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沪科版八年级数学上册总复习 第11章平面直角坐标系 1 2 3 1 2 3 y x 1 2 3 1 2 3 4 O 在平面内有公共原点而且互相垂直的两条数轴 构成了平面直角坐标系 A点的坐标 记作A 2 1 一 由点找坐标 规定 横坐标在前 纵坐标在后 二 由坐标找点 B 3 2 由坐标找点的方法 先找到表示横坐标与纵坐标的点 然后过这两点分别作x轴与y轴的垂线 垂线的交点就是该坐标对应的点 B 第四象限 若点P x y 在第一象限 则x 0 y 0 若点P x y 在第二象限 则x 0 y 0 若点P x y 在第三象限 则x 0 y 0 若点P x y 在第四象限 则x 0 y 0 三 各象限点坐标的符号 第一象限 第三象限 第二象限 1 点 的坐标是 则点 在第象限 四 一或三 3 若点 x y 的坐标满足xy 且在x轴上方 则点 在第象限 二 三 各象限点坐标的符号 注 判断点的位置关键抓住象限内点的坐标的符号特征 4 若点A的坐标为 a2 1 2 b2 则点A在第 象限 四 第四象限 第一象限 第三象限 第二象限 A 3 0 在第几象限 注 坐标轴上的点不属于任何象限 四 坐标轴上点的坐标符号 四 坐标轴上点的坐标符号 1 点P m 2 m 1 在x轴上 则点P的坐标是 3 0 2 点P m 2 m 1 在y轴上 则点P的坐标是 0 3 3 点P x y 满足xy 0 则点P在 x轴上或y轴上 4 若 则点p x y 位于 y轴 除 0 0 上 注意 1 x轴上的点的纵坐标为0 表示为 x 0 2 y轴上的点的横坐标为0 表示为 0 y 原点 0 0 既在x轴上 又在y轴上 2 若AB y轴 则A m y1 B m y2 1 若AB x轴 则A x1 n B x2 n 五 与坐标轴平行的两点连线 1 已知点A m 2 点B 3 m 1 且直线AB x轴 则m的值为 2 已知点A m 2 点B 3 m 1 且直线AB y轴 则m的值为 3 已知点A 10 5 B 50 5 则直线AB的位置特点是 A 与x轴平行B 与y轴平行C 与x轴相交 但不垂直D 与y轴相交 但不垂直 A 1 若点P在第一 三象限角的平分线上 则P m m 2 若点P在第二 四象限角的平分线上则P m m 六 象限角平分线上的点 3 已知点M a 1 3a 5 在两坐标轴夹角的平分线上 试求M的坐标 2 已知点A 2a 1 2 a 在第二象限的平分线上 试求A的坐标 1 已知点A 2 y 点B x 5 点A B在一 三象限的角平分线上 则x y 5 2 1 点 x y 到x轴的距离是 2 点 x y 到y轴的距离是 七 点到坐标轴的距离 1 若点 的坐标是 3 5 则它到x轴的距离是 到y轴的距离是 2 若点 在x轴上方 y轴右侧 并且到x轴 y轴距离分别是 个单位长度 则点 的坐标是 4 2 3 点 到x轴 y轴的距离分别是 则点 的坐标可能为 1 2 1 2 1 2 1 2 1 点 a b 关于X轴的对称点是 a b a b a b 2 点 a b 关于Y轴的对称点是 3 点 a b 关于原点的对称点是 七 关于坐标轴 原点的对称点 1 已知A B关于x轴对称 A点的坐标为 3 2 则B的坐标为 3 2 2 若点A m 2 B 1 n 关于y轴对称 m n 3 已知点A 3a 1 1 a 在第一象限的平分线上 试求A关于原点的对称点的坐标 平面直角坐标系的应用 确定点的位置 求平面图形的面积 用坐标表示平移 1 如图是某市市区几个旅游景点的平面示意图 1 选取某一景点为坐标原点 建立平面直角坐标系 2 在所建立的平面直角坐标系中 写出其余各景点的坐标 约定 选择水平线为x轴 向右为正方向 选择竖直线为y轴 向上为正方向 已知点A 6 2 B 2 4 求 AOB的面积 O为坐标原点 典型例题 例3 C D 4 如图 四边形ABCD各个顶点的坐标分别为 2 8 11 6 14 0 0 0 1 确定这个四边形的面积 你是怎么做的 2 如果把原来ABCD各个顶点纵坐标保持不变 横坐标增加2 所得的四边形面积又是多少 D E 5 在平面直角坐标系中 点M 1 2 可由点N 1 0 怎样平移得到 写出简要过程 6 三角形ABC中BC边上的中点为M 在把三角形ABC向左平移2个单位 再向上平移3个单位后 得到三角形A1B1C1的B1C1边上中点M1此时的坐标为 1 0 则M点坐标为 第12章一次函数 知识要点 1 函数 变量 常量 2 函数的三种表示法 3 正比例函数 定义 图象 性质 4 一次函数 定义 图象 性质 5 一次函数的应用 6 一次函数与一元一次方程 一元一次不等式 