一元二次方程综合复习.doc

一元二次方程单元复习知识点及例题精讲知识点一：一元二次方程的概念 1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。2、一元二次方程的一般形式：，它的特征是：等式左边加一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。例1、下列方程中，关于的一元二次方程是（ ）、 、 、 、变式：当k 时，关于x的方程是一元二次方程。例2、方程是关于x的一元二次方程，则m的值为 。变式：1、关于的一元二次方程中，求的取值范围.2、方程的一般形式为 。3、已知关于的方程：（1） m为何值时方程为一元一次方程；（2） m为何值时方程为一元二次方程。知识点二、一元二次方程的解法 概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。应用：利用根的概念求代数式的值； 例1、已知方程，则代数式_.例2、关于x的一元二次方程的一个根为0，则a的值为 。例3、已知关于x的一元二次方程的系数满足，则此方程必有一根为 。例4、已知关于x的方程的一个解与方程的解相同。求k的值； 方程的另一个解。例5、方程的一个根为（ ）A B 1 C D 一元二次方程的解法 1、直接开平方法: ，等形式（1） （3）、7、 2、配方法: 在解题中，多不用配方法，但常利用配方思想求解代数式的值或极值，配方法强调将二次项前面的系数化为1再配方。例1、(1) x2-2x-4=0 (2) （3） 例2、试用配方法说明的值恒大于0。例3、已知x、y为实数，求代数式的最小值。例4、已知为实数，求的值。例5、试证：不论x取何值时，多项式的值总大于变式1、试证明：不论x取何值时，多项式的值总大于3、公式法：化为一般形式,然后要计算判别式。例1、（1） （2） （3） （4）例2、在实数范围内分解因式：（1）； （2）. 说明：对于二次三项式的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，一般情况要用求根公式，这种方法首先令=0，求出两根，再写成=.4、因式分解法： 1、提取公因式法 2、公式法 3、十字相乘法 4、换元法 例1、(1) (2) (3) (4) （5） （6）例2、若，则4x+y的值为 。变式1： 。变式2：若，则x+y的值为 。变式3：若，则x+y的值为 。知识点三、一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，根的判别式的作用：定根的个数；求待定系数的值；例1、若关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 。例2、关于x的方程有实数根，则m的取值范围是( )A. B. C. D.例3、已知关于x的方程(1)求证：无论k取何值时，方程总有实数根；(2)若等腰ABC的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求ABC的周长。例4、当m满足何条件时，方程有两个不相等实根？有两个相等实根？有实根？知识点四、一元二次方程根与系数的关系 （前提是0） 如果方程的两个实数根是，那么，。例1. 设是一元二次方程的两个根，求下列各式的值：（1）； （2） （3） （4）例2、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程的两根，则这个直角三角形的斜边是（ ） A. B.3 C.6 D.例3.若ab1,且有，求的值.例4已知关于的一元二次方程(1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2) 若方程的两根为，且满足，求的值知识点五.一元二次方程的实际应用列一元二方程解应用题的一般步骤：（1）审题（2）设未知数（3）列方程（4）解方程（5）检验（6）写出答案。例1、5个连续正整数，前3个数的平方和比后两个数的积小1，这5个连续正整数分别是多少？例2、有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？例3、为了绿化校园，某中学在2007年植树400棵，计划到2009年底使这三年的植树总数达到1324棵，求该校植树平均每年增长的百分数。例4、某越剧团准备在市大剧院演出,该剧院能容纳1200人,经调研,如果票价定为30元，那么门票可以全部售完，门票价格每增加1元，售出的门票数就减少30张，如果想获得36750元的门票收入，票价应定为多少元？例5、甲、乙两个城市间的铁路路程为1600公里，经过技术改造，列车实施了提速，提速后比提速前速度增加20公里/小时，列车从甲城到乙城行驶时间减少4小时，这条铁路在现有的安全条件下安全行驶速度不得超过140公里/小时.请你用学过的数学知识说明在这条铁路现有的条件下列车还可以再次提速.例6、如图，在宽为20m ，长为30m ，的矩形地面上修建两条同样宽且互相垂直的道路，余分作为耕地为551。则道路的宽为?