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两圆的公切线夹角的计算公式 唐小平 (甘肃省武都县两水中学.746010)通过两圆位置关系的学习我们知道：当两圆外离、外切、相交时有两条外公切线；当且仅当两圆外离时有两条内公切线.下面就分别讨论两圆公切线夹角的计算，推导出公式后以提高解相关的客观性命题的速度.一、 两圆外公切线夹角的计算我们不妨以两圆外离为例加以讨论.如图所示，O1,O的外公切线AB和CD相交于P（A、B、C、D为切点），其半径分别为和R,圆心距O1O2 =连结O1A、O2B,则O1AAB,O2BAB.过O1作O1EO2B，垂足为E,于是四边形O1EBA为矩形，所以O2E=O2B-EB=O2B-O1A=R-r,于是sinEO1O2=.若计算出是特殊角的正弦值，则可直接求出EO1O2，否则可通过查表或计算器求出EO1O2,然后得AB与CD的夹角BPD=2EO1O2.对于两圆外切和相交的情况，其讨论办法和结论与两圆外离时相同，此处就不再罗嗦.二、 两圆内公切线夹角的计算如图所示，O1,O 的内公切线FG和XY相交于点M（F、G、X、Y为切点），其半径分别为r和R（），圆心距O1O2=d.连结O1X,O2Y,过O1作O2Y延长线的垂线，垂足为Q，则易证O2YM=O2QO1= O1XM =90，且O2MY=O2O1Q=GMO2，O2Q=Rr,于是sinO2O1Q=.若计算出是特殊角的正弦值，则可直接求出O2O1Q,否则可通过查表或用计算器求出O2O1Q,然后得到FG和XT的夹角GMY=2O2O1Q（或GMY=180-2O2O1Q）.综上所述，设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，外公切线夹角为，内公切线夹角为（是其中一夹角，另一
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