分式和它的基本性质.doc

分式和它的基本性质 一、分式的概念1、用A、B表示两个整式，AB可以表示成 的形式，其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母，如果除式B中含有字母，式子 就叫做分式。这就是分式的概念。研究分式就从这里展开。2、既然除式里含有字母的有理代数式叫做分式，那么，在分式里分母所包含的字母，就不一定可以取任意值。分式的分子A可取任意数值，但分母B不能为零，因为用零做除数没有意义。一般地说，在一个分式里，分子中的字母可取任意数值，但分母中的字母，只能取不使分母等于零的值。 3、 （1）分式：，当B=0时，分式无意义。 （2）分式：，当B0时，分式有意义。（3）分式：，当 时，分式的值为零。（4）分式：，当 时，分式的值为1。（5）分式：，当 时，即 或 时， 为正数。（6）分式： ，当 时，即 或 时，为负数。（7）分式： ，当 时或 时，为非负数。 二、分式的基本性质：1、学习分式的基本性质应该与分数的基本性质类比。不同点在于同乘以或同除以同一个不等于零的整式，这个整式可以是数也可以是字母，只要是不为零的整式。2、这个性质可用式子表示为：（M为不等于零的整式）3、学习基本性质应注意几点：（1）分子与分母同乘或同除的整式的值不能为零；（2）易范错误是只乘（或只除）分母或只乘（或只除）分子；（3）如果分子或分母是多项式时，必须乘以多项式的每一项。4、分式变号法则的依据是分式的基本性质。5、分式的分子，分母和分式的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，如下列式子： ，。 三、约分：1、约分是约去分子、分母中的公因式。就是用分式中分子和分母的公因式去除分子和分母，使分式化简为最简分式，最简分式又叫既约分式。2、约分的理论依据是分式的基本性质。3、约分的方法：如果分式的分子和分母都是几个因式乘积的形式，就约去分子和分母中相同因式的最低次幂，当分子和分母的系数是整数时，还要约去它们的最大公约数。 四、例题分析例1，请说出下列各式中哪些是整式，那些是分式？（1）（2） （3） （4） （5） a2- a（6）。解：根据分式定义知（1）、（2）、（3）是分式，（4）、（5）、（6）是整式。说明：判断一个代数式是否是分式要紧紧抓住除式中含不含字母。这里是分式，不能因为 = =a+b，而认为 是整式，a+b是分式的值。要区分分式的值和分式这两个不同的概念。另外是整式而不是分式。虽然分母中有，但不是字母而是无理数，是无限不循环小数，因此的除式中不含字母。例2，在分式（1）（2） （3） 中，字母x的值有什么限制？解：（1）在中，当x=2时，使得分母x-2=0，x2, （2）在中，当x=-2时，使得分母x+2=0, x-2, （3）在中，当x=-2或x=3时，使得分母(x+2)(x-3)=0，x-2且x3。 例3，x为何值时，分式，（1）无意义；（2）值为零；（3）值为1；（4）值为非负数。解： （1）当分母2x+3=0时分式无意义，x=-时，分式无意义。（2）当 时，分式值为零。，x=1时分式值为零。（3）当时，分式值为1，x=-4时分式值为1。（4）当或 时，分式值为非负数。 或 x1或x- 时分式值为非负数。例4，当x取何值时，分式（1）值为零；（2）无意义；（3）有意义。解：（1）当(x+3)(x-1)0时，分式有意义，当x-3且x1时分式有意义。又6-2|x|=0时分式值为零，则3-|x|=0, |x|=3, x=3。 ， x=3时分式值为零。解：（2）(x+3)(x-1)=0分式无意义，即x+3=0或x-1=0，x=-3或x=1时分式无意义。说明：对于（1）也可先令分子为零，求出字母的所有可能值为x=3后，再逐一代入分母验证是否为零，不为零者即为所求。对于（2）当x+3=0或x-1=0时，都会使分式的分母等于零，所以要注意“或”字的使用。解：（3）(x+3)(x-1)0时分式有意义。即x+30且x-10时，x-3且x1时分式有意义，说明：对于（3）分母(x+3)(x-1)只有不为零时，分式有意义，而(x+3)(x-1)0，当x+3=0或x-1=0都会使(x+3)(x-1)=0，所以应将x=-3和x=1都同时排除掉，写成x-3且x1，用“且”字，而不用“或”字。意义为x不能为-3而且还不能为1，即-3和1都不能取。因为取任何其中一个值，分母(x+3)(x-1)都会为0，而使分式都会无意义。 例5，写出等式中未知的分子或分母：（1） ；（2） ；（3）；（1）分析：这类问题要从已知条件入手，根据分式的基本性质，分析变化的过程，如（1）右边分母x2-y2是(x+y)(x-y)，而左边分母为x+y，所以需将左式的分子和分母同乘以(x-y)。解：，未知的分子是(x-y)2, （2）分析：左边分子a2-ab=a(a-b)，而右边分子是a-b，所以需将左式的分子和分母同除以a。解：= ，未知的分母是b。（3）a2+ab=a(a+b)（将分子因式分解）（比较分子，发现分子、分母同乘以a）=，2ab即为所求的分母。例6，把下列分式的分子和分母中各项的系数都化为整数。（1）；（2） ；（1）分析：先找到分式中分子和分母中的分母的最小公倍数为15，再据分数基本性质，分子和分母同乘以15。解：= 。