例7、某电厂规定：该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过A kWh,那么这个月这户只需要交10元电费；如果超过A kWh，则这个月除了仍要交10元用电费外，超过部分还要按每度元交费。（1）该厂某户居民2月份用电90 kWh，超过了规定的A kWh，则超过部分应交电费多少元（用A的代数式表示）。（2）下表是这户居民3月、4月份用电情况和交费情况：月份用电量/ kWh交电费总数/元3802544510根据上表的数据，计算电厂规定的A kWh是多少？课内练习1.把方程（x+3）（x-2）4化成一般式后其二次项系数和常数项之和是 。2. 方程的解是 3. 如果关于x的方程x2+kx+3=0,有一根为-1，则k的值为 4. .关于x的方程x2-x+a(1-a)=0有两个不相等的正根，则a可取值为 （只需填写一个可能的数值即可）5已知关于x的方程x2-2ax+a2-2a+2=0的两个实数根x1,x2满足,则a的值为 _6. 在实数范围内定义一种运算“”，其规则为,根据这个规则，方程的解为_.7. 若一个三角形的三边长均满足方程x2-6x+8=0，则此三角形的周长为 8. 甲、乙两人同解一个一元二次方程，甲看错常数项，解得两根为8和2，乙看错一次项系数，解得两根为-9和-1，则这个方程是 9. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是。10.某企业为节约用水，自建污水净化站，3月份净化污水3000吨，5月份增加到3630吨，则这两个月净化污水的量平均每月增长的百分率为 11、已知，、为实数，且 ，则=_。12、已知代数式7x(x+5)+10与代数式9x-9的值互为相反数，则x= .13、如果 a 是一元二次方程的一个根，a 是一元二次方程的一根, 那么a 的值是_14、若方程（ab）x2+（bc）x+（ca）=0是关于x的一元二次方程，则必有（ ） Aa=b=c B一根为1 C一根为1 D以上都不对15若分式的值为0，则x的值为（ ） A3或2 B3 C2 D3或216已知（x2+y2+1）（x2+y2+3）=8，则x2+y2的值为（ ） A5或1 B1 C5 D5或117已知方程x2+px+q=0的两个根分别是2和3，则x2px+q可分解为（ ） A（x+2）（x+3） B（x2）（x3） C（x2）（x+3） D（x+2）（x3）15已知，是方程x2+2006x+1=0的两个根，则（1+2008+2）（1+2008+2）的值为（ ） A1 B2 C3 D416、若是一个三角形的三边，且关于的方程有两个相等实根，则这个三角形是（ ） A正三角形 B锐角三角形 C直角三角形 D钝角三角形17.一个三角形两边的长分别是6和8，第三边的长正好是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是（ ）A.24 B.24或 C.48 D.18、解方程1、 2、 3、 4、(x+1)(x+3)=6x+4 5、2（用配方法） 6、19、如果x210x+y216y+89=0，求的值20、阅读下面的材料，回答问题：解方程x45x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y25y+4=0 ，解得y1=1，y2=4 当y=1时，x2=1，x=1； 当y=4时，x2=4，x=2； 原方程有四个根：x1=1，x2=1，x3=2，x4=2 （1）在由原方程得到方程的过程中，利用_法达到_的目的，体现了数学的转化思想（2）解方程（x2+x）24（x2+x）12=021、已知方程有两个相等的实数根，求值，并求出方程的根。22、设a，b，c是ABC的三条边，关于x的方程x2+x+ca=0有两个相等的实数根，方程3cx+2b=2a的根为x=0 （1）试判断ABC的形状（2）若a，b为方程x2+mx3m=0的两个根，求m的值23、已知x1、x2是一元二次方程的两个实数根，且x1、x2满足不等式，求实数m的取值范围.24、已知关于x的一元二次方程有两个非零实数根.（1）求m的取值范围；（2）两个非零实数根能否同为正数或同为负数？若能，请求出相应的m的取值范围，若不能，请说明理由.25、市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格某种药品经过两次连续降价后，由每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率是多少？26、用22长的铁丝，折成一个面积是302的矩形，求这个矩形的长和宽。又问：能否折成面积是322的矩形呢？为什么？ 27某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出30件，每件盈利40元为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价1元时，平均每天可多卖出2件 （1）若商场要求该服装部每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）试说明每件衬衫降价多少元时，商场服装部每天盈利最多28、某