专题44空间向量在立体几何中的应用（一）-备战高考技巧大全之高中数学黄金解题模板（解析版）0Word版含解析.doc

【高考地位】向量在立体几何中占有重要的地位，且扮演着一个非常重要的角色，其应用打破了立体几何的传统解法，可以减少大量的辅助作图以及对图形的分析、想象过程，能直接使用代数运算来解决立体几何中的计算和证明问题在近几年的高考中几乎每年都有出现，其题型主要是大题形式出现，有时也会在选择题或填空题中应用【方法点评】类型一 证明垂直使用情景：立体几何中证明垂直问题解题模板：第一步 首先根据已知条件建立适当的空间直角坐标系并标出相应点的空间坐标；第二步 然后将已知条件转化为空间向量问题并对其进行求解；第三步 得出结论例1、直三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC中，CA=CB=1，BCA=90，棱AA1=2，M、N分别为A1B1、A1A的中点.求证：A1BC1M.例、如图所示，PD平面ABCD，且四边形ABCD为正方形，AB=2,E是PB的中点，cos,=.(1)建立适当的空间坐标系，写出点E的坐标；(2)在平面PAD内求一点F，使EF平面PCB.【答案】(1) 点E的坐标是（1，1，1）(2) F是AD的中点时满足EF平面PCB【解析】 (1)如图所示, 【变式演练1】已知，分别是平面，的法向量，则平面，的位置关系式（ ）A平行 B垂直C所成的二面角为锐角 D所成的二面角为钝角【答案】B【解析】试题分析：由，可得，所以，而，分别是平面，的法向量，所以，选B.考点：空间向量在解决空间垂直中的应用.【变式演练2】如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，APAB2，BC2，E，F分别是AD，PC的中点证明：PC平面BEF；=-2+4-2=0，=2+0-2=0PCBF，PCEF，BFEFF，PC平面BEF. 【变式演练】已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，P、Q分别是BC、CD上的动点，且|PQ|=，建立如右图所示的坐标系; 确定P、Q的位置，使得B1QD1P;解：设BP=t, 则,B1(2, 0, 2), D1(0, 2, 2), P(2, t, 0),.,类型二 证明平行使用情景：立体几何中证明平行问题解题模板：第一步 首先根据已知条件建立适当的空间直角坐标系并标出相应点的空间坐标；第二步 然后将已知条件转化为空间向量问题并对其进行求解；第三步 得出结论例3. 如图，已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面于直线，且，且（）设点为棱中点，求证：平面；（）线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值等于？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由思路分析：（）方法一：以为原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，由此证得结果；方法二：连结，其交点记为，连结，由中位线定理可得，从而证得四边形是平行四边形，进而由平行四边形的性质可使问题得证；（）先求出平面的一个法向量，然后由此利用向量法求出线段上存在一点，当点与点重合时，直线与平面所成角的正弦值为点评：利用空间直角坐标系求解空间角的关键是建立空直角坐标系，而建立空间直角坐标系主要途径：（1）一般来说，如果已知的空间几何体中含有两两垂直且交于一点的三条直线时，就以这三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系；（2）如果不存在这样的三条直线，则应尽可能找两条垂直相交的直线，以其为两条坐标轴建立空间直角坐标系，即坐标系建立时以其中的垂直相交直线为基本出发点；（3）建系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系，在没有现成的垂直关系时要通过其他已知条件得到垂直关系【变式演练3】如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面 ，是的中点，作交于点（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值 【变式演练4】如图,是边长为3的正方形， ，,与平面所成的角为.(1)求二面角的的余弦值;(2)设点是线段上一动点，试确定的位置，使得，并证明你的结论.解：【变式演练4】如图，平面平面，是等腰直角三角形，四边形是直角梯形，点、分别为、的中点.（1）求证：平面；（2）求直线和平面所成角的正弦值；（3）能否在上找到一点，使得平面？若能，请指出点的位置，并加以证明；若不能，请说明理由. 【高考再现】1. 【2016高考天津理数】（本小题满分13分）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2.（I）求证：EG平面ADF；（II）求二面角O-EF-C的正弦值；（III）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.【答案】（）详见解析（）（）【解析】试题解析：依题意，如图，以为点，分别以的方向为轴，轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得， .（I）证明：依题意，.设为平面的法向量，则，即 .