重庆市南开中学高一数学下学期期中试卷（含解析）.doc

重庆市南开中学2 014-2015学年高一下学期期中数学试卷一、选择题（每小题5分，l0小题，共50分，每小题只有一个选项符合要求）1已知等比数列an中，a2=4，则公比q=（）a2bcd22己知向量，非零不共线，则下列各组向量中，可作为平面向量的一组基底的是（）a，b，c，d，3等比数列an中，“公比q1”是“数列an单调递增”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件4下列说法中，一定成立的是（）a若ab，cd，则abcdb若|a|b，则a+b0c若ab0，则abbad若，则ab5设等差数列an的前n项和sn，若a1+a5+a8=a2+12，则s11=（）a44b66c100d1326某人月初0元购入一部5000元的手机，若采用分期付款的方式每月月底等额还款，分l0个月还清，月利率0.1%按复利计算，则他每月应还款（1.011.001101.01）（）a500元b505元c510元d515元7已知，则（12x）x2（1+2x）的最大值为（）abcd8执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）a9b11c55d669已知四边形abcd，=（1，1），+=，则四边形abcd的面积为（）a1bcd210各项均为正数的数列an满足：an+1=，若存在三个不同的首项a1，使得a3=m，则实数m的取值范围是（）a（0，+）b（0，1）c，1）d，2二、填空题：（本大题5个小题，每小题5分，共25分）各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）11已知数列2，则是该数列中的第项12已知向量满足：，则向量与的夹角为13已知数列an满足a1=2，an+1=3an2，求an=14已知两个单位向量的夹角为，设向量，其中tr，当取最小值时，t=15已知在锐角abc中，已知b=，|=2，则的取值范围是三、解答题；（本大题6个小题，共75分）各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）16已知向量=（1，2），=（1，1）（）求；（）设向量，若与的夹角为钝角，求实数x的取值范围17已知等差数列an的公差d0，a3a5=112，a4=11（）求数列an的通项公式；（）设数列an的前n项和为sn，当n为何值时，sn取得最大值？并求此最大值18已知x0，y0，x+2yxy=0（）求xy的最小值；（）求x+y的最小值19已知数列an的前n项和为sn，且满足（）求an的通项公式an；（）记，求20已知数列an满足：a1=1，an=，设bn=3n1（an+1）（）证明：bn是等差数列；（）求数列an的前n项和21若函数f（x）满足：集合a=f（n）|nn*中至少存在三个不同的数构成等比数列，则称函数f（x）是等比源函数（）判断下列函数：y=x2；y=log2x中，哪些是等比源函数？（不需证明）（）判断函数f（x）=2x+1是否为等比源函数，并证明你的结论；（）证明：d，bn*，函数g（x）=dx+b都是等比源函数重庆市南开中学2014-2015学年高一下学期期中数学试卷一、选择题（每小题5分，l0小题，共50分，每小题只有一个选项符合要求）1已知等比数列an中，a2=4，则公比q=（）a2bcd2考点：等比数列的性质；等比数列的通项公式 专题：等差数列与等比数列分析：直接利用等比数列的通项公式化简求解即可解答：解：等比数列an中，a2=4，可得a2q3=a5，即4q3=，解得q=故选b点评：本题考查等比数列的通项公式的应用，等比数列的性质的应用，考查计算能力2己知向量，非零不共线，则下列各组向量中，可作为平面向量的一组基底的是（）a，b，c，d，考点：平面向量的基本定理及其意义 