数学运算之排列组合问题.doc

一、排列组合问题 （一）基本概念 （1）加法原理：分类的用加法 乘法原理：分步的用乘法 排列：与顺序有关 组合：与顺序无关 （2）主要解题技巧：逆向考虑法，特殊位置先排，隔板法，插空法，分类法，捆绑法等。 因为这部分内容比较多，所以抽屉原理另外在下一个专题里单独讲。 （二）习题与解析： 1、用1、2、3、4、5、6、7、8可组成多少个没有重复数字的五位数？ 解析： 这是一个从8个元素中取5个元素的排列问题，由排列数公式，共可组成： P85=8*7*6*5*4=6720 2、由数字0、1、2、3可以组成多少个没有重复数字的偶数？ 解析：分类法 注意到由四个数字0、1、2、3可组成的偶数有一位数、二位数、三位数、四位数这四类，所以要一类一类地考虑，再由加法原理解决. 第一类：一位偶数只有0、2，共2个； 第二类：两位偶数，它包含个位为0、2的两类.若个位取0，则十位可有C13种取法；若个位取2，则十位有C12种取法.故两位偶数共有（C13C12）种不同的取法； 第三类：三位偶数，它包含个位为0、2的两类.若个位取0，则十位和百位共有P23种取法；若个位取2，则十位和百位只能在0、1、3中取，百位有2种取法，十位也有2种取法，由乘法原理，个位为2的三位偶数有22个，三位偶数共有（P2322）个； 第四类：四位偶数.它包含个位为0、2的两类.若个位取 0，则共有P33个；若个位取 2，则其他 3位只能在 0、 1、 3中取.千位有2种取法，百位和十位在剩下的两个数中取，再排成一列，有P22种取法.由乘法原理，个位为2的四位偶数有2P22个.所以，四位偶数共有（P332P22）种不同的取法. 由加法原理知，共可以组成 2（C13C12）（P2322）（P332P22） 251010 27个不同的偶数. 3、从5幅国画，3幅油画，2幅水彩画中选取两幅不同类型的画布置教室，问有几种选法？ 解析：分类法。首先考虑从国画、油画、水彩画这三种画中选取两幅不同类型的画有三种情况，即可分三类，自然考虑到加法原理.当从国画、油画各选一幅有多少种选法时，利用的乘法原理.由此可知这是一道利用两个原理的综合题.关键是正确把握原理. 解：符合要求的选法可分三类： 设第一类为：国画、油画各一幅，可以想像成，第一步先在5张国画中选1张，第二步再在3张油画中选1张.由乘法原理有 5315种选法.第二类为国画、水彩画各一幅，由乘法原理有 5210种选法.第三类油画、水彩各一幅，由乘法原理有326种选法.这三类是各自独立发生互不相干进行的. 因此，依加法原理，选取两幅不同类型的画布置教室的选法有 1510 631种. 运用加法和乘法原理时要注意： 抓住两个基本原理的区别，千万不能混. 不同类的方法（其中每一个方法都能各自独立地把事情从头到尾做完）数之间做加法，可求得完成事情的不同方法总数. 不同步的方法（全程分成几个阶段（步），其中每一个方法都只能完成这件事的一个阶段）数之间做乘法，可求得完成整个事情的不同方法总数. 在研究完成一件工作的不同方法数时，要遵循“不重不漏”的原则.请看一些例：从若干件产品中抽出几件产品来检验，如果把抽出的产品中至多有2件次品的抽法仅仅分为两类：第一类抽出的产品中有2件次品，第二类抽出的产品中有1件次品，那么这样的分类显然漏掉了抽出的产品中无次品的情况.又如：把能被2、被3、或被6整除的数分为三类：第一类为能被2整除的数，第二类为能被3整除的数，第三类为能被6整除的数.这三类数互有重复部分. 在运用乘法原理时，要注意当每个步骤都做完时，这件事也必须完成，而且前面一个步骤中的每一种方法，对于下个步骤不同的方法来说是一样的. 4、一学生把一个一元硬币连续掷三次，试列出各种可能的排列. 解析：画图 由此可知，排列共有如下八种： 正正正、正正反、正反正、正反反、 反正正、反正反、反反正、反反反. 5、参加会议的人两辆都彼此握手，有人统计共握手36次，到会共有多少人？（） A、9 B、10 C、11 D、12 解析：两人握手与顺序无关，（甲与乙握手和乙与甲握手是一样的），假设共有N个人，两两彼此握手可以握C2N次，有C2N=N(N-1)/2*1=36.解得N=9，选A 6、五个瓶子都贴了标签，其中恰好贴错了三个，则错的可能情况共有多少种？（） A、6 B、10 C、12 D、20 解析：第一步：从五个瓶子中选出三个瓶子 共有C35=10种方法 第二步：对这三个瓶子进行错位排列，共有D3=2种方法 第三步：根据乘法原理，所有可能的方法数为10*2*1=20种 PS：有关错位排列问题。请看下一题。将有比较详细的解释。 7、甲乙丙丁四个人站成一排，已知：甲不站在第一位，乙不站在第二位，丙不站在第三位，丁不站在第四位，则所有可能的站法数为多少种？（） A、6 B、12 C、9 D、24 解析：甲不能站在第一位，因此甲必然站在后三个位置中的某一个位置。 如果甲站在第二位，则共有三种可能：乙甲丁丙，丙甲丁乙，丁甲丙乙 如果甲站在第三位，则共有三种可能，乙丁甲丙，丙丁甲乙，丁丙甲乙 如果甲站在第四位，则共有三种可能，乙丙丁甲，丙丁乙甲，丁丙乙甲 因此一共有9种可能 总结：错位排列问题：有N封信和N个信封，则每封信都不装在自己的信封里，可能的方法的种数记作Dn。则D1=0，D2=1，D3=2，D4=9，D5=44，D6=265。 8、A、B、C、D、E五个人排成一排，其中A、B两个人不站在一起，共有（）种排法。 解析：采用插空法。 第一步：CDE排成一排，共有P33=6种排法 第二步：口C口D口E口 ，共有4个空，将A、B插入这4个空中，共有P24=12种排法 根据乘法原理，共有不同的排法6*12=72种 9、A、B、C、D、E五个人排成一排，其中A、B两人必须站在一起，共有（）种排法。 解析：采用捆绑法。 第一步：将A、B捆绑在一起，共有P22=2种捆法。 第二步：用它们的整体和CDE一起拍，共有P44=24种排法 根据乘法原理，共有不同排法2*24=48种。 总结：相邻问题-捆绑法。 不邻问题-插空法。 10、有10颗糖，每天至少吃一粒，直到吃完为止，共有多少种不同的吃法？ 解析：10片药并成一排，内部形成9个空。想象每个空上方都有一块隔板，如果隔板放下了，就是把那部分的糖果分成2天来吃了。每个隔板都有放下