不妨设，可得，又，可得，又因为直线，所以.（II）解：易证，为平面的一个法向量.依题意，.设为平面的法向量，则，即 .不妨设，可得.因此有，于是，所以，二面角的正弦值为.（III）解：由，得.因为，所以，进而有，从而，因此.所以，直线和平面所成角的正弦值为.考点：利用空间向量解决立体几何问题2. 【2016年高考四川理数】（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，ADBC，ADC=PAB=90，BC=CD=AD，E为边AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90. （）在平面PAB内找一点M，使得直线CM平面PBE，并说明理由；（）若二面角P-CD-A的大小为45，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.【答案】（）详见解析；（）.【解析】试题解析：（）在梯形ABCD中，AB与CD不平行.延长AB，DC，相交于点M（M平面PAB），点M即为所求的一个点.理由如下：由已知，BCED，且BC=ED.所以四边形BCDE是平行四边形.，所以CDEB从而CMEB.又EB平面PBE，CM平面PBE，所以CM平面PBE.（说明：延长AP至点N，使得AP=PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点）所以平面PCE平面PAH.过A作AQPH于Q，则AQ平面PCE.所以APH是PA与平面PCE所成的角.在RtAEH中，AEH=45，AE=1，所以AH=.在RtPAH中，PH= ，所以sinAPH= =.作AyAD，以A为原点，以 ,的方向分别为x轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A（0,0,0），P（0,0,2），C(2,1,0)，E(1,0,0)，所以=（1,0,-2），=（1,1,0），=（0,0,2）设平面PCE的法向量为n=(x,y,z)，由 得 设x=2，解得n=(2,-2,1).设直线PA与平面PCE所成角为，则sin= = .所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为 . .考点：线线平行、线面平行、向量法.3. 【2016年高考北京理数】（本小题14分）如图，在四棱锥中，平面平面，.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析；（2）；（3）存在，试题解析：（1）因为平面平面，所以平面，所以，又因为，所以平面；（2）取的中点，连结，因为，所以.又因为平面，平面平面，所以平面.因为平面，所以.因为，所以.如图建立空间直角坐标系，由题意得，.设平面的法向量为，则即令，则.所以.又，所以.所以直线与平面所成角的正弦值为.考点：1.空间垂直判定与性质；2.异面直线所成角的计算；3.空间向量的运用.【名师点睛】平面与平面垂直的性质的应用：当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线，把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直(必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关系)，构造(寻找)二面角的平面角或得到点到面的距离等.【反馈练习】1. 【2016年湖南师大附中高二数学选修21结业考试理科试题第18题】如图，直三棱柱ABC-A1B1C1底面ABC中，CA=CB=1，BCA=90，棱AA1=2，M是A1B1的中点. （1）求cos（，）的值； （2）求证：A1BC1M.【答案】（1）（2）证明见解析。【解析】以为原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.（2） 证明：依题意将 2. 【2015年北京市崇文区高三年级二模理科试题】已知正方体的棱长为2，分别是上的动点，且，确定的位置，使【答案】分别为的中点时，【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，设，得，那么，从而，由，即故分别为的中点时，3. 【2014届陕西省西工大附中高三下学期第八次适应性训练理科数学试卷（带解析）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面 ，是的中点，作交于点求证：平面；【答案】证明过程详见解析；【解析】如图建立空间直角坐标系，点为坐标原点，设. 证明：连结交于点，连结.依题意得.因为底面是正方形，所以点是此正方形的中心，故点的坐标为，且. 所以,即,而平面,且平面,因此平面 4. 【广东省惠州市2017届第二次调研考试数学（理）试题】如图，四边形是矩形，是的中点，与交于点，平面.求证：面；【答案】证明见解析；【解析】试题分析：要证AF与平面BEG垂直，只要证AF与平面内两条相交直线垂直，由已知GF垂直于底面ABCD，有GF垂直AF，另外可以在矩形BACD中证明BE垂直于AC（可用相似三角形证明角相等）；证法2：（坐标法）证明，得，往下同证法1证法3：（向量法）以为基底， ， ，往下同证法15. 【吉林省长春市普通高中2017届高三质量监测（一）数学（理）试题】（本小题满分12分）已知四棱锥中，底面为矩形，底面，为上一点，且平面.求的长度；【答案】【解析】试题解析：如图所示建立空间直角坐标系，由已知，.令，因为，所以，则.