专题：平面向量及应用分析：判断向量是否共线，推出结果即可解答：解：=（），选项b的两个向量共线，不正确；，选项c的两个向量共线，不正确；，选项d的两个向量共线，不正确；故选：a点评：本题考查平面向量基本定理的应用，基本知识的考查3等比数列an中，“公比q1”是“数列an单调递增”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：根据等比数列递增的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可解答：解：若a10，q1时，an递减，数列an单调递增不成立若数列an单调递增，当a10，0q1时，满足an递增，但q1不成立“公比q1”是“数列an单调递增”的既不充分也不必要条件故选：d点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的性质是解决本题的关键，比较基础4下列说法中，一定成立的是（）a若ab，cd，则abcdb若|a|b，则a+b0c若ab0，则abbad若，则ab考点：不等关系与不等式 专题：不等式分析：通过取特殊值，判断a，c，d，通过绝对值的性值得到b一定成立解答：解：对于a，若a=2，b=1，c=4，d=5，显然abcd，故a不一定成立；对于b，若|a|b，则bab，故a+b0一定成立，对于c，若a=4，b=3时43=64，34=81，不成立，对于d，当a=1，b=2时，不成立，故选：b点评：本题考查了不等式的性质，考查了推理能力，属于基础题5设等差数列an的前n项和sn，若a1+a5+a8=a2+12，则s11=（）a44b66c100d132考点：等差数列的性质 专题：计算题；等差数列与等比数列分析：根据等差数列的通项公式，可得a1+a11=12，依据等差数列的前n项和公式即可求解解答：解：在等差数列中，a1+a5+a8=a2+12，2a1+10d=12，即a1+a11=12，则s11=（a1+a11）=66故选：b点评：本题主要考查等差数列的通项公式和前n项和公式的计算，求出a1+a11=12是解决等差数列的关键6某人月初0元购入一部5000元的手机，若采用分期付款的方式每月月底等额还款，分l0个月还清，月利率0.1%按复利计算，则他每月应还款（1.011.001101.01）（）a500元b505元c510元d515元考点：等比数列的前n项和；等比数列的通项公式 专题：应用题；等差数列与等比数列分析：根据条件，结合等比数列的前n项和公式建立方程关系即可得到结论解答：解：把5000元存入银行10个月，月利0.1%，按复利计算，则本利和为5000（1+0.1）10=5000（1.001）10=50001.01=5050，每月存入银行a元，月利0.1%，按复利计算，则本利和为a+a（1+0.1%）+a（1+0.1%）2+a（1+0.1%）9=a=a=10a由题意知10a=5050，解得a=505（元）即每月还款大约为505元，故选：b点评：本题主要考查函数的应用问题，结合等比数列的前n项和公式是解决本题的关键7已知，则（12x）x2（1+2x）的最大值为（）abcd考点：基本不等式 专题：不等式的解法及应用分析：换元t=4x20，1），恒等变形得出12x）x2（1+2x）=（1t）t利用基本不等式求解即可解答：解：，t=4x20，1），（12x）x2（1+2x）=（1t）t=（t=时等号成立），t=时，x=，当x=时，（12x）x2（1+2x）的最大值为，故选：c点评：本题考察了换元法转为基本不等式求解最大值问题，关键是构造条件，等号是否成立，8执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）a9b11c55d66考点：程序框图 专题：图表型；算法和程序框图分析：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出s=1的值，约分计算即可得解解答：解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出s=1的值，由于s=1=66故选：d点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，模拟执行程序框图，正确得到程序框图的功能是解题的关键，属于基本知识的考查9已知四边形abcd，=（1，1），+=，则四边形abcd的面积为（）a1bcd2考点：向量在几何中的应用 专题：计算题；平面向量及应用分析：根据题意，利用向量加法的平行四边形法则得到四边形abcd是菱形且bad=135，因此算出|=|=，即可求出四边形abcd的面积解答：解：因为四边形abcd，=，所以四边形abcd是平行四边形，因为+=，所以ac是平行四边形abcd的角平分线，且bad=135可得四边形abcd是菱形，|=|=，因此四边形abcd的面积s=故选：b点评：本题给出四边形abcd满足的向量等式，求四边形abcd的面积着重考查了向量加法的平行四边形法、向量模的公式与平行四边形面积求法等知识，属于中档题10各项均为正数的数列an满足：an+1=，若存在三个不同的首项a1，使得a3=m，则实数m的取值范围是（）a（0，+）b（0，1）c，1）d，2考点：数列递推式 