二元一次方程组的关系 1 圆的周长C与半径r的关系式 写出下列各问题中的关系式 并指出其中的常量与变量 2 火车以60千米 时的速度行驶 它驶过的路程s 千米 和所用时间t 时 的关系式 3 n边形的内角和S与边数n的关系式 C 2 r2 是常量 C与r是变量 S 60t60是常量 S与t是变量 S n 2 18001800与2是常量 S与n是变量 关于常量与变量 s 60t S 图象法 2 函数的三种表示法与特点 明显地显示自变量的值与函数值对应 但只列一部分 不能反映函数变化的全貌 能形象直观显示数据的变化规律 但所画图象是近似 局部的 不够准确 简明扼要 规范准确 便于理解函数的性质 但并非适应于所有的函数 1 下列图形中的曲线不表示是的函数的是 C 函数的定义要点 1 在一个变化过程中有两个变量 2 X取一个确定的值 有唯一确定的值和它对应 函数定义的理解 2 均匀地向一个如图所示的容器中注水 最后把容器注满 在注水过程中水面高度随时间变化的函数图象大致是 水面高度随时间 A 3 某蓄水池的横断面示意图如右图 分深水区和浅水区 如果这个注满水的蓄水池以固定的流量把水全部放出 下面的图象能大致表示水的深度h和放水t时间之间的关系的是 注满水 A 固定的流量把水全部放出 1 已知y 1与x 2成正比例 当x 3时 y 3 1 求y与x的函数关系式 2 画出这个函数图象 3 求图象与坐标轴围成的三角形面积 4 当 1 x 4时 求y的取值范围 注意点 1 函数表达形式要化简 2 第 4 小题解法 代数法 图象法 正比例函数与一次函数的关系及有关的图象问题 知识点 1 正比例函数与一次函数的关系 2 一次函数图象的画法 3 一次函数图象与坐标轴交点坐标求法 1 已知一次函数y m 4 x 3 m 当m为何值时 1 Y随x值增大而减小 2 直线过原点 3 直线与直线y 2x平行 4 直线不经过第一象限 5 直线与x轴交于点 2 0 6 直线与y轴交于点 0 1 7 直线与直线y 2x 4交于点 a 2 m m 4 m 2 3 m 4 m 3 m 5 m 4 m 5 5 一次函数性质的运用问题 2 已知正比例函数y kx k 0 的函数值随的增大而增大 则一次函数y kx k的图象大致是 B C 正比例函数与一次函数中k b的符号判断问题 A 2 一次函数y ax b与y ax c a 0 在同一坐标系中的图象可能是 1 已知一次函数y kx b y随着x的增大而减小 且kb 0 则在直角坐标系内它的大致图象是 A B C D A 图象辨析 A 3 一次函数y kx k的图象可能是 A B C D C 4 直线y1 ax b与直线y2 bx a在同一坐标系内的大致图象是 a 0 b 0b0 a 0 b 0b 0 a 0 a 0 b 0b 0 a 0 a 0 b 0b 0 a 0 D 5 如图 在同一坐标系中 关于x的一次函数y x b与y bx 1的图象只可能是 C 6 一支蜡烛长20厘米 点燃后每小时燃烧5厘米 燃烧时剩下的高度h 厘米 与燃烧时间t 时 的函数关系的图象是 选一选 A C B D D 老师给出一个一次函数 甲 乙 丙各指出这个函数的一个性质 甲 函数不经过第三象限乙 函数经过第一象限丙 当X 2时 Y 0请根据以上信息构造一个函数 想一想 议一议 2 y kx b的图象不经过第一象限时 k b y kx b的图象不经过第二象限时 k b y kx b的图象不经过第三象限时 k b y kx b的图象不经过第四象限时 k b 练一练 1 有下列函数 其中过原点的直线是 函数y随x的增大而增大的是 函数y随x的增大而减小的是 图象在第一 二 三象限的是 3 一次函数y m 7 x n 4 经过原点的条件是 0 0 0 0 0 0 0 0 m 7 n 4 9 4 1 直线y x 1与x轴的交点坐标为 与Y轴的交点坐标为 2 如果一次函数y kx 3k 6的图象经过原点 那么k的值为 3 已知y 1与x成正比例 且x 2时 y 4 那么y与x之间的函数关系式为 4 直线y kx b与y 2x 4平行 且过点出 3 2 y kx b与x轴y轴的坐标分别是 0 1 k 2 1 0 4 0 0 8 10 4 直线y1与y2交于点P 1 2 当x 时 y1 y2 若x 时 y1 y2 6 若ab 0 bc 0 则直线ax by c 0不通过 象限 A 1B 2C 3D 4 2 直线y kx b经过两点 1 2 1 1 7 则解析式为 5 1 把直线y 2x向 平移 个单位过点 2 1 5 一直线过点 0 3 且平等于y 2x 则此直线是 A y 2x 3B y 2x 3C y 2x 3D y 2x 3 y 4x 3 1 1 B C 3 直线y ax 