数列求和的方法.doc

数列求和的基本方法和技巧数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式： 2、等比数列求和公式：3、 4、5、例1 已知，求的前n项和.解：由 由等比数列求和公式得 （利用常用公式） 1 例2 设Sn1+2+3+n，nN*,求的最大值. 解：由等差数列求和公式得 ， （利用常用公式） 当 ，即n8时，二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列anbn的前n项和，其中 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列.例3 求和：解：由题可知，的通项是等差数列2n1的通项与等比数列的通项之积设. （设制错位）得 （错位相减）再利用等比数列的求和公式得： 例4 求数列前n项的和.解：由题可知，的通项是等差数列2n的通项与等比数列的通项之积设 （设制错位）得 （错位相减） 三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.例5 求证：证明： 设. 把式右边倒转过来得 （反序） 又由可得 . +得 （反序相加） 例6 求的值解：设. 将式右边反序得 . （反序） 又因为 +得 （反序相加）89 S44.5四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例7 求数列的前n项和：，解：设将其每一项拆开再重新组合得 （分组）当a1时， （分组求和）当时，例8 求数列n(n+1)(2n+1)的前n项和.解：设 将其每一项拆开再重新组合得 Sn （分组） （分组求和） 五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1） （2）（3） （4）（5）(6) 例9 求数列的前n项和.解：设 （裂项）则 （裂项求和） 例10 在数列an中，又，求数列bn的前n项的和.解： （裂项） 数列bn的前n项和 （裂项求和） 例11 求证：解：设 （裂项） （裂项求和） 原等式成立六、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn. 例12 求cos1+ cos2+ cos3+ cos178+ cos179的值.解：设Sn cos1+ cos2+ cos3+ cos178+ cos179 （找特殊性质项）Sn （cos1+ cos179）+（ cos2+ cos178）+ （cos3+ cos177）+（cos89+ cos91）+ cos90 （合并求和） 0例13 数列an：，求S2002.解：设S2002由可得 （找特殊性质项）S2002 （合并求和） 5例14 在各项均为正数的等比数列中，若的值.解：设由等比数列的性质 （找特殊性质项）和对数的运算性质 得 （合并求和） 10七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.例15 求之和.解：由于 （找通项及特征） （分组求和）例16 已知数列an：的值.解： （找通项及特征） （设制分组） （裂项） （分组、裂项求和） 八、 聚合法求和 有的数列表示形式较复杂，每一项是若干个数的和，这时常采用聚合法， 先对其第n项求和，然后将通项化简，从而改变原数列的形式，有利于找出解题办法。 例5：求数列2，2+4，2+4+6，2+4+6+8，2+4+6+2n，的前n项和 解：an=2+4+6+2n= n(n+1)=n2+n Sn=(12+1)+(22+2)+(32+3) +( n2+n) =（12+22+32+ n2）+（1+2+3+n） = n（n+1）（2n+1）+ n(n+1) = 以上一个几种方法虽然各有其特点，但总的原则是要善于改变原数列的形式结构，使其能进行消项处理或能使用等差数列或等比数列的求和公式以及其它已知的基本求和公式来解决，只要很好地把握这一规律，就能使数列求和化难为易，迎刃而解。九、递推数列的求和 求数列的和是一个比较复杂的问题，它往往涉及到各方面的知识，就是前面提到的方法也往往要综合起来才能奏效。还要指出一点，当数列是由递推公式给出时，数列的前n项和公式一般是由递推公式来得到，必须先由递推公式求出数列的通项，然后再求前n项的和。例4、已知数列an满足条件： a1+2a2+3a3+nan=n(n+1)(n+2) (nN)求数列an的前n项和Sn.分析：要先求出通项，考虑到已知与n项和有关，不妨用n项和减去（n-1）项的和来解决。解：a1+2a2+3a3+nan=n(n+1)(n+2) 当n2时，a1+2a2+3a3+(n-1)an-1=(n-1)n(n+1) -得： nan=n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1) =3n(n+1) an=3(n+1) (n2) 又：a1=123=6适合上式 an=3(n+1) (nN) 数列an是首项为6，公差为3的等差数列，其前n项和 对于个别特殊的递推数列也有例外，比如检测题3，就可以用迭加法由递推公式直接求通项，具体作法： 由已知可得： 上述（n-1）个式子迭加有： 又a1=1，十、奇偶分析求和已知数列an，an=-2n-(-1)n，求Sn解：an=-2n+2(-1)n当n=2m时：Sn= S2m=-2（1+2+3+2m）+2（-1）1+（-1）2+（-1）3+（-1）2m=-2（1+2+3+2m）=-2m（2m+1）=-n（n+1）当n=2m-1时：S2m-1= S2m- a2m=-2m（2m+1）+ 4m-2(-1)2m=-4m2+2m-2= -（2m-1+1）2+2m-1-1= -（n+1）2+n-1= -n2-n-2十一、求导的方法求和求 2n+ 3n2+ 4n3+（m+1） nm它是等比数列n2+n3+n4+nm+1的倒数附：数列中的找规律例1. 已知数列1，2，4，8，16，32，求这个数列中第10项是多少所以，这个数列中第10项是：例2. 观察下面左、右两列等式的关系（先计算）计算：例3. 求和：例4. 观察下面的数表（横排为行）根据前5行表现出的规律，说明这个分数位于由上而下的第几行？在这行中，它位于由左向右的第几个？分