（全国通用）高考数学 5.2 等差数列及其前n项和练习.doc

课时提升作业(三十)等差数列及其前n项和(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015柳州模拟)在等差数列an中,2a4+a7=3,则数列an的前9项和等于()a.3b.6c.9d.12【解析】选c.设等差数列an公差为d,因为2a4+a7=3,所以2(a1+3d)+a1+6d=3,整理得a1+4d=1,即a5=1,所以s9=9(a1+a9)2=9a5=9.故选c.【加固训练】(2013安徽高考)设sn为等差数列an的前n项和,s8=4a3,a7=-2,则a9=()a.-6b.-4c.-2d.2【解析】选a.由s8=4a38a1+872d=4(a1+2d);由a7=-2a1+6d=-2,联立解得a1=10,d=-2,所以a9=a1+8d=10-16=-6.2.设等差数列an的前n项和为sn,已知a3=5,s11=22,则数列an的公差d为()a.-1b.-13c.13d.1【解析】选a.由s11=11(a1+a11)2=112a62=11a6=22,可知a6=2,所以d=a6-a36-3=-1,故选a.3.数列an的首项为3,bn为等差数列且bn=an+1-an(nn*).若b3=-2,b10=12,则a8=()a.0b.3c.8d.11【解析】选b.因为bn是等差数列,且b3=-2,b10=12,故公差d=12-(-2)10-3=2.于是b1=-6,且bn=2n-8(nn*),即an+1-an=2n-8.所以a8=a7+6=a6+4+6=a5+2+4+6=a1+(-6)+(-4)+(-2)+0+2+4+6=3.4.(2015吉林模拟)等差数列an的前n项和为sn(n=1,2,3,),当首项a1和公差d变化时,若a5+a8+a11是一个定值,则下列各数中为定值的是()a.s17b.s18c.s15d.s16【解析】选c.由等差数列的性质得:a5+a11=2a8,所以a5+a8+a11为定值,即a8为定值.又因为s15=15(a1+a15)2=152a82=15a8,所以s15为定值.故选c.【加固训练】已知等差数列an中,|a3|=|a9|,公差ds6b.s5s6c.s6=0d.s5=s6【解题提示】根据已知得到a3+a9=0,从而确定出a6=0,然后根据选项即可判断.【解析】选d.因为d0,a90,a70,an+12-an2=1(nn*),那么使an0,所以an=n.因为an5,所以n5,即n25,故n的最大值为24.答案:24【加固训练】在数列an中,a1=-18,an+1=an+3(nn*),则数列an的前n项和sn的最小值为.【解析】由an+1=an+3知an是等差数列,首项为-18,公差为3,所以an=-21+3n.当n=7时,an=0,当n6时,anm20成立,求正整数m的最大值.【解析】(1)an+1=12-an,1an+1-1=112-an-1=2-anan-1=-1+1an-1,所以1an+1-1-1an-1=-1,所以1an-1为首项为-2,公差为-1的等差数列,所以1an-1=-2+(n-1)(-1)=-(n+1),所以an=nn+1.(2)bn=n+1n-1=1n,令cn=b3n-bn=1n+1+1n+2+13n,所以cn+1-cn=1n+2+1n+3+13(n+1)-1n+1-13n=-1n+1+13n+2+13n+3+13n+1=13n+2-23n+3+13n+123n+3-23n+3=0,所以cn+1-cn0,所以cn为单调递增数列,所以(b3n-bn)min=b6-b2=13+14+15+16=1920,所以m201920,所以m19,又mn*,所以m的最大值为18.(20分钟40分)1.(5分)(2015唐山模拟)在等差数列an中,a1=-2015,其前n项和为sn,若s1212-s1010=2,则s2015的值等于()a.-2015b.-2014c.-2013d.-2012【解析】选a.设等差数列an的公差为d,因为s1212-s1010=2,根据等差数列的性质可得snn也为等差数列,所以d=2.所以s2015=2015a1+2 015(2 015-1)22=-2015.【加固训练】(2015延吉模拟)等差数列an中,ana2n是一个与n无关的常数,则该常数的可能值的集合为()a.1b.1,12c.12d.0,12,1【解析】选b.等差数列an中,设ana2n=a1+(n-1)da1+(2n-1)d是与n无关的常数m,所以a1+(n-1)d=ma1+m(2n-1)d对任意n恒成立,即(2md-d)n+(ma1-md+d-a1)=0对任意n恒成立,故2md-d=0,(m-1)a1+(1-m)d=0,由第一个方程得d=0或者m=12.