5不论a为何值都过定点 上 5 0 5 8 6 如图 直角坐标系中 点A的坐标为 1 0 以线段OA为边在第四象限内作等边 AOB 点C为x正半轴上一动点 OC 1 连结BC 以线段BC为边在第四象限内作等边 CBD 直线DA交y轴于点E 1 OBC与 ABD全等吗 判断并证明你的结论 x y 第22题图 2 随着点C位置的变化 点E的位置是否会发生变化 若没有变化 求出点E的坐标 若有变化 请说明理由 7 某工厂用一种自动控制加工机制作一批工件 该机器运行过程分为加油过程和加工过程 加工过程中 当油箱中油量为10升时 机器自动停止加工进入加油过程 将油箱加满后继续加工 如此往复 已知机器需运行185分钟才能将这批工件加工完 下图是油箱中油量y 升 与机器运行时间x 分 之间的函数图象 根据图象回答下列问题 1 求在第一个加工过程中 油箱中油量y 升 与机器运行时间x 分 之间的函数关系式 不必写出自变量x的取值范围 2 机器运行多少分钟时 第一个加工过程停止 3 加工完这批工件 机器耗油多少升 一次函数与实际问题 1 某农户种植一种经济作物 总用水量y 米3 与种植时间x 天 之间的函数关系式如图 1 第20天的总用水量为多少米 2 求y与x之间的函数关系式 3 种植时间为多少天时 总用水量达到7000米3 注意点 1 从函数图象中获取信息 2 根据信息求函数解析式 从一次函数图象中获取信息问题 3 三军受命 我解放军各部奋力抗战在救灾一线 现有甲 乙两支解放军小分队将救灾物资送往某重灾小镇 甲队先出发 从部队基地到该小镇只有唯一通道 且路程为24km 如图是他们行走的路程关于时间的函数图象 四位同学观察此函数图象得出有关信息 其中正确的个数是 A 1B 2C 3D 4 甲队到达小镇用了6小时 途中停顿了1小时 甲队比乙队早出发2小时 但他们同时到达 乙队出发2 5小时后追上甲队 乙队到达小镇用了4小时 平均速度是6km h 4 5 4 5 D 2 5 12 汶川地震发生后 某天广安先后有两批自愿者救援队分别乘客车和出租车沿相同路线从广安赶往重灾区平武救援 下图表示其行驶过程中路程随时间的变化图象 1 根据图象 请分别写出客车和出租车行驶过程中路程与时间之间的函数关系式 不写出自变量的取值范围 2 写出客车和出租车行驶的速度分别是多少 3 试求出出租车出发后多长时间赶上客车 一次函数与动点问题 1 如图 在边长为的正方形ABCD的一边BC上 有一点P从点B运动到点C 设BP X 四边形APCD的面积为y 1 写出y与x之间的关系式 并画出它的图象 2 当x为何值时 四边形APCD的面积等于3 2 A B C D P 2 如图1 在矩形ABCD中 动点P从点B出发 沿BC CD DA运动至点A停止 设点P运动的路程为x ABP的面积为y 如果y关于x的函数图象如图2所示 1 求 ABC的面积 2 求y关于x的函数解析式 BC 4 AB 5 2 y 2 5x 0 x 4 y 10 4 x 9 13 y 2 5x 32 5 9 x 13 3 当 ABP的面积为5时 求x的值 X 2 X 11 一次函数与方程 组 及不等式问题 1 用图象法解某二元一次方程组时 在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象 如图所示 则所解的二元一次方程组是 A B C D D 2 如图 已知函数y x b和y ax 3的图象交于P点 则x b ax 3不等式的解集为 X 1 一次函数中数形结合思想方法的应用 1 如图 直线AB与y轴 x轴交点分别为A 0 2 B 4 0 问题1 求直线AB的解析式及 AOB的面积 问题2 当x满足什么条件时 y 0 y 0 y 0 0 y 2 当x 4时 y 0 当x 4时 y 0 当x 4时 y 0 当0 x 4时 0 y 2 问题3 在x轴上是否存在一点P 使 若存在 请求出P点坐标 若不存在 请说明理由 1 7 P 1 0 或 7 0 问题4 若直线AB上有一点C 且点C的横坐标为0 4 求C的坐标及 AOC的面积 0 4 问题5 若直线AB上有一点D 且点D的纵坐标为1 6 求D的坐标及直线OD的函数解析式 1 6 D C点的坐标 0 4 1 8 D点的坐标 0 8 1 6 y 2x 问题6 求直线AB上是否存在一点E 使点E到x轴的距离等于1 5 若存在求出点E的坐标 若不存在 请说明理由 1 5 1 5 问题7 求直线AB上是否存在一点F 使点E到y轴的距离等0 6 若存在求出点F的坐标 若不存在 请说明理由 E点的坐标 1 1 5 或 7 1 5 F点的坐标 0 6 1 7 或 0 6 2 3 A 2 O 4 B x y 问题8 在直线上是否存在一点G 使 