重视习题教学-提高解题能力.doc

重视习题教学 提高解题能力江苏省木渎高级中学 李刚 215101众所周知，数学学习中，做习题是必须经历的环节做习题的过程是应用数学知识解决问题的过程解题训练的目的是使学生加深对数学概念、原理的理解，巩固所学的知识和技能，培养数学能力，因此，教师必须十分重视解题教学笔者从习题教学的作用和目的，习题的分类和选配以及提高解题能力的几条教学措施等三个方面谈谈对学生解题思维习惯的培养1 习题教学的作用和目的新课程倡导自主探究学习，正是充分尊重学生的主体作用，让学生掌握学习的方法，提高学习的兴趣因此，数学习题教学要注重学习能力的培养和方法的指导，其中尤以学生思维的习惯极为重要应该指出，学生解题能力的大小，尤其是解答难、繁题能力的大小，不能作为衡量学生是否已牢固掌握所学知识和技能的唯一标准，更不能把培养学生的解题能力作为教学的最终目的诚然，如果学生掌握不好“双基”，那么他们的解题能力肯定不高，但不善于解答难题、繁题的学生，并不意味着他们的“双基”不扎实，因为难、繁往往是需要某些“特技”造成的，而这些“特技”并不是数学的基本思想方法，也不是数学的核心内容事实上，越是基础的、本质的东西就越简单，其使用范围也越广泛，而且一定是“通性通法”，因此，数学解题教学一定要注意解题的目的达成教学目标的手段需要特别强调的是，并不是习题做的越多，学生对知识的理解就越深，数学技能就越熟练，数学能力就强解题教学的关键在于把握好练习的目的性，据此有针对性的选择数量适当的题目，使学生得到有的放矢的解题训练2 习题的分类和选配解题教学的作用是多方面的，而一个题目的作用又不可能涉及各个方面，因而教师必须注意精选题目，使每一个题目都有它的训练目标，并使所有的题目组合成为一个整体，从而实现解题教学的总目标因此，教师应明确不同类别题目的不同功能中学数学习题按其作用可以分为以下几类：（1）单纯为使学生明确与巩固新学到的概念本质属性和命题中的条件、结论的题目（2）单纯为使学生熟悉新学到的公式、法则、作图法的使用对象和使用条件以及运用技能的题目这两类题就是在课本中以“练习”为标题的习题这些题是最简单、最基本的题，一般在讲解新知识后立即就可以使用，并且由于简单而适宜于口达（3）单纯为使学生运用新学到的概念、命题以及公式的论证题这类题既有知识的明确、巩固的作用，又有初步体会新知识的用途，并反过来加深对理论的认识的作用，这类题通常包含在“习题”中（4）新旧知识结合运用的论证题（5）新旧知识结合运用的计算题和作图题课本中的“习题”主要是这两类题，为数众多（6）需要综合运用各方面知识解答的题目课本中这类题为数较少，主要包含在以“复习题”为主的习题中，但应作相应的补充，因为学生解这类题对于掌握知识和技能以及提高各项能力，都有较大的作用（7）为后继的新课教学作准备的题总之，在教学中教师应根据教学目的，有针对性的选配例题和习题3 提高解题能力的几条教学措施3.1 培养认真审题的习惯，提高审题能力数学题目都包括条件和结论两个组成部分，这是解题的依据认真审题、弄清题目的两个组成部分是正确解题的先决条件解题教学中首先应强调审题的重要性，要采取切实有效的措施培养学生认真审题的习惯所以，审题要做到三读：一读明结构，二度抓关键，三读查缺漏例1 已知，且，求的值第一遍解读明确题目的基本结构是由条件第二遍解读抓住题目的关键是条件的作用因为，所以（），又，代入（）得，因为，所以，所以或或题目解答完了吗？且慢，再次读题发现由，且可知被唯一确定，所以的值也是唯一的，进而可以进一步限制的范围：因为，且，所以，所以，所以 一般来说，题目中的已知条件比较多、关系比较复杂，相互联系不直接，还包含一些隐蔽条件，已知条件和结论之间的关系也比较错综复杂，审题时往往需要做较多的化归工作，把隐蔽条件转化为显性条件，接通条件和结论，或者把问题转化为熟悉的、简单的或已有典型解法的问题，总之，培养学生的审题能力的关键是提高学生分析隐蔽条件的能力以及化归能力3.2 注重探究解题的方法，提高解题能力解题教学的首要目的是把题目正确的解答出来，但其最终目的是提高学生应用数学知识分析和解决问题的能力，而这种能力的提高并不是多做题目就能实现的，更主要的是要讲究解题的质量，为此，教师在教学中要鼓励学生积极思考，在掌握通性通法的同时，探究更好的解法，更优的解法，最后创造属于自己的解题方法所以，做题要做到三思：一思找通法，二思找巧法，三思最优解例2 （2008江苏卷第13题）三角形中，若,则的最大值为 审题后直译条件和结论，便得解法1 设，则，于是，有余弦定理得，代入上式得，由三角形三边关系有，解得，所以当时，取得最大值上述解法以边长为变量，构造三角形的面积关于的函数，这是大部分学生能够想到的方法，但是教师如果仅仅满足于讲完这道习题，则错过了培养学生多角度思考问题的良机，也不利于培养学生多角度思考问题的能力既然可以设边为变量，为何不可以设角为变量？