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华师版七年级下第8章学习指导求多边形边数的方法王远征广东省深圳市蛇口中学518067算术方法我们知道：对于边数是的凸多边形而言，其外角的和是常数即360，与多边形的边数无关。当已知正多边形的一个外角（或内角）度数大小时，可直接由求出边数。例1已知一个正多边形的每个外角都是72，求多边形的边数。解：因为外角的和是360，所以，边数=例2已知一个正多边形的每个内角都是144，求多边形的边数。解：因为正多边形的每个外角都是180144=36而外角的和是360，所以边数=评注：这种方法对于求正多边形的边数的问题是十分有效的，避免了代入内角和公式计算时，导致的大量的运算。代数方法我们知道：对于边数是的凸多边形，其内角的和是，与多边形的边数有关。利用内角的和公式，列方程（组）求边数。例3凸多边形除去一个内角之外，其余内角的和为2570，求边数和该内角的大小。解：设该内角的度数为度，边数为。由内角和公式得：因为为正整数，所以：评注：利用隐含条件：“为正整数，”，求出满足二元一次不定方程的正整数解，是解答上述类型的问题的一般方法。例4、一个凸多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和是2520，求原多边形的边数。分析：一个凸多边形截去一个角后，会出现三种情况：（1）边数与原凸多边形的边数一样，如图1；（2）边数比原凸多边形的边数减少1条，如图2；（3）边数比原凸多边形的边数多1条，如图3。解：（1）边数与原凸多边形的边数一样，设边数为。（2）边数比原凸多边形的边数减少1条，边数为；（3）边数比原凸多边形的边数多1条，边数为。评注：考虑问题必须周密，防止出现遗漏。如图1 如图2 如图3例4、已知两个凸多边形的内角和是3600，并且两个凸多边形的边数比是1：2，求两个多边形的边数。解：依题意设两个多边形的边数分别是、，则：=16。两个多边形的边数分别为8和16。同步练习：1 个凸多边形的每个内角的度数都是150，求它的边数。解法1：因为多边形的每个内角的度数都是150，所以，多边形的每个外角的度数都是180150=30，因为凸多边形外角和=360，所以边数=36030=12。解法2：=150n=122各个内角都相等的凸多边形中，一个外角等于它相邻内角的，求这个多边形的每一个内角的度数和它的边数。解法1：因为一个外角与它相邻内角的和=180，设内角为x 度所以,=120nn=63 凸边形的内角和与外角和之比是92，求的值。解：4两个多边形的边数
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