若存在 请求出G点坐标 若不存在 请说明理由 G 2 1 或 6 1 问题9 在x轴上是否存在一点H 使 若存在 请求出H点坐标 若不存在 请说明理由 H 1 1 5 或 1 2 5 问题10 已知x点A 4 0 B 2 0 若点C在一次函数的图象上 且 ABC是直角三角形 则满足条件点C有 A 1个B 2个C 3个D 4个 问题11 如图 直线AB与y轴 x轴交点分别为A 0 2 B 4 0 以坐标轴上有一点C 使 ACB为等腰三角形这样的点C有 个A 5个B 6个C 7个D 8个 A 2 O 4 B x y 一次函数中方案的选择问题 1 某学校计划在总费用2300元的限额内 租用汽车送234名学生和6名教师集体外出活动 每辆汽车上至少要有1名教师 现有甲 乙两种大客车 它们的载客量和租金如下表 1 1 共需租多少辆汽车 2 给出最节省费用的租车方案 要求 1 要保证240名师生有车坐 2 要使每辆车至少要有1名教师 解 1 共需租6辆汽车 2 设租用x辆甲种客车 租车费用为y元 由题意得y 400 x 280 6 x 化简得y 120 x 1680 x是整数 x取4 5 k 120 O y随x的增大而增大 当x 4时 Y的最小值 2160元 2 9分 5月12日 我国四川省汶川县等地发生强烈地震 在抗震救灾中得知 甲 乙两个重灾区急需一种大型挖掘机 甲地需要25台 乙地需要23台 A B两省获知情况后慷慨相助 分别捐赠该型号挖掘机26台和22台并将其全部调往灾区 如果从A省调运一台挖掘机到甲地要耗资0 4万元 到乙地要耗资0 3万元 从B省调运一台挖掘机到甲地要耗资0 5万元 到乙地要耗资0 2万元 设从A省调往甲地台挖掘机 A B两省将捐赠的挖掘机全部调往灾区共耗资y万元 请直接写出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围 调入地 调出地 A 26台 B 22台 甲 25台 乙 23台 x 25 x 26 x X 3 0 4 0 5 0 3 0 2 Y 0 4x 0 5 25 x 0 3 26 x 0 2 X 3 Y 0 2x 19 7 3 x 25 若要使总耗资不超过15万元 有哪几种调运方案 Y 0 2x 19 7 3 x 25 0 2x 19 7 15 X 23 5 x是整数 x取24 25 即 要使总耗资不超过15万元 有如下两种调运方案 方案一 从A省往甲地调运24台 往乙地调运2台 从B省往甲地调运1台 往乙地调运21台 方案二 从A省往甲地调运25台 往乙地调运1台 从B省往甲地调运0台 往乙地调运22台 怎样设计调运方案能使总耗资最少 最少耗资是多少万元 一次函数图象中的面积有关问题 1 已知一次函数y kx b的图象经过 1 5 且与正比例函数y X的图象相交于点 2 a 求 1 a的值 2 一次函数的解析式 3 这两个函数图象与x轴所围成的三角形面积 2 如图 A B分别是x轴上位于原点左 右两侧的点 点P 2 P 在第一象限 直线PA交y轴于点C 0 2 直线PB交y轴于点D 1 求的面积 2 求点A的坐标及P的值 3 若 求直线BD的函数解析式 3 直线分别交x轴 y轴于A B两点 O为原点 1 求 AOB的面积 2 过AOB的顶点 能不能画出直线把 AOB分成面积相等的两部分 写出这样的直线所对应的函数解析式 第13章三角形中的边角关系 1 三角形的概念 三角形有三条边 三个内角 三个顶点 组成三角形的线段叫做三角形的边 相邻两边所组成的角叫做三角形的内角 简称角 相邻两边的公共端点是三角形的顶点 三角形ABC用符号表示为 ABC 三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c表示 AC可用b表示 BC可用a表示 不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形 1 三角形的概念 不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形 注意 1 三条线段要不在同一直线上 且首尾顺次相接 2 三角形是一个封闭的图形 3 ABC是三角形ABC的符号标记 单独的 没有意义 2 三角形的三边关系 注意 1 三边关系的依据是 两点之间线段是短2 判断三条线段能否构成三角形的方法 只要满足较小的两条线段之和大于第三条线段 便可构成三角形 若不满足 则不能构成三角形 3 三角形第三边的取值范围是 两边之差 第三边 两边之和 三角形的任意两边之和大于第三边 三角形的任意两边之差小于第三边 3 三角形的高 中线 角平分线 注意 三角形的高是线段 锐角三角形三条高全在三角形的内部 直角三角形有两条高是直角边 