄板相距为2d，点电荷到带电薄板的垂线通过板的几何中心若图中a点处的电场强度为零，根据对称性，带电薄板在图中b点处产生的电场强度大小为，方向(静电力恒量为k)解析：均匀带电薄板在ab两对称点处产生的电场强度大小相等、方向相反，具有对称性。点电荷+q在a点处产生的电场强度由点电荷电场强度公式可得Eq=kq/d2，方向向左。题述带电薄板和点电荷+q在a点处的合电场强度为零，因此带电薄板在a点处产生的电场强度为E= Eq=kq/d2，方向垂直于薄板向右。根据对称性，带电薄板在b点处产生的电场强度为Eb=kq/d2，方向垂直于薄板向左。五对称法在磁场中的应用对称解读：当带电粒子以一定的角度进入边界为直线的匀强磁场中，其轨迹具有对称性。若粒子仍从该边界射出，则射出磁场时的速度方向与磁场边界的夹角和射入磁场时的速度方向与磁场边界的夹角相等。图5例5（09全国卷1）如图5，在x轴下方有匀强磁场，感应强度大小为B，方向垂直于xy平面向外.P是y轴上距原点为h的一点，N0为x轴上距原点为a的一点.A是一块平行于x轴的挡板，与x轴的距离为h/2，A的中点在y轴上，长度略小于a/2.带电粒子与挡板碰撞前后，x方向的分速度不变，y方向的分速度反向、大小不变.质量为m，电荷量为q（q0）的粒子从P点瞄准N0点入射，最后又通过P点，不计重力.求粒子入射速度的所有可能值.解析：设粒子的入射速度为v,第一次射出磁场的点为N0,与板碰撞后再次进入磁场的位置为N1.粒子在磁场中运动的轨道半径为R,有R=mv/ qB ,粒子速率不变,每次进入磁场与射出磁场位置间距离x1保持不变有x1= N0 N0=2Rsin ,粒子射出磁场与下一次进入磁场位置间的距离x2始终不变,与N0 N1相等.由图5A可以看出x2= a 设粒子最终离开磁场时,与档板相碰n次(n=0、1、2、3).若粒子能回到P点,由对称性,出射点的x坐标应为-a,即 (n+1) x1n x2= 2a ,由两式得 若粒子与挡板发生碰撞,有x1x2a/4 联立得n3 图5A联立得把代入中得v0=，n=0v1=，n=1v2=，n=260图6六对称法在光学中的应用对称解读：光的反射线与入射线关于法线对称，平面镜所成的像与物关于镜面对称，入射到玻璃球体的光线再从玻璃球体出射时出射角与入射角相等，出射光线与入射光线对称。例6.（08四川理综）如图6，一束单色光射入一玻璃球体，入射角为60。己知光线在玻璃球内经一次反射后，再次折射回到空气中时与入射光线平行。此玻璃的折射率为图6A A B1.5 C D2解析：根据题述和对称性画出光路图如图6A所示。由图9可知，光在玻璃球中折射角为r=30，由折射定律可得玻璃折射率n=sini/sinr=，所以选项C正确。跟踪练习：图T11. 如图T1所示，A、B为竖直墙面上等高的两点，AO、BO为长度相等的两根轻绳，CO为一根轻杆，转轴C在AB中点D的正下方，AOB在同一水平面内，AOB=120，COD=60在O点处悬挂一个质量为m的物体，系统处于平衡状态，则： A绳AO所受的拉力F1为 B绳BO所受的拉力F2为 v0CBA图T2 C杆OC所受的压力F3为 D杆OC对O点的支持力F4为图T32.如图T2所示，设有两面均垂直于地面的竖直光滑墙壁、，两墙的水平距离d=1.0m，从距地面高h=19.6m处的一点以v0=5.0m/s的初速度沿水平方向投出一小球。设球与墙的碰撞为弹性碰撞。求小球落地点距墙壁的水平距离和球落地前与墙壁碰撞的次数。（忽略空气阻力，取g=9.8m/s2）图T4 3.一轻弹簧直立地面上，其劲度系数为k=400N/m，在弹簧的上端与盒子A连接一起，盒子内装有物体B，B的上下表面恰好与盒子接触，如图T3所示。A和B的质量mA=mB=1kg， g=10m/s2，不计阻力，先将A向上抬高使弹簧伸长L=5cm后由静止释放，A和B一起做上下方向的简谐运动。已知弹簧的弹性势能取决于弹簧的形变大小。求：（1）盒子A的振幅；（2）物体B的最大速度；（3）在最高点和最低点盒子A对物体B的作用力的大小。 