（2）解：= = 注：必须乘以分子和分母的每一项，避免发生(0.2a+3b)10=2a+3b这样的错误。例7，不改变分式的值，使下列分式中分子与分母不含“-”号，（1）-；（2）- 。解：根据分式的符号法则得：（1）- = ；（2）-=- 。注意：分式、分子和分母的符号中，任意改变其中两个，分式的值不变。（1）中改变分式本身和分母两个负号，（2）中改变分子和分母两个负号。例8，不改变分式的值，依照x的降幂排列，使分子和分母中x的最高项的系数都为正数。（1）；（2）- 。解：（1） = = ；（2）- =- =- =-。说明：解题可分为三步：（1）先将分式的分子和分母都按x的降幂排列，这步只是运用加法交换律，不改变符号。（2）将分子和分母的最高项系数化为正数，只要提取公因式-1即可，提取时注意每项都要变号。（3）运用符号法则进行变号。注意：如果分子或分母的首项为负，则必须先将负号提到括号外面，再使用符号法则，要注意避免下列的错误：= 。 例9，约分：（1）（2） 。解： （1） = =-3yz10。注意：分母的因式约去后得1，分式变为整式。若化简分式时千万不要犯下列错误： =0。（2）= = =- 。注意：分母的负号一般要移去。（2）如果分式的分子或分母是多项式，应先分解因式，然后再约分。例10、约分：（1）；（2） ；（3） ；（4）；（5） 。解：（1）= 。注意：不要把 约成 =，也不要将最后结果写成 ，因为分式的横线表示括号，再写括号就多余了。（2）= 。注：不要将约做 ，因为这样是分子分母都减a2，不是同除以相同的整式。（3）= = =x2+1。注：不要犯下面的错误：=x3-x2。（4） = =- 。注意：这里应用到了(2-x)3=-(x-2)3的变形。（5）= （分子按x的降幂排列）=（分子提取公因式-1）=（分子、分母都分解因式）=（约去公因式：x-1）=-（应用分式的符号法则）说明：此题的解法，一方面显示出分式约分的一般步骤，另一方面在解题的右侧的括号内写出运算的算理，平日的化简是不写这些的，但不是它不存在，在思维上它是不可缺少的。分数的乘除法的关键是约分，而分式乘除法的关键也是约分，就是说，分式乘除法运算的实质是约分，它能使运算的结果化为最简分式。同分数的约分一样，分式的约分是应用分式的基本性质，把分式的分子、分母同除以它们的公因式，把分式化简，因此约分的关键在于正确寻找到分式分子、分母中的公因式。测试选择题1当a=-2时，分式的值（）。 （A）等于零（B）不存在 （C）等于（D）等于- 2下列说法中，错误的是（ ）（A）分式的分子与分母同时改变符号，分式的值不变（B）分式的分子与分母同除以一个非零常数m，分式的值不变（C）分式本身的符号、分子与分母的符号，同时改变其中任何两个，分式的值不变（D）分式的分子与分母同时平方，分式的值不变3把分式中的a, b都扩大5倍，则分式的值（ ）（A）扩大5倍 （B）缩小5倍 （C）扩大8倍（D）不改变4要使成立，则未知分子x应等于（ ）（A）(a+b)2 （B）(a-b)2 C）(a+b)(a-b)（D）a+b 5不改变分式的值，把-的分子、分母都按a的降幂排列，并且使最高次项的系数为正，应该等于（ ） （A）- （B） （C） （D）6给出下述变形：； ； 其中正确的变形是（）（A）和（B）和 （C）和（D）和7给出下述变形： ； -； - ； 其中正确的变形的个数为（ ） （A）1个（B）2个（C）3个 （D）4个 8当式子的值为零时，x的值是（ ）（A）5 （B）5 （C）1或5 （D）5或5 答案与解析 答案：1、B 2、D 3、D 4、A 5、B 6、B 7、D 8、B 解析：1、解：当a=-2时，a+2=0，a2-4=(a-2)(a+2)=0. 因此当a=-2时，分式的值不存在。 说明“分式没有意义”和“分式的值等于零”是两个根本不同的概念，所谓“分式没有意义”是指分式的分母的值为零；而“分式的值等于零”是指在分式有意义的前提下，分子的值为零。 6、解：根据分式的基本性质，从左到右的变形是分子、分母同时除以一个整式a，a是分母的因式，所以a0，所以分子、分母同时除以的整式a是不等于零的整式，故是正确的变形（由于给定的的分子是有意义的，显然有a0，b0）. 由于的分子、分母同乘以整式c，但c是否为零是无法确定的，故不正确。 由的分子、分母同除以a-2b，且a-2b0，故是正确的变形。 由于分子除以ab，而分母只有第一项除以ab，这种变形不符合分式的基本性质，故不正确。 只有和是正确的变形，应选B。 7、解：根据分式的基本性质，分式的分子、分母和分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不改变，所以上述变形都是正确的，应选D。分式的意义和性质考题例析1（福州市）当x 时，分式有意义. 评析：使分式有意义，即分母不等于零，解不等式即可。求出字母取值为x1。2（徐州市）当x= 时，分式 无意义；当x= 时，分式的值为零。答案：1，-6 3（柳州）要使分式的值为零，则x=_. 解：由 得x=-2. 答：应填-2。4. （广州市）化简：得_答案：5（山西）若将分式（a、b均为正数）中的字母a、b的值分别扩大为原来的2倍，则公式的值（）A、扩大为原来的2倍 B、缩小为原来的C、不变D、缩小原来的分析：分析中a、b的值分别扩大为原来的2倍，则原分式变形为= = ，这样相当于分子扩大了2倍