另一条在内部 钝角三角形有两条高在三角形外 另一条在内部 三角形三条高所在直线交于一点 1 三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线 顶点和垂足之间的线段 表示法 AD是 ABC的BC上的高线 AD BC于D ADB ADC 90 注意 三角形的中线是线段 三角形三条中线全在三角形的内部 三角形三条中线交于三角形内部一点 中线把三角形分成两个面积相等的三角形 2 三角形中线 连结一个顶点和它对边中点的线段 表示法 AD是 ABC的BC上的中线 BD DC BC 3 三角形的高 中线 角平分线 注意 三角形的角平分线是线段 三角形三条角平分线全在三角形的内部 三角形三条角平分线交于三角形内部一点 用量角器画三角形的角平分线 3 三角形的角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交 这个角顶点与交点之间的线段 表示法 AD是 ABC的 BAC的平分线 1 2 BAC 1 2 3 三角形的高 中线 角平分线 4 三角形的分类 1 按边分类 2 按角分类 5 对 定义 的理解 能明确界定某个对象含义的语句叫做定义 注意 明确界定某个对象有两种形式 揭示对象的特征性质 例如 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线 顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高 明确对象的范围 例如 整数和分数统称为有理数 考点一 数三角形的个数 例1图中三角形的个数是 A 8B 9C 10D 11 B 考点二 三角形三边关系 例2 已知四组线段的长分别如下 以各组线段为边 能组成三角形的是 A 1 2 3B 2 5 8C 3 4 5D 4 5 10 例3 下列各组条件中 不能组成三角形的是 A a 1 a 2 a 3 a 3 B 3cm 8cm 10cmC 三条线段之比为1 2 3D 3a 5a 2a 1 a 1 C C 考点二 三角形三边关系 例3 ABC的三边长分别为4 9 x 求x的取值范围 求 ABC周长的取值范围 当x为偶数时 求x 当 ABC的周长为偶数时 求x 若 ABC为等腰三角形 求x 考点三 三角形的三线 例4 下列说法错误的是 A 三角形的三条中线都在三角形内 B 直角三角形的高线只有一条 C 三角形的三条角平分线都在三角形内 D 钝角三角形内只有一条高线 例5 在三条边都不相等的三角形中 同一条边上的中线 高和这边所对角的角平分线 最短的是 A 中线 B 高线 C 角平分线 D 不能确定 B B 6 有关 命题 的概念 注意 命题有真命题和假命题两种 用来判断它是真 正确 假 错误 的语句或式子叫做命题 命题由题设和结论两部分组成的 前一部分 也称之为条件 后一部分称之为结论 命题通常是用 如果 那么 的形式给出 如果p 那么q 中的题设与结论互换 得一个新命题 如果q 那么p 这两个命题称为互逆命题 其中一个命题叫原命题 另一个命题叫做逆命题 当一个命题是真命题时它的逆命题不一定是真命题 符合命题的题设 但不满足命题的结论的例子 称之为反例 要说明一个命题是假命题 只要举一个反例即可 7 有关 公理 定理 证明 推论 演绎推理 辅助线 等概念 2 定理 从公理或其他真命题出发 用推理方法证明为正确的 并被选作判断命题真假的依据的真命题 1 公理 从长期实践中总结出来的 不需要再作证明的真命题 4 演绎推理 从已知条件出发 依据定义 公理 定理 并按照逻辑规则 推导出结论的方法 5 证明 演绎推理的过程就是演绎证明 简称 证明 3 推论 由公理 定理直接得出的真命题 6 辅助线 为了证明的需要 在原来的图形上添画的线段或直线 8 三角形的内角和定理 三角形的内角和等于180 2 从剪拼可以看出 A B C 180 1 从折叠可以看出 A B C 180 3 由推理证明可知 A B C 180 证明三角形内角和定理的方法 添加辅助线思路 1 构造平角 2 1 E D 1 2 E D F 1 2 添加辅助线思路 2 构造同旁内角 E D F 1 2 3 4 9 三角形的外角 三角形的外角的定义 三角形一边与另一边的延长线组成的角 叫做三角形的外角 三角形的外角与内角的关系 2 三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和 1 三角形的一个外角与它相邻的内角互补 3 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 4 三角形的外角和为360 考点四 三角形内角和定理 