重庆市南开中学高一数学上学期期末试卷（含解析）.doc

2015-2016学年重庆市南开中学高一（上）期末数学试卷一.选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合要求）1已知集合a=x|2x4，b=x|log2x0，则ab=（）a1，2b（1，2c（0，1）d（0，12“”是“”的（）条件a充分不必要b必要不充分c充要d既不充分也不必要3已知一个扇形的周长为10cm，圆心角为2弧度，则这个扇形的面积为（）cm2a25b5cd4已知函数，则f（x）的零点所在的区间为（）a（0，1）b（1，2）c（2，3）d（3，4）5函数f（x）=lg（x2+x+6）的单调递减区间为（）abcd6将函数y=sinx的图象上的点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变得到图象c1，再将图象c1向右平移个单位得到的图象c2，则图象c2所对应的函数的解析式为（）abcd7若x（e1，1），a=lnx，b=，c=elnx，则a，b，c的大小关系为（）acbabbcacabcdbac8已知（0，）且，则cos的值为（）abcd9已知定义在r上的奇函数f（x）满足f（x+4）=f（x）恒成立，且f（1）=1，则f+fa0b1c2d310化简tan20+4sin20的结果为（）a1bcd11如图，圆o与x轴的正半轴的交点为a，点b，c在圆o上，点b的坐标为（1，2），点c位于第一象限，aoc=若|bc|=，则sincos+cos2=（）abcd12已知函数，若方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1x2x3x4，则的取值范围为（）a（1，+）b（1，1c（，1）d1，1）二.填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）13已知幂函数在（0，+）单调递减，则实数m的值为14计算：=15已知（0，2）且，则tan的值为16已知函数，若存在实数k使函数f（x）的值域为0，2，则实数a的取值范围为三.解答题：（本大题共6个小题，共70分）各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明.演算步骤或推理过程）17已知（1）求tan的值；（2）求的值18已知定义在r的函数（1）判断f（x）的奇偶性和单调性，并说明理由；（2）解关于x的不等式：f（x1）f（2x+1）19已知函数的图象关于直线对称，其中，为常数且（0，2）（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若y=f（x）的图象过点，求函数f（x）在上的值域20已知函数f（x）为二次函数，若不等式f（x）0的解集为（2，1）且f（0）=2（1）求f（x）的解析式；（2）若不等式对r恒成立，求实数m的取值范围21已知函数是奇函数（1）求实数a的值；（2）设函数g（x）=f（x）log2（mx），是否存在非零实数m使得函数g（x）恰好有两个零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由22已知函数f（x）的定义域d（0，+），若f（x）满足对任意的一个三边长为a，b，cd的三角形，都有f（a），f（b），f（c）也可以成为一个三角形的三边长，则称f（x）为“保三角形函数”（1）判断g（x）=sinx，x（0，）是否为“保三角形函数”，并说明理由；（2）证明：函数h（x）=lnx，x2，+）是“保三角形函数”；（3）若f（x）=sinx，x（0，）是“保三角形函数”，求实数的最大值2015-2016学年重庆市南开中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合要求）1已知集合a=x|2x4，b=x|log2x0，则ab=（）a1，2b（1，2c（0，1）d（0，1【考点】交集及其运算 【专题】计算题；集合思想；定义法；集合【分析】分别求出a与b中不等式的解集确定出a与b，找出两集合的交集即可【解答】解：由a中不等式变形得：2x4=22，得到x2，即a=（，2，由b中不等式变形得：log2x0=log21，得到x1，即b=（1，+），则ab=（1，2，故选：b【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2“”是“”的（）条件a充分不必要b必要不充分c充要d既不充分也不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【专题】转化思想；三角函数的求值；简易逻辑【分析】“”“”，反之不成立，例如=即可判断出结论【解答】解：“”“”，反之不成立，例如=因此“”是“”的充分不必要条件故选：a【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、三角函数求值，考查了推理能力，属于基础题3已知一个扇形的周长为10cm，圆心角为2弧度，则这个扇形的面积为（）cm2a25b5cd【考点】扇形面积公式 