专题：等差数列与等比数列分析：分类讨论：当时，a2=2a11，可得a3=4a1=m，解得m范围同理当时，得a1=，解得m范围当a11时，解得a1=，解得m范围由于存在三个不同的首项a1，使得a3=m，求其交集即可解答：解：当时，a2=2a11，a3=2a2=4a1=m，得，解得m2当时，a2=2a11，a3=m，解得a1=，解得当a11时，1，a3=2a2=m，解得a1=，1，解得m2存在三个不同的首项a1，使得a3=m，解得实数m的取值范围是故选：c点评：本题考查了分类讨论思想方法、不等式的性质、分段函数性质、集合运算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题：（本大题5个小题，每小题5分，共25分）各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）11已知数列2，则是该数列中的第12项考点：数列的函数特性 专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：根据条件求出数列的通项公式即可得到结论解答：解：数列的等价条件为，则数列的通项公式为an=，由an=，解得n=18，即则是该数列中的第18项，故答案为：18点评：本题主要考查数列的通项公式的求解，根据数列项的概率求出数列的通项公式是解决本题的关键12已知向量满足：，则向量与的夹角为120考点：数量积表示两个向量的夹角 专题：平面向量及应用分析：把已知式子平方代入数据可得向量夹角的余弦值，可得向量的夹角解答：解：，=1，1+4+214cos=1，解得cos=向量与的夹角=120故答案为：120点评：本题考查平面向量的夹角，属基础题13已知数列an满足a1=2，an+1=3an2，求an=3n1+1考点：数列的概念及简单表示法 专题：探究型；转化思想分析：题目给出了数列的首项及递推式，求解通项公式时，首先把递推式变形，变为我们熟悉的等比数列，求出新数列的通项公式后再求原数列的通项解答：解：由an+1=3an一2得：an+11=3（an1），a11=21=10，数列an1构成以1为首项，以3为公比的等比数列，故答案为3n1+1点评：本题考查了给出递推式求数列通项公式的方法，对于an+1=pan+q型的递推式，一般能够造成an+x型的等比数列，属常见题14已知两个单位向量的夹角为，设向量，其中tr，当取最小值时，t=考点：数量积表示两个向量的夹角 专题：平面向量及应用分析：由题意可得2=（t+）2+，由二次函数的最值可得解答：解：由题意可得2=+2t+=1+2t+t2=t2+t+1=（t+）2+，由二次函数可知当t=时，2取最小值，当取最小值时，t=故答案为：点评：本题考查平面向量的模长公式，涉及二次函数的最值，属基础题15已知在锐角abc中，已知b=，|=2，则的取值范围是（0，12）考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：以b为原点，ba所在直线为x轴建立坐标系，得到c的坐标，找出三角形为锐角三角形的a的位置，得到所求范围解答：解：以b为原点，ba所在直线为x轴建立坐标系，因为b=，|=|=2，所以c（1，），设a（x，0）因为abc是锐角三角形，所以a+c=120，30a90，即a在如图的线段de上（不与d，e重合），所以1x4，则=x2x=（x）2，所以的范围为（0，12）故答案为：（0，12）点评：本题考查了向量的几何意义以及利用坐标法求数量积范围；属于中档题三、解答题；（本大题6个小题，共75分）各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）16已知向量=（1，2），=（1，1）（）求；（）设向量，若与的夹角为钝角，求实数x的取值范围考点：数量积表示两个向量的夹角；向量的模 专题：平面向量及应用分析：（）由题意可得2的坐标，由模长公式可得；（）可得向量的坐标，由与的夹角为钝角可得0，解不等式排除向量反向可得解答：解：（）=（1，2），=（1，1），2=（2，4）（1，1）=（1，5），=；（）可得=（x+x2，2xx2），由与的夹角为钝角可得=（x+x2）（2xx2）0，解方程可得0x，若向量反向则x+x2+2xx2=0，解得x=0，此时向量为，不满足题意，实数x的取值范围为（0，）点评：本题考查平面向量的夹角，涉及向量的模长公式，属基础题17已知等差数列an的公差d0，a3a5=112，a4=11（）求数列an的通项公式；（）设数列an的前n项和为sn，当n为何值时，sn取得最大值？