解 设 B x 则 A 3x C 4x 从而 x 3x 4x 180 解得x 22 5 即 B 22 5 A 67 5 C 90 例3 ABC中 B A C 求 ABC的三个内角度数 例4如图 点O是 ABC内一点 A 80 1 15 2 40 则 BOC等于 A 95 B 120 C 135 D 650 分析与解 O 180 OBC OCB 180 180 1 2 A 1 2 A 135 考点四 三角形内角和定理 巩固练习 1 在 ABC中 三边长a b c都是整数 且满足a b c a 8 那么满足条件的三角形共有多少个 变式 1 已知小明家距离学校10千米 而小蓉家距离小明家3千米 如果小蓉家到学校的距离是d千米 则d满足 2 如图 在 ABC中 BAC 4 ABC 4 C BD AC于点D 求 ABD的度数 答案 ABD 30 变式2 用三条绳子打结成三角形 不考虑结头长 已知其中两条长分别是3米和7米 问这个等腰三角形的周长是多少 3 如图 草原上有四口油井 位于四边形ABCD的四个顶点上 现在要建立一个维修站H 试问H建在何处 才能使它到四口油井的距离之和HA HB HC HD最小 说明理由 4 如图 AC BD AE平分 BAC交BD于点E 若 1 64 则 2 5 如图所示的正方形网格中 网格线的交点称为格点 已知A B是两格点 如果C也是图中的格点 且使得 ABC为等腰三角形 则点C的个数是 A 6B 7C 8D 9 6 已知 如图 AB CD 直线EF分别交AB CD于点E F BEF的平分线与 DFE的平分线相交于点P 求证 P 90 8 如图1 求证 BOC A B C 如图2 ABC 100 DEF 130 求 A C D F的度数 7 求证 三角形内角之和等于180 10 已知如图所示 在 ABC中 DE BC F是AB上的一点 FE的延长线交BC的延长线于点G 求证 EGH ADE 9 如图 已知 直线AB CD 证明 A C AEC 例2 如图 已知AD是 ABD和 ACD的公共边 证法 延长AD BDE B 3 CDE C 4 三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两内角之和 BDC BDE CDE B C 3 4 又 BAC 3 4 BDC B C BAC E 证明 BDC BAC B C 附加 证明 等腰三角形两底角的平分线相等 已知 如图 在 ABC中AB AC BD CE是 ABC的角平分线 求证 BD CE 第13章全等三角形 知识梳理 1 什么是全等三角形 一个三角形经过哪些变化可以得到它的全等形 2 全等三角形有哪些性质 3 三角形全等的判定方法有哪些 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 一个三角形经过平移 翻折 旋转可以得到它的全等形 1 全等三角形的对应边相等 对应角相等 2 全等三角形的周长相等 面积相等 3 全等三角形的对应边上的对应中线 角平分线 高线分别相等 SSS SAS ASA AAS HL RT 方法指引 证明两个三角形全等的基本思路 1 已知两边 找第三边 SSS 找夹角 SAS 2 已知一边一角 已知一边和它的邻角 找是否有直角 HL 已知一边和它的对角 找这边的另一个邻角 ASA 找这个角的另一个边 SAS 找这边的对角 AAS 找一角 AAS 已知角是直角 找一边 HL 3 已知两角 找两角的夹边 ASA 找夹边外的任意边 AAS 练习 例1 已知AC FE BC DE 点A D B F在一条直线上 AD BF 求证 E C 证明 AD FB AD DB BF DB 即AB FD 在 ABC和 FDE中 AC FEBC DEAB FD ABC FDE SSS E C 练习1 如图 AB AD CB CD 求证 AC平分 BAD 例2 如图 AC和BD相交于点O OA OC OB OD求证 DC AB 练习2 已知 ABC和 ECD都是等边三角形 且点B C D在一条直线上求证 BE AD 变式 以上条件不变 将 ABC绕点C旋转一定角度 大于零度而小于六十度 以上的结论海成立吗 例3 如图 OB AB OC AC 垂足为B C OB OCAO平分 BAC吗 为什么 答 AO平分 BAC 练习3 ABC中 AD是它的角平分线 且BD CD DE DF分别垂直AB AC 垂足为E F 求证 EB FC 例4 如图 D在AB上 E在AC上 AB AC B C 试问AD AE吗 为什么 解 AD AE 练习4 如图 小明不慎将一块三角形模具打碎为两块 他是否可以只带其中的一块碎片到商店去 就能配一块与原来一样的三角形模具呢 如果可以 