【专题】计算题；方程思想；综合法；三角函数的求值【分析】设扇形的半径为r，弧长为l，可得l和r的方程组，解方程组代入扇形的面积公式可得【解答】解：设扇形的半径为r，弧长为l，解得l=5，r=，扇形的面积s=lr=故选：c【点评】本题考查扇形的面积公式，涉及角的弧度数的定义，属基础题4已知函数，则f（x）的零点所在的区间为（）a（0，1）b（1，2）c（2，3）d（3，4）【考点】函数零点的判定定理 【专题】计算题；规律型；函数思想；函数的性质及应用【分析】利用函数的零点存在定理判断即可【解答】解：函数，是单调增函数，并且f（2）=4+0，f（3）=，函数，则f（x）的零点所在的区间为（2，3）故选：c【点评】本题考查函数的零点定理的应用，注意判断函数的单调性，以及零点定理的应用5函数f（x）=lg（x2+x+6）的单调递减区间为（）abcd【考点】复合函数的单调性 【专题】计算题；规律型；综合法；函数的性质及应用【分析】令t=x2+x+60，求得函数的定义域，根据f（x）=g（t）=lgt，本题即求函数t在定义域内的减区间，再利用二次函数的性质得出结论【解答】解：令t=x2+x+60，求得2x3，可得函数的定义域为x|2x3，f（x）=g（t）=lgt，本题即求函数t在定义域内的减区间再利用二次函数的性质可得函数t在定义域内的减区间为（，3），故选：d【点评】本题主要考查对数函数、二次函数的性质，复合函数的单调性，属于中档题6将函数y=sinx的图象上的点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变得到图象c1，再将图象c1向右平移个单位得到的图象c2，则图象c2所对应的函数的解析式为（）abcd【考点】函数y=asin（x+）的图象变换 【专题】转化思想；转化法；三角函数的图像与性质【分析】根据三角函数的图象变换关系进行推导即可【解答】解：将函数y=sinx的图象上的点的横坐标扩大为原来的2倍，得到y=sinx，然后向右平移个单位得到的图象c2，即y=sin（x）=sin（x），故选：b【点评】本题主要考查三角函数的图象变换，根据三角函数的周期变换和平移变换法则是解决本题的关键7若x（e1，1），a=lnx，b=，c=elnx，则a，b，c的大小关系为（）acbabbcacabcdbac【考点】有理数指数幂的化简求值；对数值大小的比较 【专题】计算题【分析】依题意，由对数函数与指数函数的性质可求得a0，b1，c1，从而可得答案【解答】解：x（e1，1），a=lnxa（1，0），即a0；又y=为减函数，b=1，即b1；又c=elnx=x（e1，1），bca故选b【点评】本题考查有理数指数幂的化简求值，考查对数值大小的比较，掌握对数函数与指数函数的性质是关键，属于中档题8已知（0，）且，则cos的值为（）abcd【考点】两角和与差的余弦函数 【专题】计算题；函数思想；转化法；三角函数的求值【分析】根据同角的三角形关系求出sin（+）=，再根据cos=cos（+），利用两角差的余弦公式计算即可【解答】解：（0，），+（，），sin（+）=，cos=cos（+）=cos（+）cos+sin（+）sin=+=，故选：c【点评】本题考查了同角的三角函数的关系以及两角差的余弦公式，培养了学生的转化能力和计算能力，属于基础题9已知定义在r上的奇函数f（x）满足f（x+4）=f（x）恒成立，且f（1）=1，则f+fa0b1c2d3【考点】抽象函数及其应用 【专题】方程思想；转化思想；函数的性质及应用【分析】根据函数奇偶性和周期性进行转化求解即可【解答】解：f（x+4）=f（x），函数f（x）是周期为4的周期函数，则f=f（0），f=f（1）=1，f=f（2），f（x）是奇函数，f（0）=0，当x=2时，f（2+4）=f（2），即f（2）=f（2），则f（2）=0，即f+f+f（1）+f（2）=0+1+0=1，故选：b【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和周期性的性质结合条件关系进行转化是解决本题的关键10化简tan20+4sin20的结果为（）a1bcd【考点】三角函数的化简求值 【专题】整体思想；转化法；三角函数的求值【分析】首先利用弦切互化公式及正弦的倍角公式对原式进行变形，再两次运用和差化积公式，同时结合正余弦互化公式，则问题解决【解答】解：tan20+4sin20=，故选：d【点评】本题考查三角函数式的恒等变形及运算能力，属于基础题11如图，圆o与x轴的正半轴的交点为a，点b，c在圆o上，点b的坐标为（1，2），点c位于第一象限，aoc=若|bc|=，则sincos+cos2=（）abcd【考点】任意角的三角函数的定义 【专题】三角函数的求值【分析】根据三角函数的倍角公式将函数式进行化简，结合三角函数的定义即可得到结论【解答】解：点b的坐标为（1，2），|ob|=|oc|=，|bc|=，obc是等边三角形，则aob=+则sin（+）=，cos（+）=，则sincos+cos2=sin+cos=sin（+）=，故选：d【点评】本题主要考查三角函数值的化简和求解，根据条件判断三角形是等边三角形是解决本题的关键12已知函数，若方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1x2x3x4，则的取值范围为（）a（1，+）b（1，1c（，1）d1，1）【考点】分段函数的应用 