第1章复数与复变函数.ppt

1 复变函数 简介复变函数 自变量在复数范围内取值的函数与高等数学类似 研究微分和积分应用领域 信号与系统 电磁学 光学 控制论 空气动力学 流体力学 弹性力学等等成绩 卷面70 作业 出勤 课堂表现 30 2 第1章复数与复变函数 1 1复数及其代数运算1 2复数的几何表示1 3复数的乘幂与方根1 4复数在几何上的应用举例1 5复球面与无穷远点 第1节复数的概念与运算 3 1 1复数及其代数运算 1 定义 4 2 相等 虚部为零的复数是实数 虚部不为零的复数称作虚数 虚部不为零 实部为零的复数称作纯虚数 5 3 共扼复数 4 任意两个复数不能比较大小 6 5 代数运算 两复数的和 两复数的积 两复数的商 7 例1 解 8 例2 解 9 例3 解 10 1 2复数的几何表示 复数 可看作平面上点 实轴 虚轴 注 1 复数的点表示 11 2 复数的模 或绝对值 显然下列各式成立 12 3 复数的辐角 说明 辐角不确定 13 辐角主值的定义 14 15 4 利用平行四边形法求复数的和差 两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致 16 利用直角坐标与极坐标的关系 复数可以表示成 复数的三角表示式 再利用欧拉公式 复数可以表示成 复数的指数表示式 5 复数的三角表示和指数表示 17 复数的五种表示 1 代数表示法 2 点表示 几何表示 3 向量表示 5 指数表示 4 三角表示 18 例4将下列复数化为三角表示式与指数表示式 解 19 例5将下列复数化为三角表示式与指数表示式 解 故三角表示式为 指数表示式为 20 故三角表示式为 指数表示式为 21 1 复数的乘积与商 定理一 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和 1 3复数的乘幂与方根 22 两复数相乘就是把模数相乘 辐角相加 从几何上看 两复数对应的向量分别为 23 24 定理二 两个复数的商的模等于它们的模的商 两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差 25 例6 解 26 2 乘幂 27 棣莫佛公式 2 棣莫佛公式 28 例7 解 即 29 30 1 4复数在几何上的应用举例 利用复数及其运算的几何意义 很多平面图形能用适当的复数形式的方程 或不等式 来表示 另一方面 也能有给定的复数形式的方程 或不等式 来确定它所表示的平面图形 31 例8 求下列方程所表示的曲线 解 32 化简后得 33 1 5复球面与无穷远点 1 南极 北极的定义 34 球面上的点 除去北极N外 与复平面内的点之间存在着一一对应的关系 我们可以用球面上的点来表示复数 我们规定 复数中有一个唯一的 无穷大 与复平面上的无穷远点相对应 记作 因而球面上的北极N就是复数无穷大 的几何表示 球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应 这样的球面称为复球面 2 复球面的定义 35 3 扩充复平面的定义 包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面 不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面 或简称复平面 对于复数 来说 实部 虚部 辐角等概念均无意义 它的模规定为正无穷大 复球面的优越处 能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来 36 37 1 复数的定义2 复数的五种表示3 复数的模 辐角 共轭复数4 棣莫弗公式5 复数的幂与方根6 复数形式的方程表示平面图形 总结 熟练掌握以下内容 38 作业 39 2 1复平面上的区域2 2复变函数的概念2 3复变函数的极限与连续性 第2节复变函数及其极限与连续性 40 1 邻域 2 1复平面上的区域 41 2 去心邻域 42 3 内点 4 开集 如果G内每一点都是它的内点 那末G称为开集 43 5 区域 如果平面点集D满足以下两个条件 则称它为一个区域 1 D是一个开集 2 D是连通的 就是说D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连结起来 6 边界点 边界 设D是复平面内的一个区域 如果点P不属于D 但在P的任意小的邻域内总有D中的点 这样的P点我们称为D的边界点 44 D的所有边界点组成D的边界 说明 1 区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的 2 区域D与它的边界一起构成闭区域 45 以上基本概念的图示 区域 邻域 边界点 边界 7 有界区域和无界区域 46 8 连续曲线 平面曲线的复数表示 47 9 光滑曲线 由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为按段光滑曲线 48 10 简单曲线 没有重点的曲线C称为简单曲线 或若尔当曲线 49 换句话说 简单曲线自身不相交 简单闭曲线的性质 任意一条简单闭曲线C将复平面唯一地分成三个互不相交的点集 内部 外部 边界 50 11 单连通域与多连通域的定义 复平面上的一个区域B 如果在其中任作一条简单闭曲线 而曲线的内部总属于B 就称为单连通域 一个区域如果不是单连通域 就称为多连通域 单连通域 多连通域 51 例10 指明下列不等式所确定的区域 是有界的还是无界的 单连通的还是多连通的 是角形域 无界的单连通域 如图 52 无界的多连通域 53 例11 满足下列条件的点集是什么 如果是区域 指出是单连通域还是多连通域 是多连通域 54 应理解区域的有关概念 邻域 去心邻域 内点 开集 边界点 边界 区域 有界区域 无界区域 理解单连通域与多连通域 55 2 2复变函数的概念 注意 复变函数与一元实变函数的定义完全一样 只要将后者定义中的 实数 换为 复数 就行了 56 1 单 多 值函数的定义 2 定义集合和函数值集合 57 3 复变函数与自变量之间的关系 例如 58 59 4 映射的定义 60 61 62 为了方便 以后不再区分函数 映射和变换 63 例 解 1 还是线段 64 解 2 65 仍是扇形域 解 3 66 1 函数极限的定义 注意 2 3复变函数的极限与连续性 67 注意 复变函数极限的定义与一元实变函数极限的定义虽然在形式上相同 但在实质上有很大的差异 它较之后者的要求苛刻得多 68 2 极限计算的定理 定理一 说明 69 定理二 与实变函数的极限运算法则类似 70 3 复变函数的连续性 连续的定义 71 定理三 例如 72 定理四 73 特殊的 1