带那块去合适 为什么 AB 例5 已知AC DB 1 2 求证 A D 练习5 如图 已知E在AB上 1 2 3 4 那么AC等于AD吗 为什么 解 AC AD 例6 如图所示 AB与CD相交于点O A B OA OB添加条件所以 AOC BOD理由是 C D AOC BOD AAS ASA 例7 如图所示 AB AD E C要想使 ABC ADE可以添加的条件是依据是 EDA B DAE BAC BAD EAC AAS 例8 如图 已知AB CD DE AC BF AC AE CF求证 ABF CDE AB ED AC EF BC DF DC BF 返回 练习 1 如图 已知 AB DE AB DE AF DC 请问图中有那几对全等三角形 请任选一对给予证明 ABF DEC CBF FEC ABC DEF 答 练2 练习 1 如图 已知 AB DE AB DE AF DC 请问图中有那几对全等三角形 请任选一对给予证明 ABF DEC 答 证明 证明 证明 练习 2 如图 已知 EG AF 请你从下面三个条件中 再选出两个作为已知条件 另一个作为结论 推出一个正确的命题 只写出一种情况 AB AC DE DF BE CF已知 EG AF求证 高 3 如图 AB A B AC A C 且BB CC 你能说明AC A C 的理由吗 练习 高 F E D C B A 4 如图 B E AB EF BD EC 那么 ABC与 FED全等吗 为什么 解 全等 BD EC 已知 BD CD EC CD 即BC ED 在 ABC与 FED中 ABC FED SAS 考考你 小明的设计方案 先在池塘旁取一个能直接到达A和B处的点C 连结AC并延长至D点 使AC DC 连结BC并延长至E点 使BC EC 连结CD 用米尺测出DE的长 这个长度就等于A B两点的距离 请你说明理由 AC DC ACB DCEBC EC ACB DCE SAS AB DE E C B A D 5 如图线段AB是一个池塘的长度 现在想测量这个池塘的长度 在水上测量不方便 你有什么好的方法较方便地把池塘的长度测量出来吗 想想看 解 在 ACB和 DCE中 全等三角形对应边相等 6 如图 已知AB AD AC AE 1 2 求证 BC DE 如果 ABD ACE 1与 2相等吗 解 ABD ACE 已知 DAB EAC 全等三角形的对应角相等 DAB BAE EAC BAE即 1 2 探究 BPC APC和 BPC PA PB 已知 PC PC 公共边 APC BPC SAS 全等三角形对应角相等 8 如图 已知 ABC中 BE和CD分别为 ABC和 ABC的平分线 且BD CE 1 2 说明BE CD的理由 解 DBC 2 1 ECB 2 2 角平分线的定义 1 2 DBC ECB 在 DBC和 ECB中BD CE 已知 DBC ECBBC CB 公共边 DBC ECB SAS BE CD 全等三角形的对应边相等 知识应用 1 已知 ABC和 DEF 下列条件中 不能保证 ABC和 DEF全等的是 AB DE AC DF BC EF A D B E AC DFC AB DE AC DF A DD AB DE BC EF C F D 知识应用 2 要说明 ABC和 DEF全等 已知条件为AB DE A D 不需要的条件为 B EB C FC AC DFD BC EF 3 要说明 ABC和 DEF全等 已知 A D B E 则不需要的条件是 C FB AB DEC AC EFD BC EF D A 4 两个三角形全等 那么下列说法错误的是 A 对应边上的三条高分别相等B 对应边上的三条中线分别相等C 两个三角形的面积相等D 两个三角形的任何线段相等 知识应用 D 拓展题 1 已知AB AE AC AD AC AD AB AE E C A B 2 1 D 2 怎样变换 ABC和 AED中的一个位置 可使它们重合 3 观察 ABC和 AED中对应边有怎样的位置关系 4 试证ED BC 1 观察图中有没有全等三角形 拓展题 2 如图 已知 A D AB DE AF CD BC EF 求证 BC EF 拓展题 3 如图 已知AC BD EA EB分别平分 CAB和 DBA CD过点E 则AB与AC BD相等吗 请说明理由 要证明两条线段的和与一条线段相等时常用的两种方法 1 可在长线段上截取与两条线段中一条相等的一段 然后证明剩余的线段与另一条线段相等 割 2 把一个三角形移到另一位置 使两线段补成一条线段 再证明它与长线段相等 补 总结提高 学习全等三角形应注意以下几个问题 1 要正确区分 对应边 与 对边 对应角 与 对角 的不同含义 2 表示两个三角形全等时 表示对应顶点的字母要写在对应的位置上 3 要记住 