【专题】数形结合；函数思想；转化法；函数的性质及应用【分析】作出函数f（x），得到x1，x2关于x=1对称，x3x4=1；化简条件，利用数形结合进行求解即可【解答】解：作函数f（x）的图象如右，方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1x2x3x4，x1，x2关于x=1对称，即x1+x2=2，0x31x4，则|log2x3|=|log2x4|，即log2x3=log2x4，则log2x3+log2x4=0即log2x3x4=0则x3x4=1；当|log2x|=1得x=2或，则1x42；x31；故=2x3+，x31；则函数y=2x3+，在x31上为减函数，则故x3=取得最大值，为y=1，当x3=1时，函数值为1即函数取值范围是（1，1故选：b【点评】本题考查分段函数的运用，主要考查函数的单调性的运用，运用数形结合的思想方法是解题的关键二.填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）13已知幂函数在（0，+）单调递减，则实数m的值为1【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【专题】对应思想；定义法；函数的性质及应用【分析】根据幂函数的定义，得出m23m+3=1，求出m的值，再验证幂函数是否为（0，+）上的减函数即可【解答】解：幂函数在（0，+）单调递减，m23m+3=1，即m23m+2=0，解得m=1或m=2；当m=1时，m2m1=20，满足题意；当m=2时，m2m1=10，不满足题意，舍去；实数m的值为1故答案为：1【点评】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题目14计算：=3【考点】对数的运算性质 【专题】计算题；规律型；函数的性质及应用【分析】直接利用对数运算法则化简求解即可【解答】解：=log66+2=3故答案为：3【点评】本题考查对数运算法则的应用，考查计算能力15已知（0，2）且，则tan的值为【考点】两角和与差的正切函数 【专题】函数思想；综合法；三角函数的求值【分析】由题意和同角三角函数基本关系可得tan，再由二倍角的正切公式可得【解答】解：（0，2），（0，），又，sin=，tan=2，tan=故答案为：【点评】本题考查二倍角的正切公式，涉及同角三角函数基本关系，属基础题16已知函数，若存在实数k使函数f（x）的值域为0，2，则实数a的取值范围为，1+【考点】分段函数的应用 【专题】综合题；方程思想；综合法；函数的性质及应用【分析】由题意，令log2（1x）+1=0，x=，令x22x+1=2，可得x=1，即可得出结论【解答】解：由题意，令log2（1x）+1=0，x=，令x22x+1=2，可得x=1，存在实数k使函数f（x）的值域为0，2，实数a的取值范围是，1+故答案为：，1+【点评】本题考查分段函数，考查函数的值域，考查学生的计算能力，属于中档题三.解答题：（本大题共6个小题，共70分）各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明.演算步骤或推理过程）17已知（1）求tan的值；（2）求的值【考点】两角和与差的正切函数；三角函数的化简求值 【专题】函数思想；综合法；三角函数的求值【分析】（1）由题意可得tan（+）=2，tan=，代入tan=tan（+）=，计算可得；（2）由诱导公式和弦化切可得原式=，代值计算可得【解答】解：（1），tan（+）=2，tan=，tan=tan（+）=；（2）化简可得=【点评】本题考查三角函数化简，涉及两角差的正切公式和同角三角函数基本关系，属基础题18已知定义在r的函数（1）判断f（x）的奇偶性和单调性，并说明理由；（2）解关于x的不等式：f（x1）f（2x+1）【考点】奇偶性与单调性的综合 【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用【分析】（1）根据函数奇偶性和单调性的定义即可判断f（x）的奇偶性和单调性，并说明理由；（2）根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式：f（x1）f（2x+1）进行转化求解即可【解答】解：（1）f（x）=ax+=ax+=f（x），则函数为偶函数，当x0时，设0x1x2，即f（x1）f（x2）=+=+=（）+=（），a1，0x1x21，则0，10，则f（x1）f（x2）0，则f（x1）f（x2），即此时函数单调递增，同理当x0时，函数单调递减；（2）函数f（x）是偶函数，且在0，+）上为增函数，则关于x的不等式：f（x1）f（2x+1）等价为f（|x1|）f（|2x+1|），即|x1|2x+1|，平方得x22x+14x2+4x+1，即3x2+6x0，即x2+2x0，得2x0，即不等式的解集为（2，0）【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和证明，利用函数奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键19已知函数的图象关于直线对称，其中，为常数且（0，2）（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若y=f（x）的图象过点，求函数f（x）在上的值域【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象 