4.如图T4所示，一块长金属板MN接地，一带电量为+Q的点电荷A与金属板之间的垂直距离为d，求A与板MN连线中点C处的电场强度。0kQ/9d2，方向向左。图T55.如图T5所示，正方形匀强磁场磁区边界长为a，由光滑绝缘壁围成质量为m、电量为q的带正电的粒子垂直于磁场方向和边界，从下边界的正中央的A孔射人磁区中，粒子和壁碰撞时无能量和电量损失，不计重力和碰壁时间，设磁感应强度的大小为B，粒子在磁场中运动半径小于a，欲使粒子仍能从A孔射出，粒子的入射速度应多大?在磁场中的运动时间是多少?并在画出粒子的轨迹图图T66.如图T6所示，圆为玻璃圆柱体的横截面，它的折射率为。由细光束垂直圆柱体的轴线以60的入射角射入圆柱体。（1）作出光线穿过圆柱体并射出的光路图；（2）求该光线从圆柱体射出时，出射光线偏离入射圆柱体光线方向多大的角度？跟踪练习参考答案：1B 解析：把轻绳AO、BO对O点的拉力等效为一个沿OD方向的拉力设为F，O点受到沿CO方向向上的支持力F4，竖直向下的重力mg，画出O点受力图，由力矢量图可得F4sin60=mg F=mg/tan60解得：F4= ，F= 由对称性可知AO、BO对O点的拉力相等，且二力的合力等于F。由F=2 F1cos60解得F1= F2=，所以选项B正确。2.解析：如图所示，设小球与墙壁碰撞前的速度为v。因为是弹性碰撞，所以在水平方向上以原速率弹回，即v= v；又因为墙壁光滑，所以在碰撞前后竖直方向上速率不变，即v/= v/。从而小球与墙壁碰撞前后的速度关于墙壁对称，碰撞后的轨迹与无墙壁时小球做平抛运动的轨迹关于墙壁对称，以后的碰撞亦然。因此，可将墙壁比做平面镜，把小球的运动转换为连贯的平抛运动处理，由h=gt2/2和nd= v0t可得，碰撞次数。由于刚好为偶数，故小球最后落在墙壁墙脚处，即落地点距墙壁的水平距离为0。3.解析：(1)振子在平衡位置时所受合力为零，设此时弹簧压缩x，由平衡条件得(mA+mB)g=kx解得：x=5cm。开始释放时，振子盒子A处于最大位移处，故盒子A的振幅为A=5cm+5cm=10cm。（2）由于开始时弹簧的伸长恰等于振子在平衡位置时弹簧的压缩量，故弹性势能相等。设振子的最大速度为v，从开始到平衡位置，由机械能守恒定律，mgA=mv2/2，解得v=m/s，所以物体B的最大速度为v=m/s。（3）由简谐运动的对称性可知，在最高点和最低点振子的加速度大小相等。在最高点，振子受到竖直向下的重力和弹力作用，根据牛顿第二定律，kL+(mA+mB)g=(mA+mB)a解得a=20m/s2。设盒子A对物体B的作用力的大小为F1，加速度方向向下，对物体B，由牛顿第二定律，F1+mBg=mBa，解得，F1 =10N；在最低点，设盒子A对物体B的作用力的大小为F2，加速度方向向上，对物体B，由牛顿第二定律，F1mBg=mBa，解得，F2 =30N.。4.解析：因金属板MN接地，其电势为零，连线中点C处的电场与两个相距2d的等量异种点电荷电场中距+Q为d/2处的电场强度相同，不妨用一个处在+Q左侧距离为2d的点电荷-Q代替大金属板，根据点电荷电场强度公式，点电荷+Q在C处产生的电场强度为E1=4kQ/d2，方向向左；点电荷-Q在C处产生的电场强度为E2=4kQ/9d2，方向向左；A与板MN连线中点C处的电场强度E= E1+ E2=4kQ/d2+4kQ/9d2=4.5.解析：本题的关键在于头脑中要建立粒子运动的对称图景其运动图景(最基本)可分为两类，第一类由图1所示图1由图中的几何关系得a=(4n+2)R，（n=0、1、2、3），解得R= a/(4n+2)，（n=0、1、2、3）。带电粒子在匀强磁场中运动洛仑兹力提供向心力，qvB=mv2/R，R=mv/qB，图2联立解得粒子的入射速度应为v=，又T=2R/v=2m/qB在磁场中的运动时间是t=(4n+1)T=2(4n+1)m/qB，（n=0、1、2、3）。第二类如图2所示，带电粒子的轨道半径R=a