有三个角对应相等 或 有两边及其中一边的对角对应相等 的两个三角形不一定全等 4 时刻注意图形中的隐含条件 如 公共角 公共边 对顶角 第15章轴对称图形和等腰三角形 本章目录 15 1轴对称图形15 2线段的垂直平分线15 3等腰三角形15 4角的平分线 把一个图形沿着一条直线折叠 如果直线两旁的部分能够完全重合 那么这个图形就叫做轴对称图形 这条直线叫做对称轴 把一个图形沿一条直线折叠 如果它能与另一个图形完全重合 那么这两个图关于这条直线成轴对称 这条直线叫做对称轴 15 1 轴对称图形 知识点回顾 1 轴对称图形 2 轴对称 3 轴对称图形和轴对称的区别与联系 轴对称图形 轴对称 区别 联系 图形 1 轴对称图形是指 具有特殊形状的图形 只对 图形而言 2 对称轴 只有一条 1 轴对称是指 图形的位置关系 必须涉及 图形 2 只有 对称轴 如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分 那么这两个图形就关于这条直线成轴对称 如果把两个成轴对称的图形拼在一起看成一个整体 那么它就是一个轴对称图形 一个 一个 不一定 两个 两个 一条 知识回顾 4 轴对称的性质 如果两个图形关于某条直线对称 那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线 如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分 那么这两个图形关于这条直线对称 1 下面的图形是轴对称图形吗 如果是 你能指出它的对称轴吗 2 国旗是一个国家的象征 观察下面的国旗 是轴对称图形的是 A 加拿大 韩国 乌拉圭B 加拿大 瑞典 澳大利亚C 加拿大 瑞典 瑞士D 乌拉圭 瑞典 瑞士 加拿大韩国澳大利亚乌拉圭瑞典瑞士 C 哪一面镜子里是他的像 3 练练你的眼力 4 小明照镜子的时候 发现T恤上的英文单词在镜子中呈现 的样子 请你判断这个英文单词是 A B C D A 5 ABC与 DEF关于直线L成轴对称 则 C是多少度 L 650 750 15 2 线段的中垂线 知识点回顾 1 线段中垂线的性质定理 线段中垂线上的点到线段两端点的距离相等 2 逆定理 线段中垂线上的点与线段两端点的距离相等 如图 在 ABC中 DE是AC的垂直平分线 AC 5厘米 ABD的周长等于13厘米 则 ABC的周长是 A B D E C 18厘米 练习 15 3 等腰三角形 知识点回顾 1 性质 等腰三角形的两个底角相等 等边对等角 等边三角形的三个角都相等 并且每个角都等于600 2 性质 等腰三角形的顶角平分线 底边上的中线 底边上的高互相重合 三线合一 推论 3 等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等 那么这两个角所对的边也相等 等角对等边 三个角都相等的三角形是等边三角形 有一个角是600的三角形是等边三角形 在直角三角形中 300的锐角所对的直角边等于斜边的一半 判定定理 推论 推论 推论 1 如图 在 ABC中 AB AC时 1 AD BC 2 AD是中线 3 AD是角平分线 BAD CAD BD CD AD BC BAD CAD AD BC BD CD 练习 2 有一个等腰三角形的两条边长分别是4cm和8cm 则周长为 20cm 3 若等腰三角形的一个角为400 则另外两个角的度数为 700 700或400 1000 4 已知 如图 AB ACAD DC BC则 A A B C D 360 5 已知 如图AB AB CDAD BD则 BAC A B C D 1080 15 4角平分线的性质与判定 1 性质定理 角平分线上的点到角两边的距离相等 2 判定定理 到角两边距离相等的点在角的平分线 1 如图 在 ABC中 ABC的角平分线交AC于P 一个同学马上就得到PA PC 你觉得对吗 2 如图 在 ABC中 C 900 AD平分 BAC DE AB交AB于E BC 30 BD CD 3 2 则DE 12 c A B D E 1 哪个在镜子中的像跟原来的一样 直线表示进镜子 垂直放置在纸条前 口木E目人晶SN中田 课堂练习 2 等腰三角形的对称轴最多有条 最少有条 圆的对称轴有条 它的对称轴是 3 以下是部分常用的交通标志图 仔细观察哪些是轴对称图形 1 2 3 4 5 6 4 如图 画出所示图形关于直线l的对称图形 A l l A B C l l 1 2 3 1 B 答 轴对称图形是 1 2 3 5 6 无数 直径所在的直线 5 如图 已知AD是BC的中垂线 你能根据现有条件 推得 ABD ACD吗 A D B C 1 2 3 4 6 如图 在 ABC