并求此最大值考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式 专题：等差数列与等比数列分析：（）根据等差数列的通项公式建立方程组关系求出首项和公差即可求数列an的通项公式；（）根据数列的通项公式，求出an=233n0得值，即可得到结论解答：解：（）等差数列an的公差d0，a3a5=112，a4=11（a4d）（a4+d）=112，即（11d）（11+d）=112，则121d2=112，即d2=9，d=3，a4=a1+3d=11，a1=20，则数列an的通项公式an=203（n1）=233n；（）an=233n，由an=233n0得n；即当1n7时，an0，当n8时，an0，当n=7时，sn取得最大值，求此最大值s7=77点评：本题主要考查等差数列的通项公式以及前n项和的性质，根据方程组求出首项和公差是解决本题的关键18已知x0，y0，x+2yxy=0（）求xy的最小值；（）求x+y的最小值考点：基本不等式 专题：不等式的解法及应用分析：（i）由于x0，y0，x+2yxy=0变形利用基本不等式的性质即可得出（ii）由x+2y=xy，解得y=0，解得x2变形x+y=x+=x2+2，再利用基本不等式的性质即可得出解答：解：（i）x0，y0，x+2yxy=0xy=x+2y，化为xy8，当且仅当x=2y=4时取等号xy的最小值是8；（ii）由x+2y=xy，解得y=0，解得x2x+y=x+=x2+22+2=2+2，当且仅当x=2+，y=1+时取等号x+y的最小值为2+2点评：本题考查了基本不等式的性质，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于基础题19已知数列an的前n项和为sn，且满足（）求an的通项公式an；（）记，求考点：数列的求和；数列递推式 专题：等差数列与等比数列分析：（i）利用递推式与等比数列的通项公式即可得出；（ii）利用“裂项求和”即可得出解答：解：（i）满足，当n=1时，a1=2（2+1）a1，解得a1=当n2时，an=snsn1=，化为数列是等比数列，首项为，公比为=（）=+=2=3点评：本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式与“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20已知数列an满足：a1=1，an=，设bn=3n1（an+1）（）证明：bn是等差数列；（）求数列an的前n项和考点：数列递推式；数列的求和 专题：证明题；等差数列与等比数列分析：（）由已知可得bnbn1=2，即可证明，（ii）由于通项是一个等差数列与一个等比数列的积构成的新数列，利用错位相减法求出数列的前n项和解答：解：（）证明：a1=1，an=，3an=an1+2（n2），bnbn1=3n1an+3n13n2an13n2=3n2（an1+2an1）+23n2=3n2（an1+2an1+2）=2则bn是首项为2，公差为2的等差数列（）bn=3n1（an+1）=2+（n1）2，可解得：an=，sn=1+（）+（1）+（1）+（）=+2n，3sn=22+63n，可得：2sn=+82n，sn=+4n=n点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等差数列求通项公式及数列的求和，属于中档题21若函数f（x）满足：集合a=f（n）|nn*中至少存在三个不同的数构成等比数列，则称函数f（x）是等比源函数（）判断下列函数：y=x2；y=log2x中，哪些是等比源函数？（不需证明）（）判断函数f（x）=2x+1是否为等比源函数，并证明你的结论；（）证明：d，bn*，函数g（x）=dx+b都是等比源函数考点：等比数列的性质 分析：（）直接举例说明题目给出的三个函数都是“等比源函数”；（）利用反证法思想证明函数f（x）=2x+