解法2 设，则，由余弦定理可知，则，进而，于是借助于三角函数的有界性或求导均可获解既然可以从数的角度着手，为何不可以从形的角度着眼？解法3 如图1，以为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，设点，因为，所以，即，点的轨迹为一个圆（与轴交点除外）所以所求面积的最大值转化为求圆上的点到直线距离的最大值，一个比较复杂的三角问题在图形面前豁然开朗一题多解是许多人都熟悉的解题训练方法，也知道它在提高学生解题能力方面的作用但是如果仅仅是问了获得几种不同的解法，那就没有充分发挥一题多解在建立知识联系、灵活应用知识、实现不同表现形式的相互转化等方面的作用，因此，教师要注意培养学生在探究一题多解的同时，努力培养学生灵活运用所学知识解决相关问题的能力，否则就会使通过解题加深知识理解、培养数学能力的目标难以实现3.3 进行基本问题的变式，提高应变能力 解题教学的目的是提高学生应用数学知识分析和解决问题的能力，而这种能力的提高并不是多做题目就能实现的，更主要的是要讲究解题的质量，为此，数学解题不能满足于解出某一题，而应该通过条件与证法的变换，引出一类题的解法，举一反三，触类旁通，才能有更大的收获，更深的理解所以，解题后要做到三变：一变同类题，二变拓展题，三变规律题例3 已知函数是上的奇函数，且时，则= 我们将上述问题做一些变式，可以得到相关的同类题，例如：变式1 已知函数是上的奇函数，且时，则的表达式是 变式2 设函数，若，则 变式3 已知定义在上的奇函数和偶函数满足 ，若，则 将问题进一步深入，可以得到相关的拓展题，例如：变式4 已知函数关于点对称，且时，则= 变式5 已知函数，的图象与的图象关于直线对称，则函数的表达式是 进一步的探究，寻求规律性的解法和结论，可以得到相关的规律题，例如：变式6 已知函数与，试探讨如下对称性问题：（1）若函数的图象关于点对称；（2）若函数的图象关于直线对称；（3）若函数的图象与的图象关于点对称；（4）若函数的图象与的图象关于直线对称变式教学给数学教学注入了生机和活力，提高了学生的兴趣，调动了学生的积极性，避免了“题海”战术，从而提高了课堂教学效率和教学质量，对学生掌握知识、促进思维和培养能力等方面起着非常重要的作用，教师要善于引导和点拨，使学生去思考和比较，发现变式问题中的“变”与“不变”，建立知识之间的相互联系，概括出更具一般性的规律，达到对概念的本质的更深入的认识，从而推动同化、顺应的深入，提高学生灵活应变的能力3.4 强调解题过后的反思，提高理解能力 解题后的反思是提高解题质量的关键环节许多教师常常要求学生作大量题目，但不重视对解题过程进行反思，其结果是付出的时间、精力很多，但训练效果并不理想事实上，反思这个环节是对解题过程进行整理，对其中涉及的基础知识、数学思想方法进行归纳总结，对不同解题思路进行比较，并思考优化、改进解题过程，所以是学习过程中的一个再归纳的环节由于是在已有实践基础上进行的学习活动，因此学生对问题所涉及的知识、思想和方法的体验、领悟会更加深刻通过上述三个能力的提高，可以进一步从以下几个方面让学生进行反思，提高理解能力：（1）概括解题思路，并反思自己在双基和能力方面存在的不足，要求用概括性语言表述；（2）对不同的解题方法进行比较，并从知识的联系、挖掘问题的本质等角度，分析不同解法的特点，做到“一题多解，多解归一”，要求用概括性语言表述；（3）如果有变式，写出这些变式，并分析它们的表现特点；（4）是否能通过改变、替换问题的条件、结论等构造新的题目；（5）是否能通过推广、特殊化等，获得新的命题，等等例4 已知，则的最小值是 此题容易用错的方法是两次使用基本不等式，正确方法可以有“1”的替代和消元思想等。为此，可以引导学生作如下的一些反思：（1）基本不等式的运用条件是“一正二定三相等”，如已知函数当时，求的值域；当时，求的值域；（2）当时，求或的最值时，同样可以用基本不等式处理，但要注意正负号问题，如求函数的值域；（3）利用基本不等式求最值要注意“和定积最大，积定和最小”；（4）对于连用几次基本不等式，要注意每次运用时是否同时取得等号；（5）对于二元问题注意消元思想，如：设实数满足，求的取值范围；（6）此题的一些变式：设，若是与的等比中项，则的最小值是 设，则的最小值是 设，则的取值范围是 设，则的最小值是 等等总之，在新课程的理念下，如何发挥习题资源的作用，是我们每一位教师都应该认真对待的问题随着新