【专题】函数思想；数形结合法；三角函数的图像与性质【分析】（1）化简可得f（x）=2sin（2x）+，由对称性可得，可得最小正周期；（2）由图象过点可得=1，由结合三角函数的值域可得【解答】解：（1）化简可得f（x）=2sinxcosx（cos2xsin2x）+=sin2xcos2x+=2sin（2x）+由函数图象关于直线对称可得2=k+，kz，解得=k+1，结合（0，2）可得=1，f（x）=2sin（2x）+，函数f（x）的最小正周期t=；（2）y=f（x）的图象过点，2sin（2）+=0，解得=1，f（x）=2sin（2x）1，2x，sin（2x），1，2sin（2x）1，2，2sin（2x）12，1，故函数f（x）在上的值域为2，1【点评】本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的周期性和值域，属基础题20已知函数f（x）为二次函数，若不等式f（x）0的解集为（2，1）且f（0）=2（1）求f（x）的解析式；（2）若不等式对r恒成立，求实数m的取值范围【考点】二次函数的性质；函数恒成立问题 【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用【分析】（1）设出二次函数的表达式，得到关于a，b，c的方程，解出即可求出函数的表达式；（2）求出f（cos），问题转化为sin2+（1+m）sin+10对r恒成立，令g（）=sin2+（1+m）sin+1，通过讨论对称轴的位置，从而求出g（）的最小值，得到关于m的不等式，解出即可【解答】解：（1）函数f（x）为二次函数，设f（x）=ax2+bx+c，不等式f（x）0的解集为（2，1）且f（0）=2，解得：，f（x）=x2+x2；（2）由（1）得：f（cos）=cos2+cos2，由不等式对r恒成立，得：cos2+cos2sin（+）+msin对r恒成立，sin2+（1+m）sin+10对r恒成立，令g（）=sin2+（1+m）sin+1=+1，1sin1，11即3m1时：gmin（）=10，解得：3m1，符合题意；1即m3时：gmin（）=+10，解得：m3，无解；1即m1时：gmin（）=+10，解得：m1，无解；综上，满足条件的m的范围是3，1【点评】本题考查的知识点是待定系数法求二次函数的表达式，考察三角函数的最值，其中构造函数g（）=sos2+（1+m）sin+1，将问题转化为函数恒成立问题是解答本题的关键21已知函数是奇函数（1）求实数a的值；（2）设函数g（x）=f（x）log2（mx），是否存在非零实数m使得函数g（x）恰好有两个零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由【考点】对数函数的图象与性质；函数零点的判定定理 【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用【分析】（1）由奇函数性质得f（x）+f（x）=0，由此能求出a（2）当a=1时，g（x）=f（x）log2（mx）=log2（mx）=0，得x=，不存在非零实数m使得函数g（x）恰好有两个零点；当a=1时，g（x）=f（x）log2（mx）=0，得x=1，不存在非零实数m使得函数g（x）恰好有两个零点【解答】解：（1）函数是奇函数，f（x）+f（x）=0，=1，1a2x2=1x2，解得a=1（2）不存在非零实数m使得函数g（x）恰好有两个零点，理由如下：当a=1时，g（x）=f（x）log2（mx）=log2（mx），由log2（mx）=0，解得mx=1，x=，不存在非零实数m使得函数g（x）恰好有两个零点；当a=1时，g（x）=f（x）log2（mx）=log2（mx）=，由=0，得x=1，不存在非零实数m使得函数g（x）恰好有两个零点综上，不存在非零实数m使得函数g（x）恰好有两个零点【点评】本题考查实数值的求法，考查函数是否有两个零点的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意奇函数性质的合理运用22已知函数f（x）的定义域d（0，+），若f（x）满足对任意的一个三边长为a，b，cd的三角形，都有f（a），f（b），f（c）也可以成为一个三角形的三边长，则称f（x）为“保三角形函数”（1）判断g（x）=sinx，x（0，）是否为“保三角形函数”，并说明理由；（2）证明：函数h（x）=lnx，x2，+）是“保三角形函数”；（3）若f（x）=sinx，x（0，）是“保三角形函数”，求实数的最大值【考点】函数与方程的综合运用；函数的值 【专题】综合题；新定义；函数思想；转化思想；函数的性质及应用【分析】欲判断函数f（x）是不是“保三角形函数”，只须任给三角形，设它的三边长a、b、c满足a+bc，判断f（a）、f（b）、f（c）是否满足任意两数之和大于第三个数，即任意两边之和大于第三边即可因此假设ac且bc，在各个选项中根据定义和函数对应法则进行求