若d=0,代入第二个方程可得m=1(因为a10);若m=12,代入第二个方程得d=a1.2.(5分)下列命题中正确的个数是()(1)若a,b,c成等差数列,则a2,b2,c2一定成等差数列(2)若a,b,c成等差数列,则2a,2b,2c可能成等差数列(3)若a,b,c成等差数列,则ka+2,kb+2,kc+2一定成等差数列(4)若a,b,c成等差数列,则1a,1b,1c可能成等差数列a.4个b.3个c.2个d.1个【解析】选b.对于(1)取a=1,b=2,c=3a2=1,b2=4,c2=9,(1)错.对于(2)a=b=c2a=2b=2c,(2)正确;对于(3)因为a,b,c成等差数列,所以a+c=2b,所以(ka+2)+(kc+2)=k(a+c)+4=2(kb+2),(3)正确;对于(4),a=b=c01a=1b=1c,(4)正确,综上选b.3.(5分)(2015洛阳模拟)若数列an的前n项和sn=-n2+5,则数列|an|的前10项和为.【解析】n=1时,a1=s1=4;n2时,an=sn-sn-1=1-2n.所以n2时,an0,因此|a1|+|a2|+|a10|=a1-a2-a3-a10=2a1-s10=8-(-102+5)=103.答案:1034.(12分)设无穷等差数列an的前n项和为sn.(1)若首项a1=32,公差d=1,求满足sk2=(sk)2的正整数k.(2)求所有的无穷等差数列an,使得对于一切正整数k都有sk2=(sk)2成立.【解析】(1)当a1=32,d=1时,sn=na1+n(n-1)2d=32n+n(n-1)2=12n2+n.由sk2=(sk)2,得12k4+k2=12k2+k2,即k314k-1=0.又k0,所以k=4.(2)设数列an的公差为d,则在sk2=(sk)2中分别取k=1,2,得s1=(s1)2,s4=(s2)2,即a1=a12,4a1+432d=2a1+212d2.由得a1=0或a1=1.当a1=0时,代入得d=0或d=6.若a1=0,d=0,则an=0,sn=0,从而sk2=(sk)2成立;若a1=0,d=6,则an=6(n-1),由s3=18,(s3)2=324,s9=216知s9(s3)2,故所得数列不符合题意.当a1=1时,代入得4+6d=(2+d)2,解得d=0或d=2.若a1=1,d=0,则an=1,sn=n,从而sk2=(sk)2成立;若a1=1,d=2,则an=2n-1,sn=1+3+(2n-1)=n2,从而sk2=(sk)2成立.综上,共有3个满足条件的无穷等差数列:an=0;an=1;an=2n-1(nn*).【加固训练】已知数列an,ann*,sn=18(an+2)2.(1)求证:an是等差数列.(2)设bn=12an-30,求数列bn的前n项和tn的最小值.【解析】(1)因为sn=18(an+2)2,所以sn-1=18(an-1+2)2(n2).-得sn-sn-1=18(an+2)2-18(an-1+2)2(n2),即an=18(an+2)2-18(an-1+2)2.所以(an-2)2=(an-1+2)2,所以an+an-1=0或an-an-1=4.因为ann*,所以an+an-1=0舍去,所以an-an-1=4.a1=s1=18(a1+2)2,所以(a1-2)2=0,a1=2.所以an是首项为2,公差为4的等差数列.(2)bn=12an-30=12(4n-2)-30=2n-31.bn+1-bn=2(n+1)-31-(2n-31)=2.b1=12a1-30=122-30=-29.所以bn是以b1=-29为首项,d=2为公差的等差数列.tn=nb1+n(n-1)2d=-29n+n(n-1)22=n2-30n.所以tn=(n-15)2-225.当n=15时,数列bn的前n项和有最小值为-225.5.(13分)(能力挑战题)定义:同时满足下列两个条件的数列an叫做“上凸有界数列”.an+an+22an+1;anm,m是与n无关的常数.(1)若数列an的前n项和为sn,且sn=2n-1,试判断数列an是否为上凸有界数列.(2)若数列bn是等差数列,tn为其前n项和,且b3=4,t3=18,试证明:数列tn为上凸有界数列.【解析】(1)n=1时,a1=s1=2-1=1,n2时,an=sn-sn-1=2n-1-(2n-1-1)=2n-1.所以an=2n-1.显然an=2n-1是递增的,故不存在常数m,使anm成立,即不满足条件,an不是上凸有界数列.注:验证条件不成立也可.(2)设bn的公差为d,则b1+2d=4,3b1+322d